中考数学——一次方程(组)及其应用(练习)(含答案).docx

第一章 数与式
第05讲 一次方程（组）及其应用

1

👉题型01 等式的性质
👉题型02 一元一次方程的相关概念
👉题型03 二元一次方程的相关概念
👉题型04 二元一次方程组的相关概念
👉题型05 已知二元一次方程组的解求参数
👉题型06 解一次方程（组）
👉题型07 一元一次方程解的综合应用
👉题型08 与一次方程（组）有关的污染问题
👉题型09 与一元一次方程有关的新定义问题
👉题型10 解二元一次方程组--特殊解法
👉题型11 解二元一次方程组--错解复原问题
👉题型12 解二元一次方程组--同解方程组
👉题型13 解二元一次方程组—拓展
👉题型14 中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程组
👉题型15 列方程（组）
👉题型16 一元一次方程的应用
👉题型17 二元一次方程组的应用
👉题型18 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用
👉题型19 洛书

👉题型01 等式的性质
1．（2024·吉林长春·一模）已知a=b，下列式子不一定成立的是（    ）
A．a+2=b+2 B．ac=bc
C．a-1>b-2 D．a2>b3
2．（2024·河北邯郸·三模）天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，如图，则关于“□”“◯”“△”质量的大小关系，下列说法正确的是 （      ）

A．△最重 B．◯最重 C．□最重 D．无法比较
3．（2024·安徽亳州·三模）设a,b,c为互不相等的实数，且a=37b+17c，则下列结论正确的是（    ）
A．a>b>c B．c>b>a C．a-b=6b-c D．a-c=3b-2a
4．（2023·内蒙古包头·二模）设x、y、c是实数，正确的是（    ）
A．若x=y，则x+c=c-y B．若x=y，则c-x=c-y
C．若x=y，则xc=yc D．若x2c=y3c，则2x=3y
👉题型02 一元一次方程的相关概念
1．（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①-2+5=3；②3x-5=x2+3x；③2x+1=1；④2x=1；⑤2x+3；⑥x=4．其中是一元一次方程的有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2020·吉林长春·三模）关于x的一元一次方程2xa-2-2+m=4的解为x=1，则a+m的值为（    ）
A．9 B．8 C．7 D．5
3．（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：3x+12=2x+■电话询问老师后知道：方程的解x=1且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（    ）
A．32 B．-32 C．12 D．-12
4．（2024·四川雅安·三模）已知x=2是关于x的一元一次方程m-1x+m2=1的解，则2042-2m4-4m3-12m的值是 ．
👉题型03 二元一次方程的相关概念
1．（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（    ）
A．xy=1 B．x2-1=0 C．x-y=1 D．x+1y=1
2．（2022·云南曲靖·一模）若方程x2a-b-3ya+b=2是关于x、y的二元一次方程，则ab的值为（    ）
A．29 B．2 C．32 D．1
3．（2023·山东枣庄·模拟预测）若二元一次方程组x+y=33x-5y=1的解为x=ay=b，则a-b的值为 ．
