中考数学——一元二次方程及其应用(含6种解题技巧))(含答案).docx

第二章 方程与不等式
第07讲 一元二次方程及其应用
（思维导图+4考点+4命题点15种题型（含6种解题技巧））

1
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 一元二次方程及解法
考点二 根的判别式
考点三 一元二次方程根与系数的关系
考点四 一元二次方程的实际应用
04题型精研·考向洞悉
命题点一 一元二次方程及其解法
►题型01 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值
►题型02 选用合适的方法解一元二次方程
►题型03 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程
►题型04 配方法的应用
►题型05 以开放性试题的形式考查解一元二次方程
命题点二 根的判别式
►题型01 不解方程，判断一元二次方程根的情况
►题型02 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围
►题型03 利用根的判别式求代数式的值
►题型04 以开放性试题的形式考查根的判别式
命题点三 一元二次方程根与系数的关系
►题型01 不解方程，求方程中参数的值
►题型02 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值
命题点四 一元二次方程的实际应用
►题型01 变化率问题
►题型02 几何图形问题
►题型03 以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用
►题型04 以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用

01考情透视·目标导航
中考考点
考查频率
新课标要求
一元二次方程及其解法
★★
理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程
一元二次方程根的判别式
★
会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等
一元二次方程根与系数的关系
★★
了解一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的实际应用
变化率问题
★★
能根据现实情境理解方程的意义；
能针对具体问题列出方程；
能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
利润问题
★★
循环问题
★
面积问题
★
其它问题
★
【考情分析1】本专题包括利用根的判别式确定一元二次方程解的情况、已知方程解的情况确定方程中未知字母的值及利用根与系数关系求解某些特定形式的代数式的值,试题形式多样，难度一般，常与完全平方公式的各种变形结合考查.
【考情分析2】一元二次方程的应用的考查多以解答题形式出现，难度一般，主要涉及的问题有变化率问题、利润问题、几何图形问题等. 解决实际问题时，要检验所求解是否满足实际意义，注意取舍.
【命题预测 】本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为12分左右.预计2025年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了．

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究
考点一 一元二次方程及解法
一、一元二次方程基础
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.
【易错/热考】如果明确了ax2+bx+c=0为一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件.
一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.
判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根.
二、一元二次方程的解法
基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解.
1. 直接开平方法（基础）
例：形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程：
当b＞0时，则x1=ba=，x2= -ba，此时方程有两个不相等的实数根；
当b＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根；
当b＜0时，则方程无实数根.
2. 配方法（基础）
配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解.
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边；
2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；
4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解.
3. 公式法
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)；
2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：；
4）最后求出.
【补充说明】求根公式的使用条件：
4. 因式分解法
依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0.
步骤：
1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4）求解.
【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0.

1．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程x-2x+3=0，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ．
2．（2025·云南昆明·一模）若关于x的方程m+1x²+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（   ）
A．m≠-1 B．m=1 C．m>1 D．m≠0
3．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程x2-3x+m=0的一个根为1，则m= ．
4．（2024·山东德州·中考真题）把多项式x2-3x+4进行配方，结果为（   ）
A．x-32-5 B．x-322+74
C．x-322+254 D．x+322+74
5．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程x2-2x-2023=0时，将它转化为(x+a)2=b的形式，则ab的值为（   ）
A．-2024 B．2024 C．-1 D．1
考点二 根的判别式
根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即.
根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定.
1）ó方程有两个不相等的实根:x=-b±b2-4ac2a；
2）ó方程有两个相等的实根：x1=x2=-b2a；
3）ó方程无实根.
【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根．
【易错易混】
1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程；
2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根.

1．（2023·吉林·中考真题）一元二次方程x2-5x+2=0根的判别式的值是（    ）
A．33 B．23 C．17 D．17
2．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线y=x2-x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 ．
3．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2-10x+m=0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A．3 B．23 C．14 D．214
4．（2024·上海宝山·一模）一次函数y=-3x-a不经过第三象限，关于x的方程ax2-3x+1=0的解的个数为 ．
5．（2024·四川眉山·二模）已知关于x的一元二次方程x2-3x=1-3m有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22-x1x2≤15，求m的取值范围．
考点三 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：x1+x2＝-ba，x1•x2＝ca
【补充说明】
1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：.
2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为x1+x2＝-p， x1•x2＝q.
3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是.
4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值.

