中考数学——多边形与平行四边形(含6种解题技巧))(含答案).docx

第五章 四边形
第23讲 多边形与平行四边形
（思维导图+2考点+2命题点23种题型（含6种解题技巧））

2
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 多边形
考点二 平行四边形
04题型精研·考向洞悉
命题点一 多边形有关的计算
►题型01 认识多边形
►题型02 多边形的对角线问题
►题型03 多边形内角和问题
►题型04 正多边形内角和问题
►题型05 多边形截角后的内角和问题
►题型06 多边形外角和问题
►题型07 多边形外角和的实际应用
►题型08 多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合应用
►题型09 平面镶嵌
►题型10 计算网格中的多边形面积
命题点二 平行四边形有关的证明与计算
►题型01 利用平行四边形的性质求解
►题型02 利用平行四边形的性质证明
►题型03 判断能否构成平行四边形
►题型04 添加一个条件使之成为平行四边形
►题型05 证明四边形是平行四边形
►题型06 利用平行四边形的性质与判定求解
►题型07 利用平行四边形的性质与判定证明
►题型08 平行四边形性质和判定的应用
►题型09 平行四边形与函数综合
►题型10 与平行四边形有关的新定义问题
►题型11 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
►题型12 补全图形利用中位线定理求解
►题型13 平行四边形中各图形面积的等量关系

01考情透视·目标导航
中考考点
考查频率
新课标要求
多边形有关计算
★★
了解多边形的概念及多边形的顶点边、内角、外角与对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式.
平行四边形有关的证明与计算
★★★
理解平行四边形的概念；
探索并证明平行四边形的性质定理及其判定定理.
【考情分析】本热点包含的内容有平行四边形的性质及判定、多边形的有关计算等，试题形式多样，难度中等，常与三角形、全等三角形等内容综合考查，平行四边形是矩形、菱形等特殊平行四边形的基础，故掌握其相关的判定方法及性质也是解决特殊四边形问题的关键.
【命题预测】中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形综合应用的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用．

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究
考点一 多边形
1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
2. 多边形的相关概念：
多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.
多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.
多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角.
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
【补充】
1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等；
2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线；
3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线.

3. 正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
【补充】1）正n边形有n条对称轴．
2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心.

4. 多边形内角和定理
多边形内角和定理：n边形的内角和为.
5. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系.
易错易混
多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误：
①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）.
②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两次，因此n边形共有n(n−3)2 条对角线.
③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2.
④n边形的外角和是360°.
⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°.
⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形．

1．（2024·四川巴中·中考真题）五边形从某一个顶点出发可以引 条对角线．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）正十二边形的每一个外角等于 度．
3．（2024·山东日照·中考真题）一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是 边形．
4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
5．（2024·四川乐山·中考真题）下列多边形中，内角和最小的是（      ）
A． B． C． D．
考点二 平行四边形
1.平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
符号表示：平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.

2. 平行四边形的性质定理

性质
符号语言
图示
边
平行四边形两组对边平行且相等
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC

角
平行四边形对角相等
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
对角线
平行四边形的对角线互相平分
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC=AC,BO=DO=BD

3. 平行线间的距离
定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离
性质：1）两条平行线间的距离处处相等.
2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.

4. 平行四边形的判定定理

判定
符号语言
定义
一组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形

边
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形
∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形
【解题技巧】
一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：
1）已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等；
2）已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行；
3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分；
4) 已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等.

5. 平行四边形边的对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.