4．（2024·河南驻马店·模拟预测）已知方程2x+y=0，请写出该方程的一组解： ．
👉题型04 二元一次方程组的相关概念
1．（2020·浙江杭州·模拟预测）与方程5x+2y=-9构成的方程组，其解为x=-3y=3的是（    ）
A．x+2y=1 B．3x+2y=-8 C．3x-4y=-8 D．5x+4y=-3
2．（2022·贵州黔东南·模拟预测）在下列数对中：①x=2y=-2；②x=1y=0；③x=1y=-1；④x=5y=2，其中是方程x+y=0的解的是 ；是方程x-4y=5的解的是 ；既是方程x+y=0的解，又是方程x-4y=5的解的是 .(填序号)
3．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知关于x，y的方程组3x+5y=m+22x+3y=m，给出下列结论：①x=3y=-4是方程组的解；②m=2时，x，y的值互为相反数；③无论m的x，y都满足的关系式x+2y=2；④x，y的都为自然数的解有2对，其中正确的为 ．（填正确的序号）
👉题型05 已知二元一次方程组的解求参数
1．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组2x-y=2m-1x-2y=n的解满足x+y=-4，则4m÷2n的值为（    ）
A．8 B．18 C．6 D．-6
2．（2023·山东聊城·模拟预测）若关于x和y的方程组5x+4y=aax+by=c无解，则（    ）
A．5a=4c B．4a=5b C．4a=5c D．5a=4b
3．（2024·湖北荆州·一模）已知x=2y=1是二元一次方程组ax+by=8bx-ay=1的解，则3a-12b的立方根为 ．
4．（2024·甘肃·一模）已知关于x，y的二元一次方程组2x+3y=kx+2y=-1的解满足x>y，则k的取值范围为 ．
5．（2023·山东济宁·一模）已知关于x，y的方程组x+y-b=03x+y-2=0的解是x=-1y=m，则直线y=-x+b与直线y=-3x+2的交点坐标是 .
👉题型06 解一次方程（组）
1．（2024·四川攀枝花·模拟预测）解下列方程：
(1)2x-13-5x+26=1-2x2-2．(2)x2-y+13=13x+2y=10．
2．（2024·广东·模拟预测）解方程组：
(1)2x+y=-54x-5y=11(2)x-22-5-y3=1x0.2-y+10.3=5
👉题型07 一元一次方程解的综合应用
1．（2023·河北石家庄·一模）已知P=A⋅B-C，
(1)若A=-20，B=-13-1，C=-52，求P的值．
以下是佳佳同学的计算过程：
P=-20×-13-1--52
第一步=1×3--5
第二步=3+5
第三步=8
上面的计算过程有错误吗？如果有，请你指出是第几步错误，并求出正确的P值；
(2)若A=3，B=2x，C=2x+1，当x为何值时，P的值为7
2．（2023·浙江金华·一模）如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中A，B是两个关于x的二项式．
【例题】先去括号，再合并同类项：2A-3B
解：原式=4x-6-9x-15=________________
(1)二项式A为_______，二项式B为_______．
(2)当x为何值时，A与B的值相等？
3．（2024·河北保定·三模）把式子-4x+3记作P，式子x-6记作Q，
(1)当x=-3时，P=______，Q=______；
(2)若P，Q的值互为相反数，求x．
4．（2022·河北廊坊·二模）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为－2，1，P为A点左侧上的一点，它表示的数为x．

