中考数学——二次根式(含6种解题技巧))(含答案).docx

第一章 数与式
第04讲 二次根式
（思维导图+2考点+2命题点12种题型（含6种解题技巧））

1
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 二次根式的相关概念
考点二 二次根式的性质与化简
考点三 二次根式的运算
04题型精研·考向洞悉
命题点一 二次根式的性质与化简
►题型01 二次根式有意义的条件
►题型02 与二次根式有关的开放性试题
►题型03 利用二次根式的性质化简
►题型04 二次根式与数轴
命题点二 二次根式的运算
►题型01 应用乘法公式求二次根式的值
►题型02 最简二次公式的判断
►题型03 分母有理化
►题型04 二次根式的混合运算
►题型05 二次根式估值
►题型06 与二次根式有关的新定义问题
►题型07 与二次根式有关的规律探究
►题型08 二次根式的应用

01考情透视·目标
中考考点
考查频率
新课标要求
二次根式的相关概念
★★
了解二次根式、最简二次根式的概念
二次根式的性质
★★
掌握二次根式的性质
二次根式的运算
★★
了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算
【考情分析】中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.

02知识导图·思
03考点突破·考
考点一 二次根式的相关概念
1.二次根式
二次根式的定义：一般地，我们把形如a（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．
【易错易混】
1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数；
2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：4，-9都是二次根式；
3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0；
4)在具体问题中，如果已知a是二次根式，相当于给出了𝑎≥0.

2.二次根式有意义的条件
1）单个二次根式，如a有意义的条件是𝑎≥0；
2）二次根式作为分母时，如1a有意义的条件是𝑎>0；
3）二次根式与分式相加，如a+1b有意义的条件是𝑎≥0且b＞0.

1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=13+x+1x+2中，自变量x的取值范围是 ．
2．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式1x+3+4-3x有意义的整数x有（    ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
考点二 二次根式的性质与化简
二次根式的性质
1）式子a（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（a≥0），所以a具有双重非负性；
2）a2=aa≥0，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
二次根式的化简
二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
，
【易错易混】
1.在使用ab =a•b （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制.
2.在使用ab=ab（a≥0，b＞0）时一定要注意a≥0，b＞0的条件限制.

1．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算92-62所得结果是（    ）
A．3 B．6 C．35 D．±35
2．（2024·四川乐山·中考真题）已知1<x<2，化简x-12+x-2的结果为（   ）
A．-1 B．1 C．2x-3 D．3-2x
3．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程x2-2k-2x+k2-1=0有两个实数根，则(k-1)2-(2-k)2的化简结果是（    ）
A．-1 B．1 C．-1-2k D．2k-3
4．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a=5×105m/s2，s=0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（    ）
A．0.4×102m/s B．0.8×102m/s
C．4×102 ms D．8×102m/s
5．（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得8m是整数；m= ．
考点三 二次根式的运算
1.二次根式的乘法
乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：
2.二次根式的除法
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：
3.最简二次根式
定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式.
最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
4.二次根式的加减
同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：2、8、12是同类二次根式.
二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
5.二次根式的混合运算
内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.
运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.
易错易混
1）结果要化为最简二次根式或整式；
2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.
6.分母有理化
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：1a=aa•a=aa
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：1a-b=a+b(a-b)(a+b)=a+ba-b；
4题型精研·考
1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ）
A．2+3=5 B．2×5=10
C．2÷2=1 D．(-5)2=-5
2.（2024·重庆·中考真题）估计122+3的值应在（　　）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
3．（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有a⋅b=ab．该运算法则成立的条件是（    ）
A．a>0,b>0 B．a<0,b<0 C．a≤0,b≤0 D．a≥0,b≥0
4．（2023·山东潍坊·中考真题）从-2、3，6中任意选择两个数，分别填在算式□+○2÷2里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
5．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：sin45°+22-1+4+12021-1．