1．（2024·吉林·中考真题）如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求证：AE=BC．

2．（2024·贵州·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（    ）

A．AB=BC B．AD=BC C．OA=OB D．AC⊥BD
3．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．
∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，∴①______．
又∵∠4=∠5，MA=MC，∴△MAD≌△MCB（②______）．
∴MD=MB．∴四边形ABCD是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ）
A．∠1=∠3，AAS B．∠1=∠3，ASA
C．∠2=∠3，AAS D．∠2=∠3，ASA
4．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE=BF．求证：∠1=∠2．

5．（2024·四川乐山·中考真题）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（  ）
A．AB∥CD,AD∥BC B．AB=CD,AD=BC
C．OA=OC,OB=OD D．AB∥CD,AD=BC
04题型精研·考向洞悉
命题点一 多边形有关的计算
►题型01 认识多边形
1．（2021·江苏南京·中考真题）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（    ）
A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2
2．（2020·北京·中考真题）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）

3．（2020·山东枣庄·中考真题）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+12b−1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S= ．

4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图是一片平坦的盐滩上布满了大小相近的六边形，人们惊叹于大自然的鬼斧神工，同时也尝试解开盐滩图案之谜，人们发现正六边形能够最大限度的利用空间，已知图中的正六边形与正方形的周长都等于12，则它们的面积之差为 ．

►题型02 多边形的对角线问题
1．（2024·陕西咸阳·三模）如果过某多边形的一个顶点有6条对角线，这个多边形是 边形．
2．（2024·上海金山·三模）正n边形的一个外角为30°，则它的对角线条数为
3．（2023·重庆·模拟预测）过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，这个多边形的内角和等于 ．
4．（2022·广东深圳·模拟预测）多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（    ）
A．nn−2=20 B．nn−2=40 C．nn−3=20 D．nn−3=40
►题型03 多边形内角和问题
利用多边形内角和、外角和定理求边数：
①n边形的内角和为(n－2)×180°，根据已知条件列出方程求边数；
②若由已知数据很容易求得一个外角的度数，根据正多边形的外角和始终等于360°,用360°除一个外角的度数，从而得到正多边形的边数.
1．（2023·重庆·中考真题）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 ．
2．（2022·山东临沂·中考真题）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（   ）

A．900° B．720° C．540° D．360°
3．（2021·江苏南京·中考真题）如图，FA,GB,HC,ID,JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ= °．

4．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E=（    ）

A．220° B．240° C．260° D．280°
►题型04 正多边形内角和问题
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则∠BHC= °．

2．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（    ）

A．90° B．99° C．108° D．135°
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的DF的长为 ．

4．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为 ．

5．（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形ABCDEF的边AB,EF分别相交于点M，N，如图所示，则a+β=（    ）

A．115° B．120° C．135° D．144°
6．（2023·河北·中考真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
（1）∠α= 度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．

►题型05 多边形截角后的内角和问题
多边形的边数为自然数，而内角和只与边数有关，无论多了一个角，还是少了一个角，都可以用逼近法去求解.
1．（2023·湖南娄底·模拟预测）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原来多边形的边数不可能为 （   ）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．（2021·广东佛山·三模）如图，在正六边形ABCDEF中，若去掉一个角得到一个七边形，则∠1+∠2= 度．

3．（2021·浙江丽水·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 ．
►题型06 多边形外角和问题
1．（2023·北京·中考真题）正十二边形的外角和为（  ）
A．30° B．150° C．360° D．1800°
2．（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ）
A．36° B．40° C．45° D．60°
3．（2024·山东·中考真题）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN=120°，则n的值为（    ）

A．12 B．10 C．8 D．6
4．（2023·江苏连云港·中考真题）以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A'B'CD'E'的顶点D'落在直线BC上，则正五边形ABCDE旋转的度数至少为 °．

►题型07 多边形外角和的实际应用
1．（2024·江苏无锡·二模）如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最终回到了P处．在这过程中，小强转过的角度说明了（　　）

A．五边形的内角和是540° B．五边形的外角和是360°
C．五边形的内角和是360° D．五边形的外角和是180°
2．（2024·湖北荆门·模拟预测）小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走9米后向左转θ，接着沿直线前进9米后，再向左转θ，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己一共走了72米，则θ的度数为（    ）

A．60° B．75° C．30° D．45°
3．（2024·湖北十堰·二模）参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转18°，再沿直线前进1米，又向左转18°……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（  ）

A．10米 B．18米 C．20米 D．36米
►题型08 多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合应用
1．（2021·江苏苏州·二模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=210°，则∠P= ．

2．（2023·辽宁营口·二模）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AE,EG平分∠AED，交DC延长线于点G，则∠G为（    ）

A．15° B．20° C．25° D．30°
3．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=44°，则∠2的度数为（　　）

A．14° B．16° C．24° D．26°
4．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE=150°.

