中考数学——全等三角形(练习)(含答案).docx

第四章 三角形
第17讲 全等三角形

1

👉题型01 利用全等三角形的性质求解
👉题型02 添加一个条件使两个三角形全等
👉题型03 结合尺规作图的全等问题
👉题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程
👉题型05 补全全等三角形的证明过程
👉题型06 全等三角形证明方法的合理选择
👉题型07 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
👉题型08 与全等三角形有关的基础模型-平移模型
👉题型09 与全等三角形有关的基础模型-对称模型
👉题型10 与全等三角形有关的基础模型-旋转模型
👉题型11 与全等三角形有关的基础模型-一线三等角
👉题型12 与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型
👉题型13 添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
👉题型14 添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
👉题型15 添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线
👉题型16 添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线
👉题型17 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题
👉题型18 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题
👉题型19 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题

👉题型01 利用全等三角形的性质求解
1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，△CAE≌△EBD，CA⊥AB，且∠ACE=55°，则∠BDE的度数为 ．

2．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，△ABC≌△AEF，有以下结论：① AC=AE；② ∠FAB=∠EAB；③ EF=BC；④ ∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024·上海·模拟预测）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=4，EF=2，点M，N分别在边AB和边DE上，使得△ACM≌△FDN，则AM= ．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点D，E分别是边AB，BC上的动点，且AD=BE，连接AE，CD，当AE+CD的值最小时，∠AEB的度数为（  ）

A．90° B．120° C．135° D．150°
👉题型02 添加一个条件使两个三角形全等
5．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，锐角三角形ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（   ）

A．若∠ACD=∠ABE，则CD=BE B．若BD=CE，则BE=CD
C．若CD=BE，则∠ACD=∠ABE D．若AD=AE，则∠CBE=∠DCB
6．（2024·北京·模拟预测）如图，AD，BE是△ABC的两条高线，只需添加一个条件即可证明△AEB≌△BDA（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可）

7．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在△ABC和△ABD中，AD与BC相交于点O，BC=AD，添加一个条件可以证明AC=BD．

(1)①∠1=∠2；②∠CAD=∠CBD；③OC=OD；④∠C=∠D，上面四个条件可以添加的是______（填序号）．
(2)请你选择一个条件给出证明．
8．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形ABCD为正方形，DE⊥EF，FG⊥AB．

(1)证明：△DAE∽△EGF
(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明△DAE≌△EGF
👉题型03 结合尺规作图的全等问题
9．（2022·北京海淀·一模）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等．

10．（2022·湖南长沙·二模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，小雅按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．

(1)根据小雅的作图方法，得到∠COE=∠OAB．证明过程如下：
由作图可知，在△MAN和△M'ON'中，，
∴△MAN≌△M'ON'（_____________）（此处填理论依据），
∴∠COE=∠OAB．
(2)若AB=6，求线段OE的长．
11．（2022·福建福州·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAC为锐角．

(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得BE=12BC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，BE，若sin∠EBA=57，求EFCF的值．
12．（2022·河南周口·一模）下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
题目背景：在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB上．

(1)作图探讨：在Rt△ABC外侧，以BC为边作△CBE≌△CAD；
小明：如图1，分别以B，C为圆心，以AD，CD为半径画弧交于点E，连接BE，CE．则△CBE即为所求作的三角形．
小军：如图2，分别过B，C作AB，CD的垂线，两条垂线相交于点E，则△CBE即为所求作的三角形．
选择填空：小明得出△CBE≌△CAD的依据是 　 　，小军得出△CBE≌△CAD的依据是 　 　；（填序号）
①SSS②SAS③ASA④AAS
(2)测量发现：如图3，在（1）中△CBE≌△CAD的条件下，连接AE．兴趣小组用几何画板测量发现△CAE和△CDB的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段AC至F点，使CF=CA，连接EF．请你完成证明过程．
(3)迁移应用：如图4，已知∠ABM=∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，BC=32，∠BCD=15°，若在射线BM上存在点E，使S△ACE=S△BCD，请直接写出相应的BE的长．
👉题型04 以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程
13．（2023·贵州六盘水·一模）如图，BA=BE，AC=DE，且AB∥ED，∠A=∠ABE，∠C=∠D．求证：∠ABE=∠CBD．
下面是小亮的解答过程：
证明：在△ABC和△EBD中，BE=BA∠C=∠DAC=ED     第一步
∴△ABC≌△EBDSAS，     第二步
∴∠ABC=∠EBD，     第三步
∴∠ABE=∠CBD．    第四步
(1)小亮的证明过程是从第________步开始出现错误的．
(2)请你写出正确的证明过程．
14．（2024·江苏南通·一模）如图，P是△ABC内一点，PB=PC，∠ABP=∠ACP．求证：∠APB=∠APC．
小虎的证明过程如下：
证明：在△ABP和△ACP中，
∵PB=PC，∠ABP=∠ACP，AP=AP，
∴△ABP≌△ACP．（第一步）
∴∠APB=∠APC．（第二步）
(1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
15．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，已知点D在射线AE上BD=CD，AE平分∠BAC与∠BDC，求证AB=AC．小明的证明过程如下：
证明：
∵ AE平分∠BAC．
∴∠BAD=∠CAD．
∵AD=AD，BD=CD．
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC．
小明的证明是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程．
👉题型05 补全全等三角形的证明过程
16．（2024·重庆·模拟预测）学习了正方形后，小飞同学对正方形中两条互相垂直线段，且两条线段的端点分别在正方形两组对边上的数量关系进行探究．请根据他的思路完成以下作图与填空：
如图，正方形ABCD中，点F、E、G分别在AB、BC、CD上，且AE⊥FG．