(1)用含x的代数式表示PB+PA2的值．
(2)若以PO，PA，AB的长为边长能构成等腰三角形，请求出符合条件的x的值．
👉题型08 与一次方程（组）有关的污染问题
1．（2022·河北保定·一模）对于题目：“若方程组x-y=p2x+y=0的解为x=1y=a，且整式A=a-3+a2+□a-1，求：整式A的值．”
小明化简求值时，将系数□看错了，他求的A的值为0；
小宇求的结果，与题的正确答案一样，A的值为6．
(1)小明将系数□看成的数是多少？
(2)化简整式A．
2．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：-6×23-■-23．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是12，请计算-6×23-12-23．
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
3（2022·河北邯郸·三模）嘉淇在解关于x的一元一次方程3x-12+＝3时，发现正整数被污染了；
(1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程3x-12+2=3；
(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？
4（2022·河北保定·一模）已知整式a2-2ab-■ab-4b2，其中“■”处的系数被墨水污染了．当a=-2，b=1时，该整式的值为16．
(1)则■所表示的数字是多少？
(2)小红说该代数式的值是非负数，你认为小红的说法对吗？说明理由．
👉题型09 与一元一次方程有关的新定义问题
1．（2022·河北石家庄·三模）若两个有理数A、B满足A+B=8，则称A、B互为“吉祥数”．如5和3就是一对“吉祥数”．回答下列问题：
(1)求-5的“吉祥数”；
(2)若3x的“吉祥数”是-4，求x的值；
(3)x和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由．
2．（2023·河北沧州·模拟预测）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=mn-3n，例如4☆2=4×2-3×2=8-6=2，请根据上述知识解决下列问题．
(1)x☆2>4，求x取值范围；
(2)若x☆-14=3，求x的值；
(3)若方程x☆□=x-6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x=1，求□中的常数．
3．（2024浦口区模拟）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：ac  bd=ad-bc，例如：23  41=2×1-4×3=-10，再如：xy  62=2x-6y．按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：
(1)-24  -53=______．
(2)当x1  1-x2=0时，求x的值．
(3)将下面式子进行因式分解：x2-2x-3  8x2-2x-11
👉题型10 解二元一次方程组--特殊解法
1．（2024·山东烟台·一模）阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题.
解方程组19x+18y=17  117x+16y=15  2时，如果考虑常规的消元法(即代入消元法和加减消元法)那将非常麻烦！若用下而的方法，则轻而易举.
解：(1)-(2)，得2x+2y=2，即x+y=1(3).
(3)×16，得16x+16y=16(4).
(2)-(4)，得x=-1.
把x=-1代入(3)得-1+y=1，即y=2.
所以原方程组的解是x=-1y=2.
以上解法的技巧是根据方程的特点构造了方程(3)，我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组7x+11y=913x+17y=21.
2．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务．
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明．
例1：计算：20163-2015×2016×2017．
解：设2016=x，则原式=x3-x-1⋅xx+1=x3-xx2-1=x=2016．
请你利用上述方法解答下列问题：
(1)计算：123456789×123456786-123456788×123456787；
(2)已知方程组2a-3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，则方程组2x+2-3y-1=133x+2+5y-1=30.9的解是 ．
3．（2024·广东珠海·三模）阅读下面材料，并完成相应的学习任务.
“整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足m+n-2=0①4m+n+n=5②，求m+n和2m-n的值.
小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入m+n和2m-n即可.
小善：由①，得m+n=2，③
将③代入②，得4×2+n=5，解得n=-3，
把n=-3代入③，解得m=5，
所以原方程组的解为m=5n-3
张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务.
(1)任务一：解方程组2a-3b-5=02a-3b+27+b=0
(2)任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式.
4．（2024烟台市模拟）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组x+2x+y=3①x+y=1②，
解：把②代入①得，x+2×1=3，
解得x=1，
把x=1代入②得y=0，
所以方程组的解为x=1y=0，
（2）已知x+3y+5z=30①9x+7y+5z=10②求x+y+z的值．
解：①+②，得10x+10y+10z=40，③
③÷10，得x+y+z=4．
［类比迁移]
（1）求方程组3a-b+4=2aa-b=2的解．
（2）若6x+5y+z=82x+y-3z=4求x+y+z的值．
👉题型11 解二元一次方程组--错解复原问题
1．（2024周口市三模）解方程组ax+by=2cx-7y=8时，一学生把c看错而得到x=-2,y=2,而正确的解是x=3,y=-2,那么a+b-c= .
2．（2021·广东汕头·一模）甲、乙两人同解方程组ax+5y=15①4x-by=-10②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=-3y=1乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=-4
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的一元二次方程ax2-bx+m=0两实数根为x1，x2，且满足7x1-2x2=7，求实数m的值．
👉题型12 解二元一次方程组--同解方程组
1．（2024·湖南长沙·一模）已知方程组2x-y=7x+y=a和方程组x-y=b3x+y=8有相同的解，求a，b的值．
2．（2024·广东江门·一模）已知方程组5x-2y=3mx+5y=4与x-4y=-35x+ny=1有相同的解．
(1)求m和n值，
(2)已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2m-7x-3n=0的两个实数根，第三边BC的长为5，求△ABC的面积．
👉题型13 解二元一次方程组—拓展
1．（2024·福建龙岩·模拟预测）阅读素材并解决问题．
设而不求
材料
“设而不求”法又叫“增设辅助未知量法”或“设参法”，基本思路是先设定一个辅助未知量（辅助元），然后根据辅助元与未知量之间的关系，建立一个包含辅助元、未知量和已知量的方程或代数式，最后通过消元法或代换法来解决问题．
问题1
有麻料、棉料、毛料三种布料，若购买3匹麻料、7匹棉料、1匹毛料共需315元；若购买4匹麻料、10匹棉料、1匹毛料共需420元．现需购买麻料、棉料、毛料各1匹，共需多少元？
解：依题意，可设每匹麻料、棉料、毛料的价格各为x元、y元、z元．
列出方程组：3x+7y+z=315  ⋅⋅⋅①4x+10y+z=420⋅⋅⋅②
通过①×3－②×2，直接可得x+y+z= ．
问题2
如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，∠A>45°，D,E为线段AC上的两点，且BA=BE，BD平分∠CBE，设∠A=α，用α表示其它有关的角，可求∠ADB的度数，请写出求解过程．