(1)求∠BAD的度数：
(2)若∠F=40°，求∠E的度数.
►题型09 平面镶嵌
解决几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
【限制条件】1）边长相等；2）公共顶点；3）在一个顶点处各个正多边形的内角之和为360.
1．（2022·四川资阳·中考真题）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是 ．（填一种即可）
2．（2021·贵州铜仁·中考真题）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（      ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
3．（2024·湖南·模拟预测）平面图形的镶嵌往往给人以美的享受，如图1是用边长相等的正六边形与正三角形进行的无缝隙、不重叠的平面镶嵌．我们选取其中一个正六边形和三个与之相邻（正上方、左下方和右下方）的正三角形组成的图形部分，将其放在平面直角坐标系中．如图2，点A，B，C均为正六边形和正三角形的顶点．已知点A的坐标为2,0，反比例函数y=kxx>0的图象恰好经过点B，C，连接OB，OC，则△BOC的面积是 ．

4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是用边长相等的等边三角形和正n边形两种地砖铺设的小路的局部示意图，则这种正n边形地砖的边数n= ．

►题型10 计算网格中的多边形面积
1．（2022·北京海淀·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ．

2（2021·北京顺义·一模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为 ．

3．（2021·山西临汾·三模）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
你知道“皮克定理”吗？
“皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即S=a+12b−1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”．

任务：
（1）如图2，是6×6的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是_______．
（2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数b是内部点数a的3倍，则a+b=______．
（3）请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形．
命题点二 平行四边形有关的证明与计算
►题型01 利用平行四边形的性质求解
1．（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片ABCD，BC=36cm，∠A=110°，∠BDC=50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC= 度；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 cm．

2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC=4．若▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．8
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知点A−7,0，Bx,10，C−17,y，在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y=kxk≠0的图象相交于点D，且OD:OB=1:4，则k= ．

4．（2024·浙江·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2,BD=23．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ）

A．x+y B．x−y C．xy D．x2+y2
►题型02 利用平行四边形的性质证明
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在▱ABCD中，点M,N在AD边上，AM=DN，连接CM并延长交BA的延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F．求证：AE=DF．小丽的思考过程如下：

参考小丽的思考过程，完成推理．
2．（2024·山东日照·中考真题）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点H．

(1)由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是_______
(2)求证：CB=CH
(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积．
3．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且BE=DF，连接EF与AC交于点M，连接AF，CE．

(1)求证：△AEM≌△CFM；
(2)若AC⊥EF，AF=32，求四边形AECF的周长．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE=BF，BE=BC．

(1)如图①，求证△AED≌△EFB；
(2)如图②，若AB=AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
►题型03 判断能否构成平行四边形
1．（2021·河北·中考真题）如图1，▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（    ）

A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
2．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知线段AB、AD和射线BP，且AD∥BP，在射线BP上找一点C，使得四边形ABCD是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ）
A．过点D作DC∥AB与BP交于点C
B．在AD下方作∠ADC与BP交于点C，使∠ADC=∠ABP
C．在BP上截取BC，使BC=AD，连接DC
D．以点D为圆心，AB长为半径画弧，与BP交于点C，连接DC
3．（2024·河北邢台·模拟预测）已知△ABC（如图1），求作：平行四边形ABCD．如图2、图3是嘉琪的作图方案，其依据是（    ）

A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
►题型04 添加一个条件使之成为平行四边形
1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，请补充一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形．

2（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AD=BC B．AB∥DC C．∠A=∠C D．AB=DC
3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE．

(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．

(1)求∠BGA的度数；
(2)在BC上取一点E，添加一个条件，使四边形ABED是平行四边形，直接写出这个条件．
►题型05 证明四边形是平行四边形

已知条件
选择的判定定理

边

一组对边相等
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
一组对边平行
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角
一组对角相等
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线
对角线互相平分
对角线互相平分的四边形是平行四边形
注意：在做题时，根据已知条件灵活运用判定方法求解.
1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF．