(1)尺规作图：过点G作AB垂线交AB于点H．（只保留作图痕迹）
(2)证明AE=FG，将下面的过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，BC=AB，
∵HG⊥AB，∴∠GHF=90°，∴∠B=①
∵FG⊥AE，∴∠AFG+∠BAE=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∴② =∠AFG
∵∠B=∠C=∠GHB=90°，∴四边形BCGH为矩形，∴BC=GH，
∴③ =GH．∴△ABE≌△GHF（④____）∴AE=FG．
17．（2023·重庆巴南·一模）已知：如图，矩形ABCD中，点E是边BC上一点，且AE=AD．

(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作AE的垂线交AE于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)求证：DC=DF，请将下面证明过程补充完整：
证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°， 又∵在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠B=　 ① 　；
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF=　 ② 　；又∵AE=AD，
∴△EBA≌△AFD（　 ③ 　）． ∴AB=　 ④ 　．
∵AB=DC，∴DC=DF．
18．（2023·广西柳州·二模）综合与实践

(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等腰三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．
①求证：AD=BE；将下列解答过程补充完整．
证明：∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+________，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
②若∠ACB=50°，则∠AEB的度数为________．
(2)类比探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断AE、BE与CM三条线段的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，若BE=2，CM=1，请直接写出四边形ABEC的面积．
19．（2022·河南新乡·二模）（1）在△ABC中，AB=nAC，∠BAC=α，∠DAE=12α，且点D，E为边BC上的点（分
别不与点B，C重合，且点D在点E左侧）．
①初步探究
如图1，若n=1，α=120°，BD=CE，试探究BD，DE，CE之间的数量关系．
下面是小东的探究过程（不完整），请补充完整．
解：∵n=1，α=120°，∴AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°．
∴∠ABD=∠ACE=30°．
如图，将△ABD绕点A逆时针旋转120°，得到△ACG，连接GE．

由旋转的性质，可知△AGC≌△ADB，
∴BD=CG，AD=AG，∠ACG=∠ABD=30°．
∴CE=CG，∠GCE=60°．
∴△CGE为等边三角形．（依据：_________________）
∴CG=______=______．
∵∠DAG=120°，∠DAE=60°，
∴∠DAE=∠EAG=60°，
又∵AE=AE，
∴△ADE≌△AGE．
∴DE=GE．
∴BD=CE=DE．
②类比探究
如图2，若n=1，α=90°，BD≠CE，请写出BD，DE，CE之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．
（2）问题解决
如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AM⊥BC于点M，BM=3，CM=2，点N为线段BC上一动点，当点N为BC的三等分点时，直接写出AN的长．

👉题型06 全等三角形证明方法的合理选择
20．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：

(1)AF=CG；
(2)CF=2DE．
21．（2024·青海玉树·三模）[证明体验]
(1)[思考探究]如图1，在△ABC中，点D在边BC上，点F在边AC上，AB=AD，FB=FC，AD与BF相交于点E．求证：∠ABF=∠CAD．

(2)[拓展延伸]如图2，在（1）的条件下，过点D作AB的平行线交AC于点G，若DE=2AE，AB=6，求DG的长．

22．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长AF交边BC于点G．

(1)求证：CG=FG；
(2)若正方形的边长为2，求BG的长．
23．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，P是菱形对角线AC上的一点，连接DP并延长交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F．

(1)如图1，求证：△APB≌△APD；
(2)如图2，连接EF、BD，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括以菱形的边AD和AB为腰的等腰三角形）．
👉题型07 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
24．（2024·内蒙古包头·三模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=6；④S正方形ABCD=2+3，其中正确的序号是 .（填写所有正确结论的序号）