1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5．则原来的方程是(    )
A．x2+6x+5=0 B．x2-7x+10=0
C．x2-5x+2=0 D．x2-6x-10=0
2．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程x2-2x+k=0的一个根为-2，则方程的另一个根为 ．
3．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程x2+x-2=0的两根分别为x1，x2，则1x1+1x2的值为 ．
4．（2023·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：aa2-b2-1a+b÷1a2-ab，其中a，b是方程x2+x-6=0的两个根．
考点四 一元二次方程的实际应用
用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
一元二次方程的常见问题及数量关系：
常见问题
数量关系
变化率问题

利润问题
利润=售价-进价；
利润率=利润/进价×100%
总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量.
循环问题
单循环（如握手问题）：12n（n－1） （其中n为人数）
双循环（如写信问题）：n（n－1） （其中n为人数）
面积问题

(a−2x)(b−2x)
（x为空白部分的宽）
(a−x)(b−x)
（x为阴影部分的宽）

1．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ）
A．72001+x2=8450 B．72001+2x=8450
C．84501-x2=7200 D．84501-2x=7200
2．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（    ）
A．670×1+2x=780 B．670×1+x2=780
C．670×1+x2=780 D．670×1+x=780
3．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意得方程是（    ）
A．0.641+x=0.69 B．0.641+x2=0.69
C．0.641+2x=0.69 D．0.641+2x2=0.69
4．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（    ）
A．x+1+x=36 B．21+x=36 C．1+x+x1+x=36 D．1+x+x2=36
5．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（    ）
A．201+2x=31.2 B．201+2x-20=31.2
C．201+x2=31.2 D．201+x2-20=31.2
6．（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．

7．（2022·辽宁丹东·中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
04题型精研·考向洞悉
命题点一 一元二次方程及其解法
►题型01 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值
1．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x的一元二次方程a+2x2+x+a2-4=0的一个根是x=0，则a的值为（    ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．12
2．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m，n，则3m2-4m+n2的值为 ．
3．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程x2+4x-1=0的一个根，则(m+5)(m-1)的值为 ．
4．（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程x2-2x-1=0的根，则m2+1m2= ．
►题型02 选用合适的方法解一元二次方程

已知a，b，c分别为二次项系数，一次项系数，常数项.
1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法；
2）当b=0时，首选直接开平方法；
3）当c=0时，可选因式分解法或配方法；
4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法；
5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法.
1．（2024·安徽·中考真题）解方程：x2-2x=3
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：(2x+3)2=(3x+2)2
3．（2024·贵州·模拟预测）计算
(1)33-32+π+30+27+3-2
(2)从下列方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程
①x2-8x-1=0  ②x+32=1-2x2   ③2x+32-25=0
4．（2024·湖南衡阳·一模）（1）用配方法解方程：x2=2x-1；
（2）用适当的方法解方程：x2x-1=4x-2．
►题型03 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程
1．（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程3x-3=x-32的过程如下框：
小敏：
两边同除以x-3，得
3=x-3，
则x=6．
小霞：
移项，得3x-3-x-32=0，
提取公因式，得x-33-x-3=0．
则x-3=0或3-x-3=0，
解得x1=3，x2=0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
2．（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：移项，得2x2+4x=8，……第一步
二次项系数化为1，得x2+2x=4，……第二步
配方，得(x+2)2=8，……第三步
由此可得x+2=±22，……第四步
所以，x1=-2+22，x2=-2-22．……第五步
(1)小明同学的解答过程，从第________步开始出现错误；
(2)请你写出正确的解答过程．
3．（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程x2-2x-3=0时，两位同学的解法如下：
解法一：
x2-2x=3
x(x-2)=3
x=1或x-2=3
∴ x1=1或x2=5
解法二：
a=1，b=-2，c=-3
b2-4ac=4-12=-8
∵ b2-4ac<0
∴此方程无实数根．
(1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”．
(2)请选择合适的方法求解此方程．
4.（2024·江西·一模）课堂上，刘老师展示了一位同学用配方法解x2-42x-4=0的过程，如下：
解：原方程可化为x2-42x=4，第一步
配方，得x2-2⋅x⋅22+(42)2=4+(42)2，第二步
即(x-42x)2=36，第三步
直接开平方，得x-42=±6，第四步
所以x1=42+6，x2=42-6．第五步
(1)这位同学的解题过程从第______步开始出现错误；
(2)请你正确求解该方程．
►题型04 配方法的应用
【利用配方法求代数式的最值】求多项式的最值时，要先把多项式配方成的形式.若a＞0，则代数式有最小值；若a＜0,则代数式有最大值.
1．（2022·山东德州·中考真题）已知 M=a2-a，N=a-2（a 为任意实数），则M-N的值（      ）
A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定
2．（2023·江苏连云港·中考真题）若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 ．
3．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 m2+4的大小， 填“>” “<”或“=”：
①当m=3时， 4m m2+4；
②当m=2时， 4m m2+4；
③当m=-3时， 4m m2+4；
（2）论证，无论m取什么值，判断4m与m2+4有怎样的大小关系?试说明理由；
（3）拓展，试通过计算比较．x2+2与2x2+4x+6的大小．
4．（2023·江苏扬州·二模）（1）数学活动小组在研究函数y=x+1x的图像时提出了下列问题：
①函数y=x+1x的自变量x的取值范围是 ；
②容易发现，当x>0时，y>0；当x<0时，y<0．由此可见，图像在第 象限；
③阅读材料：当x>0时，y=x+1x=x2+1x2=(x-1x)2+2≥2．
当x=1x时，即x=1时，y有最小值是2．
请仿照上述过程，求出当x<0时，y的最大值；
（2）当x>0时，求y=x2+3x+16x的最小值；
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．