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时BCAB的值．
2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，AB∥DF．

(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)过点B作BG⊥AE于点G，若CB=AF，请直接写出四边形BGED的形状．
3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．

求证：(1)△AEH≌△CFG；
(2)四边形EGFH为平行四边形．
4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在△ABC中，D是AB中点．

(1)求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接BE，CF．补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形．
►题型06 利用平行四边形的性质与判定求解
1．（2024·辽宁·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=3，BD=5，则四边形OCED的周长为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．16
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点A0,−2，B1,0，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是 ．

3．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题：

如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点．
小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！
(1)证明AF∥CE；
(2)指出小丽作法中存在的问题．
4．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线y=12x2−4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 ．

►题型07 利用平行四边形的性质与判定证明
1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．

(1)求证：△ODE≌△OBF；
(2)当EF⊥BD时，DE=15cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长．
2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC，AD上．

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠ADC=60°，DF=2AF=2，求△GDF的面积．
3．（2024·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF=FB，AF∥DC.

(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；
(2)若∠EFB=90°，tan∠FEB=3，EF=1，求BC的长.
4．（2024·福建·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E,BE的延长线交AD于点F．

(1)求OEAE的值；
(2)求证：△AEB∽△BEC；
(3)求证：AD与EF互相平分．
►题型08 平行四边形性质和判定的应用
1．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在AC上，已知AB=AC，sin∠BAC≈45，点D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，DE=FM=GH=JK=20cm，DF=FG=GJ=30cm．点N在AC上，AN、MN的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时AB、AC重合，点E、M、H、N、K、C在AB上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：AN=MN+EM+AD−_________；
（2）如图4，sin∠MEN≈_________，由AN=EN+AE=EN+AD，且AN的长度不变，可得MN与EN之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求MN的长．

2．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，点O是等边△ABC的内心，∠DOE的两边分别交AB、BC于点D、E，且∠DOE=120°，若等边△ABC的边长为6，求四边形ODBE周长的最小值．
（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为▱ABCD，点O为其对称中心，且OB=20m，点E、F分别在边AB、BC上，四边形EBFO为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形EBFO区域种植两种不同的果蔬，即在△BEF、△EFO种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为60°，即∠EOF=60°，并修建OE、EF、OF三条小路．现要求规划的三条小路OE、EF、OF总长最小的同时，果蔬种植区域四边形EBFO的面积最大．求满足规划要求的三条小路OE、EF、OF总长的最小值，并计算同时满足四边形EBFO面积最大时学校应开辟的劳动实践基地▱ABCD的面积．

3．（2020·湖北武汉·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF分别交边AB，CD于E，F两点，在这个平行四边形上做随机投掷图钉试验，针头落在阴影区域内的概率是 ．

4．（2022·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形．

(1)若遮阳蓬完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有______米（影子完全落在地面）
(2)长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是______．
►题型09 平行四边形与函数综合
1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数．y=ax+ba≠0的图象与反比例函数y=kxk≠0的图象交于点A1,4、Bn,−1．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式ax+b<kx的解集；
(3)已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（−12，0），B（3，72）两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=−x2+bx+3的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．

(1)OC=________；
(2)如图，已知点A的坐标是(−1,0)．
①当1≤x≤m，且m>1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s−t=2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D．作∠DPQ=∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ=PC，求点P的横坐标．
►题型10 与平行四边形有关的新定义问题
1．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．

(1)如图1所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF=5，CE=2，则AE=________；AB=________；
(2)如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB=BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在△ABC中，BE=5，CE=2AE=12，BE⊥AC交AC于点E，请画出以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若△ABC关于直线AC对称得到△AB'C，连接CB'，作射线CB'交①中所画平行四边形的边于点P，连接PE，请直接写出PE的值．
2．（2023·浙江宁波·中考真题）定义：有两个相邻的