25．（2024·四川广元·二模）如图，点 P 是正方形ABCD内部的一个动点，且ABP是以AB 为底边的等腰三角形，连接AC，PD，PC，有下列结论：

①PD=PC;
②PA+PC>AC;
③当PB=BC时，∠BPC=60°;
④当AB=AP时， SABC=3+1SAPC．
其中结论正确的是（   ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
26．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AD=3cm，AB=4cm，点M，N分别在AB，CD边上，且AM=CN，将△ADM，△BCN分别沿DM，BN折叠，点A的对应点为A'，点C的对应点为C'，点A，A'在BD的同侧，连接A'C'，BD．甲，乙两人有如下说法：
甲：当A'C'∥AD时，A'C'=25−3cm；
乙：当A'C'⊥BD时，A'C'=11cm．
则下列正确的是（    ）

A．甲错，乙对 B．甲对，乙错 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
27．（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形ABC中，有一点P，连接PA、PB、PC，将BP绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接PD、AD，有如下结论：①△BPC≌△BDA；②△BDP是等边三角形；③如果∠BPC=150°，那么PA²=PB²+PC²．以上结论正确的是（   ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
👉题型08 与全等三角形有关的基础模型-平移模型
28．（2024·云南昆明·一模）如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，且点B，E、C、F在同一条直线上．求证：∠ACB=∠DFE．

29．（2024信阳市模拟预测）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD=CE，AB∥DF，AB=DF．

(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连接CF，若∠BCF=54°，∠DFC=20°，求∠DFE的度数．
👉题型09 与全等三角形有关的基础模型-对称模型
30．（2024·广东·模拟预测）（1）解不等式组：3x+1<4−2x<4
（2）如图，已知A，F，C，D四点共线，AF=CD，AB=DE，∠A=∠D，连接BC，EF，求证：BC=EF．

31．（2024中山市模拟预测）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．
试说明：PM=PN．

32．（2024·青海·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．

(1)求证：AC=AE；
(2)若BC=4，AB=5，求BE的长．
👉题型10 与全等三角形有关的基础模型-旋转模型
33．（2024九年级下·浙江·专题练习）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．

参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
(1)在图2中，∠GAF的度数是______．
(2)如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD>BC)，∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°,DE=4，求BE的长度．
(3)如图4，△ABC中，AC=4,BC=6，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB的度数为多少时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．
34．（2024·贵州遵义·三模）如图①，已知正方形ABCD和等腰直角△AEF，∠BAD=∠EAF=90°，连接DF，BE．

(1)【问题发现】
如图①，线段BE与DF的数量关系为______，位置关系为______；
(2)【问题探究】
如图②，将△AEF绕点A旋转，再将DF绕点F顺时针方向旋转90°至FM，连接BM，探究线段EF与线段BM的数量及位置关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
将△AEF绕点A旋转至AF∥BE，延长DF交直线AB于H、交BE于G，若FH=4，DF=9，求出BG的长．
35．（2024·山东济南·模拟预测）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D是△ABC内部任意一点．连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接BD,CE，则线段BD与CE的数量关系是______．
（2）如图2，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转DE<AB，且∠EDF=90∘，DE=DF，连接AE,CF，直线AE与直线CF相交于点G．
①求证：AE⊥CF；
②如图3，当点G在FC的延长线上时，连接BG，已知AB=5,DE=4，在△DEF旋转的过程中，求线段BG的最小值．

36．（2024·贵州贵阳·二模）小瑞同学在进行数学探究活动中发现：将矩形ABCD绕点C顺时针方向旋转α0<α<180°得到矩形EFGC．
[探究1]（1）如图①，当α=30°时，点E在AD上，连接BE，求∠AEB的度数；
[探究2]（2）如图②，连结BD，FC，过点E作EM∥FC交BD于点M．证明：BM=EM；
[探究3]（3）在探究2的条件下，射线BD分别交EC，FC于点P，N，如图③，探究线段BN，MN，PN之间的数量关系．

👉题型11 与全等三角形有关的基础模型-一线三等角
37．（2024太原市模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．求证：

(1)△CDA≌△BEC；
(2)BE=AD−DE
38．（2024·黑龙江鸡西·二模）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．

(1)如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE，AB，DE满足数量关系是 ；
(2)如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB，BD，DE，AE之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明；
(3)如图3，BC=8，AB=3，DE=7，若∠ACE=120°，则线段AE长度的最大值是 ．
39．（2024·青海西宁·三模）类比探究题：
【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△ACD≌△CBE．
【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为0,1，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为直角边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系．
【拓展拔高】（3）如图3，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则y与x的函数关系是_______，BE最大值为______．