►题型05 以开放性试题的形式考查解一元二次方程
以开放性试题的形式考查直接解一元二次方程，解题时可以根据题目选择不同的方法解决问题有利于培优策略性思维。
1．（2023·贵州六盘水·一模）（1）小明解分式方程2x+3x=1-x-1x的过程如下：
去分母，得2x+3=1-x-1，…第一步
去括号，得2x+3=1-x+1，…第二步
移项，得2x+x=1+1-3，…第三步
合并同类项，得3x=-1，…第四步
系数化为1，得x=-13．…第五步
检验：当x=-13时，x≠0，…第六步
∴x=-13是原分式方程的解．…第七步
上述解答过程是从第 步开始出现错误的，请写出正确的解答过程；
（2）在初中阶段，我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+6x-3=0；②x2-4x=0；③x2-7x=7；④x2-9=0．
2．（2023·贵州黔东南·一模）我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2=25；②x2+6x=-4；④x2-4x-7=0；④x2+2x=0
命题点二 根的判别式
►题型01 不解方程，判断一元二次方程根的情况
一元二次方程根的情况与判别式的关系：
1）ó方程有两个不相等的实根:x=-b±b2-4ac2a；
2）ó方程有两个相等的实根：x1=x2=-b2a；
3）ó方程无实根.
1．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ）
A．x2-6x=0 B．x2-9=0
C．x2-6x+6=0 D．x2-6x+9=0
2．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程x2+kx-2=0的根的情况是（   ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．（2023·四川广安·中考真题）已知a，b，c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
►题型02 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围