问题3
如图，已知点P是第一象限位于双曲线y=kx(k≠0)上方的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，PA交双曲线于点C；再过点P作PB⊥y轴于点B，PB交双曲线于点D，设P(m,n)，求证：AB∥CD．

2．（2023·浙江台州·三模）密度是物质的重要属性，生产、生活中常常需要测量各种液体的密度．某同学在综合实践活动中自制了测量液体密度的杠杆密度计，可以从杠杆上的刻度直接读出液体密度的数值，受到了老师的肯定和表扬，结构如图所示．所用器材：轻质杠杆（自身重力忽略不计）、两种规格的空桶（100mL和200mL）、质量为m的物体A、细线．设计过程如下：

(1)将杠杆在O点悬挂起来，空桶悬挂在B点，质量为m的物体A悬挂在C点时，杠杆水平平衡．测出B点到O点的距离为l，C点到O点的距离为l0，此时满足G桶•l=GA•l0，即：G桶•l=mg•l0，则C点的密度刻度线应标注为 ；
(2)在B点的空桶内注满液体，空桶容积为V，移动物体A至C1位置，使杠杆在水平位置平衡．C1点到O点的距离为l1，此时满足G桶+G液•l=GA•l1，即：G桶+ρ液Vg•l=mg•l1，则C1点的密度值为 （用m、V、l、l0、l1表示）；
(3)已知密度为1.0×103kg/m3刻度线与零刻度线之间的距离为4cm，求密度为0.8×103kg/m3刻度线与零刻度线之间的距离是多少cm？
(4)要使制作的杠杆密度计测量精度更高一些，应选择规格的空桶（选填“100mL”或“200mL”）．
3．（2023·山西大同·模拟预测）阅读与思考
小敏在九年级复习阶段，针对“一次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应的任务.
九年级总复习笔记
引例：求一元一次方程23x+4=2+x和方程组x+y=22x+y=4的解.
基本步骤：去括号，去分母，移项合并同类项，化系数为
基本思想：________________
解答：23x+4=2+x
第一步：
移项得：23x+x=2-4
第二步：
合并同类项得：53x=-2
第三步：
化系数为1得：x=-65
x+y=2①2x+y=4②方法一：
由②-①得
x=2，
把x=2代入①中得
2+y=2
y=0
所以原方程组的解为
x=2y=0
方法二：利用两条直线的交点坐标求得方程组的解为x=2y=0

