中山大学研究生入学考试数学分析试题解答.doc

中山大学研究生入学考试数学分析试题解答

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中山大学研究生入学考试数学分析试题解答.
科目代码：670
摘 要：本文给出了中山大学 研究生入学考试数学分析试题的一个参考答案.
关键词：中山大学；研究生 数学分析
白 建 超
5月30日
1.(每小题15分，共60分)计算下列各题:
(1)
(2) .
(3) .
(4) ,其中为立体的边界曲面.
解(1)

(2)首先做一下说明：对积分做变换，则
，
因此
.
故

(3)首先级数在时收敛，因为由比值判别法的极限形式有
，即，因此对，
当时收敛，极限不存在，即发散；
当时收敛，极限存在，记当则,两式相减解得
.
又,因此

(4)记上顶面为，
锥面：.
当时，；
当，.则
.

2.(15分)考察函数在点的可微性.
解 本人感觉此题有问题，应该是

若不是，显然和都不存在，也不存在，故不可微.
下面给出我的个人看法：

而

与的取值有关，故此极限不存在，因此在点的不可微.
3.(15分)求空间一点到平面的最短距离.
解 设为平面上的任意一点，则目标函数为
.
能够转化为求函数在约束条件的最小值问题.此题有两种解法
(方法1)利用拉格朗日乘数法求条件极值，设
，
对分别求偏导数，并令其为零，即

代入得

从而
,
因此点到平面的最短距离为
.
(方法2)能够将约束条件代入函数中消去，转化为求二元函数的极小值问题,由于计算比较复杂，不再赘述，有兴趣的读者能够做一下.
4.(20分)设，求由抛物线与双曲线所围
成的平面区域的面积.
解 如图所示，解得交点坐标分别为

故所求的区域面积为

附图：

5.(20分)设，试问为何值时，方程存在正实根.
解 令，则有

因为在上严格单调递减，且有

当时，，此时解得显然成立，故当时， 在上严格单调递减.而，因此方程在时不存在正实根.
当时，令解得，即在上单调递减，在上单调递增,又，，由介值性定理知，方程在内有唯一的正实根.
6.(20分)设函数定义在上，证明上满足下述方程：
.
证 设,
则

即,(为常数)，，因此故证
.