命题点一 二次根式的性质与化简
►题型01 二次根式有意义的条件

1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式1-x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（    ）
A．  B．  
C．  D．  
2．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）若代数式1x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）
A．x≤2 B．x>2 C．x≥2 D．x<2
3．（2024·上海·中考真题）已知2x-1=1，则x= ．
4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=1x-1+1x-2中，自变量x的取值范围是 ．
►题型02 与二次根式有关的开放性试题
1．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式1x+3+4-3x有意义的整数x有（    ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．（2022·四川南充·中考真题）若8-x为整数，x为正整数，则x的值是 ．
3．（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使x-3在实数的范围内没有意义的x值是 ．
4．（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得8m是整数；m= ．
►题型03 利用二次根式的性质化简
1）利用二次根式性质化简时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
2）化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
1．（2020·湖北武汉·中考真题）化简二次根式-32的结果等于 ．
2．（2023·湖北宜昌·中考真题）下列运算正确的个数是（    ）．
①|2023|=2023；②20230=1；③2023-1=12023；④20232=2023．
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2023·四川凉山·中考真题）计算(π-3.14)0+2-12= ．
4．（2022·四川宜宾·中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14c2a2-c2+a2-b222．现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ．
►题型04 二次根式与数轴
1．（2023·内蒙古·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：(m-2)2= ．

2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则(a-b)2-b-a-2的化简结果是（    ）

A．2 B．2a-2 C．2-2b D．-2
3．（2024武威四中二模）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则a-42-a-112化简后为（ ）

A．7 B．-7 C．15-2a D．2a-15
4．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1-b-12+a-b2= ．

命题点二 二次根式的运算
►题型01 应用乘法公式求二次根式的值

1）
2）
1．（2024·天津·中考真题）计算(11-1)(11+1)的结果为 ．
2．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：(2x+y)2+x-yx+y-5xx-y，其中x=6-1，y=6+1．
3．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：x-2y2+x5y-x-4y2，其中x=5+12，y=5-12．
4．（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：
将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．
则S2-S1=(a+b)2-a2
=(a+b)+a⋅(a+b)-a
=(2a+b)⋅b
=b+2ab
例如：当a=1，b=3时，S2-S1=3+23
根据以上材料解答下列问题：
(1)当a=1，b=3时，S3-S2=______，S4-S3=______；
(2)当a=1，b=3时，把边长为a+nb的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1-Sn等于多少吗？并证明你的猜想；
(3)当a=1，b=3时，令t1=S2-S1，t2=S3-S2，t3=S4-S3，…，tn=Sn+1-Sn，且T=t1+t2+t3+⋯+t50，求T的值．
►题型02 最简二次公式的判断
最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
[补充]
①不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2,3,5，a（a≥0），x+y等；
②含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有等.
1．（2021·湖南益阳·中考真题）将452化为最简二次根式，其结果是（    ）
A．452 B．902 C．9102 D．3102
2．（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A．19 B．4 C．a2 D．a+b
3．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（    ）
A．12 B．13 C．14 D．15
4．（2022·广西桂林·中考真题）化简12的结果是（    ）
A．23 B．3 C．22 D．2
►题型03 分母有理化
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：1a=aa•a=aa
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：1a-b=a+b(a-b)(a+b)=a+ba-b；
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：1+2x+1⋅x+1x2-9，其中x=3+3．
2．（2023·湖北恩施·中考真题）先化简，再求值：2x2-4÷1-xx-2，其中x=5-2．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式xx2+2x+1-12x+2÷x-14x+4的值，其中x=2cos45°-1．
►题型04 二次根式的混合运算