任务：
(1)解方程的基本思想是（    ）
A．方程思想       B．转化思想       C． 数形结合       D．分类讨论
(2)解方程23x+4=2+x的步骤从第__________步开始出现错误，错误的原因是_________________，方程正确的解为___________________________.
(3)实际上，除了解二元一次方程组外，初中数学还有一些知识也可以用函数的观点来认识.例如：可以用函数的观点来认识一元一次方程的解，请你再举出一例；
👉题型14 中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程组
1．（2024·宁夏银川·模拟预测）以下是圆圆解方程x+12-x-33=1的解答过程．
解：去分母，得3(x+1)-2(x-3)=1
去括号，得3x+1-2x+3=1
移项，合并同类项，得x=-3．
(1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程；
(2)请尝试解方程x+10.2-x-30.3=1．
2．（2023·广西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：x-2y=1①2x+2y=5②
第一步：由①得，x=2y+1 ③；
第二步：将③代入②，得2×2y+1+2y=5
第三步：解得y=23
第四步：将y=1代入③，解得x=73；
第五步：所以原方程组的解为x=23y=73
任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）；
任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________．
任务三：请写出方程组正确的解答过程．
3．（2023·山西大同·模拟预测）（1）计算：--12023+-23×12-4cos60°；
（2）下面是小辉和小莹两位同学解方程组x-3y=-1,2x+3y=7的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：令x-3y=-1①2x+3y=7②
小辉：由②得，3y=7-2x．③…………第一步
将③代入①得，x-7-2x=-1．……第二步
整理得，x-7-2x=-1．………………第三步
解得x=-6．…………………………第四步
将x=-6代入③，解得y=193．………第五步
∴原方程组的解为x=-6,y=193.……………第六步
小莹：①+②得，3x=6．………………第一步
解得x=2，…………………………第二步
将x=0代入①得，2-3y=-1．…………第三步
整理得，-3y=-1+2．………………第四步
解得y=-13…………………………第五步
∴原方程组的解为x=2,y=-13.…………第六步
任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题．
①我选择___________同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是___________；
②该同学从第___________开始出现错误，这一步错误的原因是___________；
任务二：直接写出该方程组的正确解；
任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）．
👉题型15 列方程（组）
1．（2024·河北·模拟预测）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？小青根据题意列出方程组y+2=3xy-9=2x小云根据题意列出一元一次方程3x-2=2x+9，则下列说法正确的是（    ）
A．小青正确，小云错误 B．小青错误，小云正确
C．小青、小云都正确 D．小青、小云都错误
2．（2024·广西南宁·模拟预测）地理老师介绍道：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，小东根据地理教师的介绍，设长江长为x千米，黄河长为y千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确的求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是（   ）
A．x-y=8365x-6y=1284B．x-y=8366x-5y=1284C．x+y=8366y-5x=1284D．x-y=8366y-5x=1284
3．（2024·湖北·模拟预测）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ 　 ）
A．x+y=510x+3y=30 B．x+3y=53x+10y=30 C．x+3y=30x10+y3=5 D．x+y=30x3+y10=5
4．（2023·四川成都·模拟预测）成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的34，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的43，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是x千克，晚上的粮食是y千克，则可列方程组为（    ）
A．x=43yx+2=34(y-2)B．x=34yx+2=43(y-2)C．x=34yx-2=43yD．x=43yx-2=34(y+2)
5．（2024·贵州贵阳·二模）某车间有20名工人，每人每天可以生产600个螺母或900个螺丝．一个螺丝需要配两个螺母，为使每天生产的螺丝与螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺母，根据题意可列方程为 ．
6．（2024·贵州·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，则可列方程 ．
👉题型16 一元一次方程的应用
1．（2024·山西·模拟预测）2024年3月22日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本1次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需20天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的35多少2天．
(1)乙工程队单独完成需要多少天？
(2)若甲先单独修5天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？
2．（2024·河北·模拟预测）如图，数轴上的A，B两点分别表示a，b，且a，b分别是3，-2两数中的一个．

(1)求a-b的值；
(2)若在数轴上添加点C，其表示的数为c，且a-b-c的值与a，b，c三数的平均数相等，求c的值，并在数轴上标出点C的位置．
3．（2024·广东·模拟预测）为助力环保事业，某企业先将该月销售的A 款产品所有营收的40%捐给中国环保基金会，后同样再次捐赠该月销售的B款产品所有营收的50%，已知该月销售A、B两款产品共1000个，A款产品每个售价为100元，B款产品每个售价为120元，设该月销售A款产品x个．
(1)该企业第一次捐赠 元，第二次捐赠 元；(用含x的式子表示)
(2)该企业两次共捐赠48000元，那么该企业月销售A、B两款产品各多少个？
4．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车．
👉题型17 二元一次方程组的应用
1．（2024·广东·模拟预测）每年5—7月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝2kg/箱，龙眼2.5kg/箱）．
商品
荔枝
龙眼
成本/(元/箱)
30
40
售价/(元/箱)
48
60
这个星期网店销售荔枝和龙眼共1150kg，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱．
2．（2024·湖南株洲·模拟预测）某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？
3．（2024·安徽·模拟预测）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．男装、女装的单价各是多少？
4．（2024·广东·模拟预测）（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给出的信息，解答下列问题：