👉题型12 与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型
40．（2024·青海西宁·一模）【问题呈现】
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD=CE；
【类比探究】
如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AD=a，AB=b，∠ABC=∠ADE=90∘．连接BD，CE．请写出BDCE=__________；并写出详细解答过程．

41．（2024·湖北·模拟预测）问题背景 如图（1），在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：BD=CE．
类比探究 如图（2），D，P是等边△ABC外两点，连接BD并取BD的中点M，且∠APD=120°，∠MPC=60°，试猜想PA与PD的数量关系，并证明你的猜想．
拓展应用 如图（3），在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=90°，AD=CD，AB=23，BD=42，直接写出BC的长．

👉题型13 添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
42．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在△ABC中，AB=6，AC=8，第三边上的中线AD=x，则x的取值范围是____．

【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长AD至点A'，使得DA'=AD，连结A'C，根据“SAS”可以判定△ABD≌__________，得出A'C=AB=6．在△AA'C中，A'C=6，AC=8，AA'=2x，故中线AD的长x的取值范围是_______．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知AB=AC，AD=AE，∠BAE+∠CAD=180°，连接BE和CD，点F是CD的中点，连接AF．求证：BE=2AF．小明发现，如图④，延长AF至点A'，使FA'=AF，连接A'D，通过证明△ABE≌△DA'A，可推得BE=AA'=2AF．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长AF至点A'，使FA'=AF，连接A'D，
∵点F是CD的中点，
∴CF=DF．
∵AF=A'F，∠AFC=∠A'FD，
∴△ACF≌△A'DF(SAS)，
∴A'D=AC，∠A'DF=∠ACF，
∴A'D∥AC，∠A'DA+∠CAD=180°．
请你补全余下的证明过程．
【问题拓展】（3）如图⑤，在△ABC和△AEF中， AB=AE，AC=AF，∠BAC+∠EAF=180°，点M，N分别是BC和EF的中点．若BC=4，EF=6，则MN的取值范围是 ．
43．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
“倍长中线法”中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”加辅助线．
如图1．在△ABC中，AD平分∠BAC，且D恰好是边BC的中点．求证：AB=AC．

证明：如图2，延长AD至点E，使DE=AD．
∵D是边BC的中点
∴BD=CD．
∵∠ADB=∠EDC，DE=AD，
∴△ABD≌ △ECD（依据）．
∴，∠BAD=∠E．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠E，
∴AC=CE，
∴AB=AC．
任务：
(1)材料中的“依据”是________．（填选项）
A．SAS    B．ASA   C．AAS   D．SSS
(2)在△ABC中，AB=6 cm，AC=4 cm，则BC边上的中线AD长度的取值范围是________．
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，AM平分∠BAD，且M是BC的中点，AB=2，AD=3，求DC的长．
👉题型14 添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
44．（22-23九年级·全国·单元测试）已知A、B、C、D顺次在圆O上，AB=BD，BM⊥AC于点M，求证：AM=DC+CM．

45．（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：已知正方形ABCD中，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE交正方形的外角∠DCL的平分线于点F．

(1)【动手操作】
如图①，在BA上截取BP=BE，连接EP，根据题意在图中画出图形，图中∠APE=_____度；
(2)【深入探究】
E是线段BC上的一个动点，如图②，过点F作FG∥AE交直线CD于点G，以CG为斜边向右作等腰直角三角形HCG，点H在射线CF上，求证：FG=EF；
(3)【拓展应用】
在（2）的条件下，若E是射线BC上的一个动点，AB=5，CE=2，求线段DG的长．
46．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．

(1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN．用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系，并说明理由；
(2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，用等式写出线段MN，DM，BN的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN=60°，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由．
👉题型15 添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线
47．（2024葫芦岛市模拟预测）【问题初探】
（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点F是AC上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED=DF，求证：BE=CF．

①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM=BD，连接FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；

②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；

【类比分析】
（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，
如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若∠EAD+∠ANC=180°，求证：AB=CN；

【学以致用】
（3）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD=CD，请直接写出线段AE，CN和BC之间的数量关系．

48．（2024·江苏宿迁·模拟预测）【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：
如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的一个三等分点，且AE=13AC．连结AD，BE交于点G，求BGGE值．
小明发现，过点D作AC的平行线或过E作BC的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程
【尝试应用】
（2）如图②，在△ABC中，D为AC上一点，AB=AD，连结BD，若AE⊥BD，交BD、BC于点E、F．若AD=9，CD=3，AF=8，则AE的长为 ．
【拓展提高】
（3）如图③，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE、AC分别交于点G、M，若CFCD=25，若△BEG的面积为2，则△ABG的面积为 ．