运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.
【补充】1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用；
2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质.
二次根式运算时的注意事项：
1）结果要化为最简二次根式或整式；
2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.
1．（2023·甘肃武威·中考真题）计算：27÷32×22-62．
2．（2023·四川内江·中考真题）计算：(-1)2023+12-2+3tan30°-(3-π)0+|3-2|
3．（2024·上海·中考真题）计算：|1-3|+2412+12+3-(1-3)0．
4．（2024·四川凉山·中考真题）计算：13-1+2-3+2-1+cos30°--10．
►题型05 二次根式估值
1．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）关于28，下列说法不正确的是（    ）
A．是无理数 B．能与7合并
C．整数部分是4 D．一定能够在数轴上找到表示28的点
2．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为2cm、5cm，设其面积为Scm2，则S在哪两个连续整数之间（    ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
3．（2024·河北石家庄·三模）计算2(6-2)的结果为 ，这个数落在了数轴上的 段．

4．（2023·湖北荆州·中考真题）已知k=25+3⋅5-3，则与k最接近的整数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022·湖北荆州·中考真题）若3-2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式2+2a⋅b的值是 ．
►题型06 与二次根式有关的新定义问题
1．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ，cosa-β=cosαcosβ+sinαsinβ.例如：当α=60°，β=45°时，cos60°-45°=12×22+32×22=2+64，则cos75°的值为(　　)
A．6+24 B．6-24 C．6-22 D．6+22
2．（2020·青海·中考真题）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=a+ba-b，如3※2=3+23-2=5．那么12※4= ．
3．（2020·内蒙古通辽·中考真题）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n=m2n-mn-3n，如：1※2=12×2-1×2-3×2=-6．

（1）求-2※3；
（2）若3※m≥-6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
4．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．
【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 qq=mn与较大数的和一定为较大数的平方．
（1）举例验证：当 m=4,n=5,则 q+n=4×5+5=25=52
（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：
设m<n， m、n是连续的正整数，
∴n=m+1； ∵q=mn， ∴q+n=mn+n=nm+1=n2．
∴q+n一定是正数n的平方数．
【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．
请你举例验证及推理证明；
【深入思考】若 p=q+2n+q-2m（m， n为两个连续奇数， 0<m<n,q=mn),求证：p一定是偶数．
►题型07 与二次根式有关的规律探究
1．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数2,2,6,22,10,23,⋯,2n,⋯，按以下方式进行排列：

则第八行左起第1个数是（    ）
A．72 B．82 C．58 D．47
2．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式：
S1=1+112+122=1+11×2，S2=1+122+132=1+12×3，S3=1+132+142=1+13×4，…
请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+⋯+S50= ．
3．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数2，2，6，22，…，42，按下列方式进行排列：
2，2，6，22；
10，23，14，4；
…
若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2,3)，则27的位置记为 ．
4．（2022·四川达州·中考真题）人们把5-12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a=5-12，b=5+12，记S1=11+a+11+b，S2=21+a2+21+b2，…，S100=1001+a100+1001+b100，则S1+S2+⋯+S100= ．
5．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？

分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，n>k≥3，d>0），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．

►题型08 二次根式的应用
1．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+⋯+6+6+3=3n个根号，一般地，对于正整数a，b，如果满足b+b+b+⋯+b+b+a=an个根号时，称a,b为一组完美方根数对．如上面3,6是一组完美方根数对．则下面4个结论：①4,12是完美方根数对；②9,91是完美方根数对；③若a,380是完美方根数对，则a=20；④若x,y是完美方根数对，则点Px,y在抛物线y=x2-x上．其中正确的结论有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·山东菏泽·一模）已知a为整数，将其除以4所得的商记为n，余数记为kk≤3，即a=4n+k（n是整数），我们称a属于数组k，记作a∈k，则下列说法正确的是 ．（直接填写序号）
①-3∈3；
②若a为4的倍数，则点An,a到点B17,0的距离的最小值为417；
③所有整数组成的数组n=1+2+3；
④若a-b∈0，则a，b属于同一个数组．
3．（2024·江苏南京·二模）n（n为正整数）的近似值可以这样估算：n≈n+m2m，其中m是最接近n的完全平方数．例如：24≈24+25225=4.9，这与科学计算器计算24的结果4.8989…很接近．