(1)放入一个小球水面升高 cm，放入一个大球水面升高 cm；
(2)如果放入10个球且使水面恰好上升到52cm，应放入大球、小球各多少个？
5．（2024·湖北·模拟预测）学校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球．若购买4个篮球和3个足球需花费530元，若购买1个篮球和6个足球需花费500元．求篮球和足球的单价各是多少元？
👉题型18 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用
1．（2024·江西吉安·三模）小亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称的药品放在右盘后，左盘放置15克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品的质量是 克．

2．（2024·河南漯河·二模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘（点P）可以在横梁BC段滑动（点P不与B，C重合）．已知OA=OC=10cm，BC=25cm，砝码的质量为100g．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量×OA=右盘物体质量×OP（不计托盘与横梁质量）．

(1)设右侧托盘中放置物体的质量为yg，OP的长为xcm，求y关于x的函数表达式．
(2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点P由点C向点B滑动，向空瓶中加入28g的水后，发现点P移动到PC的长为15cm时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量．
3．（2024·河南商丘·二模）高铁站候车厅的饮水机（图1）上有温水、开水两个按钮，示意图如图2所示．小明先接温水再接开水，打算接500mL的水，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题：

物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度）．
生活经验：饮水适宜温度是37℃∼44℃（包括37℃与44℃）．

(1)若小明先接温水19s，求需再接开水的时间．
(2)设接温水的时间为xs，水杯中水的温度为y℃．
①求y关于x的函数表达式；
②求水杯中水的温度为饮水适宜温度时，至少需要接多少mL的温水?
👉题型19 洛书
1．（2024·四川广安·模拟预测）幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图1的洛书，每一行、每一列以及每条斜对角线上的点数之和都相等，转换为数字如图2所示，它是一种三阶幻方．根据三阶幻方规则，由图3中已知数求出x-y的值为（    ）

A．-3 B．3 C．-2 D．2
2．（2023·江苏苏州·二模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是(    )

A．13 B．12 C．11 D．10
3．（2024·河北邯郸·二模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5=15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．

（1）若图2满足三角形三个顶点处的数之和为15，n=7，则m= ；A处的数值为 ；
（2）x的值为 ．
4．（2024·四川德阳·二模）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，表1是一个已完成的幻方．表2是一个未完成的幻方，其中A-B的值为 ．
表1
2
7
6
9
5
1
4
3
8
表2
x-7
x+5
-4
-2
A
B

5．（2020·河北·模拟预测）【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”(如图①)，是世界上最早的矩阵，又称幻方．用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方(如图②)．

（1）观察图②，根据九宫图中各数字之间的关系，我们可以总结出幻方需要满足的条件是 ；
（2）若图③是一个幻方，求图中a= ，b=

1．（2024·浙江·中考真题）有编号分别为①~⑧的8个球，其中6个球一样重，另外两个都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重，则两个轻球的编号应该是（   ）
A．④⑤ B．③⑥ C．③⑤ D．③④
2．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：a⊗b=a2-b,a≤0,-a+b,a>0,例如：-2⊗4=(-2)2-4=0，2⊗3=-2+3=1．若x⊗1=-34，则x的值为 ．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组ax+y=bcx-y=d的解是x=3y=-2，则关于x、y的方程组ax+2y=2a+bcx-2y=2c+d的解是 ．
4．（2024·重庆·中考真题）我们规定：若一个正整数A能写成m2-n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2-n的过程，称为“方减分解”．例如：因为602=252-23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602=252-23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A=m2-n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2m+n=k2（k为整数），则满足条件的正整数A为 ．
5．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．

6．（2024·山西·中考真题）健康中国，营养先行．今年5月12日-18日是第十届全民营养周，社区食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐A的菜品如下图所示．

(1)该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为34克、24.8克、求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品各有多少克；

清蒸鱼块（每100克）
滑炒鸡丁（每100克）
蛋白质（克）
16
15
脂肪（克）
8
14
(2)按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共260克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少有多少克？

1．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（    ）
A．17x+19x=1 B．17x-19x=1 C．9x+7x=1 D．9x-7x=1
2（2024·四川宜宾·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快