👉题型16 添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线
49．（2024·黑龙江佳木斯·一模）△ABC是等腰三角形， ∠ACB=90°，M是BC的中点，D 为射线BC上一点（不与点 B，C重合）、连接AD 并延长到点 E，使得DE=AD，连接BE．过点 B作BE的垂线交直线AC于点 F．

(1)如图①，点D在线段BM上，线段CD，DB，CF 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明：
(2)当点D在线段MC上时，如图②；当点D在MC的延长线上时，如图③，直接写出线段CD，DB，CF 之间的数量关系，不需证明．
50．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC的中点，点E在AB边上，以DE为腰作等腰直角△DEF，连接CF．

(1)若DE⊥AB，求证：CF=BE；
(2)如图1，当点E在AB边上移动，且点F在△ABC内部时，探究∠DCF的大小是否变化？若不变，求∠DCF的度数；若变化，请说明理由；
(3)如图2，当点F在△ABC外部时，EF与AC交于点G，若BC=8，AE=13BE，求EG的长．
👉题型17 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题
51．（2024贵州市模拟）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务．
项目课题
探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题
问题提出
墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？
项目图纸

解决过程
①标记测试直杆的底端点D，测量OD的长度．②找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO=∠ABO；④记下直杆与地面的夹角∠ABO；
项目数据
…
任务：(1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是 ；
A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→①
(2)若∠ODC=20°，则∠ABO= ；
(3)请你说明他们作法的正确性．
52．（2024·广东汕头·一模）如图，为了测量凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（AB=CB，∠ABC=90°）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若∠AMN=∠CNM=90°，测得AM=18cm，CN=30cm，则该凹槽的宽度MN的长为 cm．

53．（2022·浙江金华·模拟预测）图1是一款平衡荡板器材，其示意图如图2，A、D为支架顶点，支撑点B，C，E，F在水平地面同一直线上，G、H为荡板上固定的点，GH∥BF，测量得AG=GH=DH，Q为DF上一点且离地面1m，旋转过程中，AG始终与DH保持平行．如图3，当旋转至A，Q，H在同一直线上时，连接G'Q，测得G'Q=1.6m，∠DQG'=90°，此时荡板G'H距离地面0.6m．

（1）DQ的长为 m．（2）点D离地面的距离为 m．
👉题型18 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题
54．（2023·河北秦皇岛·三模）要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案．
方案Ⅰ：如图1，先过点B作BF⊥AB，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可；
方案Ⅱ：如图2，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，则测量BC的长即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（    ）

A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
55．（2024汕头市模拟预测）【综合实践活动】
【问题背景】
小亮想测量他家门口水塘两个端点A，B长度（如图1），但是小亮找不足够长度的绳子，小亮寻求哥哥的帮助．
【理论准备】
哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明DE的长度等于水塘两个端点AB长度的原因；

【实际操作】
小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出AB长度（如图3），方法如下：
（1）在房屋M墙CD边找一点C，使得∠ACB=45°；
（2）在院子里找一点E，使得：CE⊥CD此时发现CD=CE；
（3）测量出B到房屋M墙CD的距离BD，即：BD⊥CD，BD=13.8m；
（4）测量出A到CE的距离AE，即：AE⊥CE，AE=14.4m，同时发现CE=CD；
经过以上的方法可以计算出AB的长度．
请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出AB的长度：
解：如图4，延长AE至F，使得EF=BD，连接CF．
……

【成果迁移】
如图5，海警船甲在指挥中心（A处）北偏西20°的B处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处，并且两艘船到指挥中心A的距离相等（AB=AC），可疑船只沿北偏东20°的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D，E处，且两船和指挥中心形成的夹角为55°，（∠DAE=55°），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离DE．

👉题型19 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题
56．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BD、CD上的动点．且BE=CF．则AE+AF的最小值为 ．

57．（2024·广东广州·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为边向下作正方形DEFG．则DE+CG+CF的最小值为（   ）

A．2 B．2 C．4 D．22
58．（2023·海南海口·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长是1，点E是边CD上一动点（不与D、C两点重合），将△ADE沿AE折叠得△AGE，延长EG交BC于点F，连接AF．

(1)求证：AF平分∠BAG；
(2)点E在运动过程中，△CEF的周长是否发生变化？如果发生变化，请说明变化情况；如果不发生变化，请求出△CEF的周长．
(3)当点E运动到什么位置时，AE=AF？

1．（2024·山西·中考真题）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正