1）有根_Δ≥ 0; 2）有两个不等根_Δ＞0;
3）有两个相等根_Δ= 0; 4）无实数根_Δ＜0.
【易错点】根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围时，若二次项系数含有所求的字母参数，则不要忽略隐含条件a≠0，否则这个参数的取值范围会增大，导致解题错误.
1．（2024·山东泰安·中考真题）关于x的一元二次方程2x2-3x+k=0有实数根，则实数k的取值范围是（    ）
A．k<98 B．k≤98 C．k≥98 D．k<-98
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程m-2x2+4x+2=0有两个实数根，则m的取值范围是（    ）
A．m≤4 B．m≥4 C．m≥-4且m≠2 D．m≤4且m≠2
3．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k值为 ．
4．（2024·广东广州·中考真题）关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：1-m2|m-3|÷m-12⋅m-3m+1．
5．（2024·四川南充·中考真题）已知x1，x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)若k<5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．
►题型03 利用根的判别式求代数式的值
1．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程x2-2k-2x+k2-1=0有两个实数根，则(k-1)2-(2-k)2的化简结果是（    ）
A．-1 B．1 C．-1-2k D．2k-3
2．（2023·甘肃兰州·中考真题）关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2-21+2c=（    ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
3．（2024·四川雅安·模拟预测）关于x的一元二次方程ax2-bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根，则b2-2(2a-1)的值是（　　）
A．-4 B．4 C．2 D．-2
4．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2-x+14a=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令m=4b2-4b-5a+4，则（    ）
A．m>-2 B．m≥-2 C．m≤-2 D．m<-2
►题型04 以开放性试题的形式考查根的判别式
1．（2023·甘肃武威·中考真题）关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根，则c= （写出一个满足条件的值）．
2．（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
3．（2023·山东济南·中考真题）关于x的一元二次方程x2-4x+2a=0有实数根，则a的值可以是 （写出一个即可）．
4．（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b=2,c=1；②b=3,c=1；③b=3,c=-1；④b=2,c=2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
命题点三 一元二次方程根与系数的关系
►题型01 不解方程，求方程中参数的值
1．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x1、x2，且1x1+1x2=3，则p的值为（     ）
A．-23 B．23 C．-6 D．6
2．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根，且x1+x2+x1⋅x2=2，则实数m= ．
3．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2-px+1=0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2．
(1)填空：x1+x2=________，x1x2=________；
(2)求1x1+1x2，x1+1x1；
(3)已知x12+x22=2p+1，求p的值．
4．（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+m=0．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若2a+ba+2b=20，求m的值．
►题型02 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值
利用根与系数的关系还可以求出关于、的代数式的值，涉及到的变形如下：
1．（2024·四川成都·中考真题）若m，n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根，则m+n-22的值为 ．
2．（2024·四川泸州·中考真题）已知x1，x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根，则x1-x22+3x1x2的值是 ．
3．（2023·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2-3a+2=0，b2-3b+2=0，且a≠b，则1a+1b= ．
4．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=-ba，x1x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根，
∴m+n=1,mn=-1．
则m2n+mn2=mnm+n=-1×1=-1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2=___________；
(2)类比：已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
(3)提升：已知实数s，t满足2s2+3s-1=0，2t2+3t-1=0且s≠t，求1s-1t的值．
命题点四 一元二次方程的实际应用
►题型01 变化率问题
1．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
2．（2023·辽宁大连·中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020-2022年买书资金的平均增长率．
3．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
►题型02 几何图形问题
1．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．

2．（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）有一块矩形铁皮如图所示，长为20m，宽为15m，现打算从该铁皮上裁出两个完全相同的小矩形，每个小矩形的长为2xm，宽为xm，使得裁完后剩余铁皮（图中阴影部分）的面积为156m2，请计算裁出的每个小矩形的周长．

►题型03 以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用
1．（2024·黑龙江·模拟预测）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（    ）
A．20％ B．22％ C．25％ D．26％
2．（2024·四川成都·二模）世界羽坛最高水平团体赛成都2024 “汤尤杯”将于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”14日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套．
(1)若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？
(2)销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？
3．（23-24九年级上·全国·课后作业）据统计，2020年底某市汽车拥有量为75万辆，而截止到2022年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2024年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2023年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2023年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出2020年底至2022年底该市汽车拥有量的年平均增长率．
4．（2024·辽宁·模拟预测）沈阳市推出“沈水之阳 我心向往——冬日雪暖阳”沈阳冬季游系列活动，涵盖四大主题300余项精彩活动．2024 年春节假期期间，沈阳文旅市场异常火爆，累计接待国内游客1112.13万人次，据统计，我市某景点去年12月份接待游客人数为4万人，今年2月份接待游客人数5.76万人．求今年1月和2月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率．
5．（2024·山西朔州·二模）2024年中国家电及消费电子博览会AWE2024在上海举行．据了解某电商平台2024年2月份的销售额是10万元，由于乘借“以旧换新”的政策东风，4月份的销售额是12.1万元．求该电商平台3，4两个月销售额的月平均增长率．

►题型04 以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用
1．（2024·浙江金华·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理．如图所示，矩形ABCD就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形ABCD面积的是（    ）

A．BM与DM的积 B．BE与DE的积
C．BM与DE的积 D．BE与DM的积
2．（2024·四川达州·模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　）

A．-1或-4 B．1或-4 C．-1或4 D．1或4
3．（2023·陕西西安·三模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，设正方形城池的边长为x步．根据题意整理成一元二次方程的一般形式 ．

4．（2021·安徽·三模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遺人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？
5．（2023·福建泉州·一模）我国古代数学家梅鼓成在其著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖笔过去，亦长二尺无疑两隅斜去恰方齐，请问三色各几？意思是；今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度比长竿小4尺；将长竿直立过门，门的高度比长竿小2尺．将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多少尺？

6．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示ICME-14的