(1)按照以上方法，估计43的近似值（精确到0.1）；
(2)结合图中思路，解释该方法的合理性．
4．（2024·广东中山·三模）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成任务．
用均值不等式求最值
若实数a>0，b>0，则有a+b2≥ab，当且仅当a=b时，取等号，我们称不等式a+b2≥aba>0，b>0为均值不等式．
证明：∵a>0，b>0
∴a-b2≥0
∴a-2ab+b≥0
∴a+b≥2ab
∴a+b2≥ab
由上可知，①当a+b为定值的时候，ab有最大值；
②当ab为定值的时候，有a+b最小值．
所以，利用均值不等式可以求一些函数的最值．
例：已知x>0，求函数y=x+1x的最小值．
解：∵x>0
∴1x>0
∴y=x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时，等号成立
∴当即x=1时，函数y=x+1x取最小值，最小值为2．
任务：
(1)若x>0，则当x=_____时，代数式3x+12x取最小值，最小值为______；
(2)已知若x>2，函数y=x+9x-2，试说明当x取何值时，y取得最小值，并求出y的最小值；
(3)如图，已知点P是反比例函数y=3xx>0图象上一动点，点A-1,1，则△AOP的面积的最小值为______．

第一章 数与式
第04讲 二次根式
（思维导图+2考点+2命题点12种题型（含6种解题技巧））

65
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 二次根式的相关概念
考点二 二次根式的性质与化简
考点三 二次根式的运算
04题型精研·考向洞悉
命题点一 二次根式的性质与化简
►题型01 二次根式有意义的条件
►题型02 与二次根式有关的开放性试题
►题型03 利用二次根式的性质化简
►题型04 二次根式与数轴
命题点二 二次根式的运算
►题型01 应用乘法公式求二次根式的值
►题型02 最简二次公式的判断
►题型03 分母有理化
►题型04 二次根式的混合运算
►题型05 二次根式估值
►题型06 与二次根式有关的新定义问题
►题型07 与二次根式有关的规律探究
►题型08 二次根式的应用

01考情透视·目标
中考考点
考查频率
新课标要求
二次根式的相关概念
★★
了解二次根式、最简二次根式的概念
二次根式的性质
★★
掌握二次根式的性质
二次根式的运算
★★
了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算
【考情分析】中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.

02知识导图·思
03考点突破·考
考点一 二次根式的相关概念
1.二次根式
二次根式的定义：一般地，我们把形如a（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．
【易错易混】
1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数；
2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：4，-9都是二次根式；
3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0；
4)在具体问题中，如果已知a是二次根式，相当于给出了𝑎≥0.

2.二次根式有意义的条件
1）单个二次根式，如a有意义的条件是𝑎≥0；
2）二次根式作为分母时，如1a有意义的条件是𝑎>0；
3）二次根式与分式相加，如a+1b有意义的条件是𝑎≥0且b＞0.

1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=13+x+1x+2中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x>-3且x≠-2
【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，3+x>0x+2≠0，
解得x>-3且x≠-2，
故答案为：x>-3且x≠-2．
2．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式1x+3+4-3x有意义的整数x有（    ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
x+3>0，4-3x≥0
解得-3<x≤43，
∴使代数式有意义的整数有-2，-1，0，1．
共有4个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了代数式有意义的条件，关键是利用分式的分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，列不等式（组）求解，是常考题型，比较简单．
考点二 二次根式的性质与化简
二次根式的性质
1）式子a（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（a≥0），所以a具有双重非负性；
2）a2=aa≥0，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
二次根式的化简
二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
，
【易错易混】
1.在使用ab =a•b （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制.
2.在使用ab=ab（a≥0，b＞0）时一定要注意a≥0，b＞0的条件限制.

1．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算92-62所得结果是（    ）
A．3 B．6 C．35 D．±35
【答案】C
【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可．
【详解】解：92-62=81-36=45=35；
故选C．
2．（2024·四川乐山·中考真题）已知1<x<2，化简x-12+x-2的结果为（   ）
A．-1 B．1 C．2x-3 D．3-2x
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据a2=a化简二次根式，然后再根据1<x<2去绝对值即可．
【详解】解：x-12+x-2=x-1+x-2，
∵1<x<2，
∴x-1>0,x-2<0，
∴x-1+x-2=x-1+2-x=1，
∴x-12+x-2=1，
故选：B．
3．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程x2-2k-2x+k2-1=0有两个实数根，则(k-1)2-(2-k)2的化简结果是（    ）
A．-1 B．1 C．-1-2k D．2k-3
【答案】A
【分析】首先根据关于x的方程x2-2k-2x+k2-1=0有两个实数根，得判别式△=-2k-22-4×1×k2-1≥0，由此可得k≤1，据此可对(k-1)2-(2-k)2进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程x2-2k-2x+k2-1=0有两个实数根，
∴判别式△=-2k-22-4×1×k2-1≥0，
整理得：-8k+8≥0，
∴k≤1，
∴k-1≤0，2-k>0，
∴(k-1)2-(2-k)2
=-k-1-2-k
=-1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
4．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a=5×105m/s2，s=0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（    ）
A．0.4×102m/s B．0.8×102m/s
C．4×102 ms D．8×102m/s
【答案】D
【分析】把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v=2as，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：v=2as=2×5×105×0.64=8×102ms，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得8m是整数；m= ．
【答案】8
【分析】要使8m是整数，则8m要是完全平方数，据此求解即可
【详解】解：∵8m是整数，
∴8m要是完全平方数，
∴正整数m的值可以为8，即8m=64，即8m=64=8，
故答案为：8（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到8m要是完全平方数是解题的关键．
考点三 二次根式的运算
1.二次根式的乘法
乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：
2.二次根式的除法
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：
3.最简二次根式
定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式.
最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
4.二次根式的加减
同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：2、8、12是同类二次根式.
二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
5.二次根式的混合运算
内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.
运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.
易错易混
1）结果要化为最简二次根式或整式；
2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.
6.分母有理化
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：1a=aa•a=aa
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：1a-b=a+b(a-b)(a+b)=a+ba-b；
4题型精研·考
1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ）
A．2+3=5 B．2×5=10
C．2÷2=1 D．(-5)2=-5
【答案】B
【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】A. 2与3不能合并，所以A选项错误；
B. 2×5=10，所以B选项正确；
C. 2÷2=4÷2=2，所以C选项错误；
D. (-5)2=-5=5，所以D选项错误．
故选：B．
2.（2024·重庆·中考真题）估计122+3的值应在（　　）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可．
【详解】解：∵122+3=26+6，
而4<24=26<5，
∴10<26+6<11，
故答案为：C
3．（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有a⋅b=ab．该运算法则成立的条件是（    ）
A．a>0,b>0 B．a<0,b<0 C．a≤0,b≤0 D．a≥0,b≥0
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得a≥0b≥0ab≥0，
∴a≥0,b≥0，
故选：D．
【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键．
4．（2023·山东潍坊·中考真题）从-2、3，6中任意选择两个数，分别填在算式□+○2÷2里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
【答案】522-23（或42-26或922+6，写出一种结果即可）
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择-2和3，
则-2+32÷2=2-26+3÷2
=5-26÷2
=5÷2-26÷2
=522-23．
②选择-2和6，
则-2+62÷2=2-212+6÷2
=8-212÷2
=8÷2-212÷2
=42-26．
③选择3和6，
则3+62÷2=3+218+6÷2
=9+62÷2
=9÷2+62÷2
=922+6．
故答案为：522-23（或42-26或922+6，写出一种结果即可）．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
5．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：sin45°+22-1+4+12021-1．
【答案】2024
【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键．
【详解】解：sin45°+22-1+4+12021-1
=22+1-22