中考数学——一元二次方程及其应用(练习)(含答案).docx

第二章 方程与不等式
第07讲 一元二次方程及其应用

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👉题型01 一元二次方程的定义
👉题型02 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值
👉题型03 选用合适的方法解一元二次方程
👉题型04 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程
👉题型05 配方法的应用
👉题型06 以开放性试题的形式考查解一元二次方程
👉题型07 不解方程，判断一元二次方程根的情况
👉题型08 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围
👉题型09 利用根的判别式求代数式的值
👉题型10 以开放性试题的形式考查根的判别式
👉题型11 不解方程，求方程中参数的值
👉题型12 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值
👉题型13 已知一元二次方程的解满足的情况求参数值
👉题型14 一元二次方程的实际应用-传播/循环问题
👉题型15 一元二次方程的实际应用-变化率问题
👉题型16 一元二次方程的实际应用-几何问题
👉题型17 一元二次方程的实际应用-营销问题
👉题型18 一元二次方程的实际应用-动态几何问题
👉题型19 以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用
👉题型20 以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用

👉题型01 一元二次方程的定义
1．（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（    ）
A．2x2-x+1=0 B．2x2-y=0
C．3x+1=0 D．x+1x=2
2．（2024·广西桂林·二模）一元二次方程x2-4x+2=0的一次项系数是 ．
3．（2024·福建福州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2-ax-2a+1=0，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ．
4．（2024·广东肇庆·一模）二次项系数为2，且两根分别为x1=1，x2=12的一元二次方程为 ．（写成ax2+bx+c=0的形式）
👉题型02 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值
5．（2024·云南昆明·一模）若x=a是方程x²+2x-2=0的一个根，则代数式2a²+4a+2019的值为（   ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．-2023
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程x2-2024x+1=0的两根分别为x1，x2，则x12-2024x2的值为（    ）
A．1 B．-1 C．2024 D．-2024
7．（2024·江西·模拟预测）设m，n是方程x2+x-2024=0的两个实数根，则m2+2m+n+mn的值为 ．
8．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程3x2-5x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值．
👉题型03 选用合适的方法解一元二次方程
9．（2024·甘肃·模拟预测）解方程：5x2-2x-3=0．
10．（2024·湖南郴州·模拟预测）解方程：
(1)x-22=4
(2)2x2+x-3=0
11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程：yy-3+2y-6=0．
12．（2024·宁夏银川·一模）下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务．
解方程：2x2-3x-5=0．
解：x2-32x=52，                第一步
x2-32x+342=52+342，        第二步
x-342=4916，                    第三步
x-34=±74，                        第四步
x1=52，x2=-1．                第五步
(1)任务一：
①杨老师解方程的方法是 ；
A．直接开平方法            B．配方法                C．公式法    D．因式分解法
②第二步变形的依据是 ；
(2)任务二：
解方程：x2+2x-3=0；
👉题型04 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程
13．（2024·河北石家庄·模拟预测）下面是小华同学解方程2x-3-3xx-3=0的过程：
解方程：2x-3-3xx-3=0．
解：移项，得2x-3=3xx-3 …………第一步
两边同时除以x-3，得2=3x …………第二步
∴x=23．……………………………………第三步
(1)小华同学的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________；
(2)请你写出正确的解题过程．
14．（2024·江西景德镇·二模）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程2x2-8x+3=0的过程如下：

(1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误；
(2)请利用配方法正确地解方程2x2-8x+3=0．
15．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．
解一元二次方程：6x2-2x=1-3x
解：原方程可以化为：2x3x-1=-3x-1第一步
两边同时除以3x-1得：2x=-1第二步
系数化为1，得：x=-12第三步
任务：
(1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误；
(2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程．
16．（2024·山西临汾·一模）（1）计算：-132+-5--2+6×140；
（2）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程5x3x-2=22-3x的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
小刚同学：
解：5x3x-2=22-3x第一步
5x=-2第二步
解得x=-25第三步
小颖同学：
解：5x3x-2=22-3x第一步
5x3x-2-22-3x=0第二步
5x-23x-2=0第三步
5x-2=0或3x-2=0第四步
解得x=25或x=23第五步
任务一：
①小刚同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是__________；
②小颖同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是_________．
任务二：该一元二次方程的解为__________．
👉题型05 配方法的应用
17．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若x=3ay=-b是方程2x+y=5的一个解，则代数式a2+b+50的最小值为 ．
18．（2024·河北邢台·模拟预测）已知，图1中阴影面积为S1，图2中阴影面积为S2．

(1)用含x的代数式表示S1，S2；当x=1时，求S1+S2的值；
(2)比较S1与S2的大小，并说明理由．
19．（2024·广东东莞·一模）综合与探究
【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算A-B的值，若A-B>0，则A>B；若A-B=0，则A=B；若A-B<0，则A<B．
【知识运用】
（1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“>、=、<”填空）：
① 3-2______4-22；
② x-1______x+3；
（2）试比较与6x2+2x+1与5x2+4x-3的大小，并说明理由；
【类比运用】
（3）图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加2aa>0得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为S1；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的大正方形，此正方形的面积为S2．请先判断S1与S2的大小关系，并说明理由．

👉题型06 以开放性试题的形式考查解一元二次方程
20．（2024·湖北·模拟预测）请写一个一元二次方程，使得它的一个根为2，另一个根为负数，则这个一元二次方程可以是 ．（写一个即可）
21．（2022·广东汕头·二模）请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为10-1的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是 ．（任意写一个符合条件的即可）．
22．（2024·浙江·模拟预测）设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)．在下面的四组条件中任意选择一组作为条件，解这个方程．
①a=1，b=3，c=2．
②a=12b=13c．
③ba=-2，ca=1．
④x1+x2=0，x1x2=-1（x1，x2分别是该方程的两个根）．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
👉题型07 不解方程，判断一元二次方程根的情况
23．（2024·云南曲靖·一模）一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是（    ）
A．有两个不相等的实数根 B．无实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
24．（2023·河南商丘·二模）关于x的方程4x2-4x=-1的根的情况是（   ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
25．（2024·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ）
A．x2+5x+6=0 B．x2+x-1=0
C．x2-2x+5=0 D．x2=6x-9
26．（2024·山西长治·模拟预测）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+1=0的根的情况是（    ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数m的取值有关
👉题型08 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围
27．（2024·甘肃兰州·模拟预测）关于x的一元二次方程x2+bx+1=0有两个相等的实数根，则满足条件的实数b=（　　）
A．0 B．-1或1 C．1 D．-2或2
28．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2-4x-1+m=0的两根，则m的值为（    ）
A．4 B．5 C．4或5 D．3或4
29．（2024·湖南·模拟预测）关于x的一元二次方程a+2x2-3x+1=0有两不等实数根，则a的取值范围是 ．
30．（2024·贵州贵阳·一模）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个实数根，则实数m的值可能是 ．
31．（2024·贵州黔东南·二模）若关于x的方程2x2-3x+m+1=0没有实数根，则m的取值范围是 ．
👉题型09 利用根的判别式求代数式的值
32．（2024·广东清远·模拟预测）已知关于x的方程2x2-6k=0有两个相等的实数根，则k2-4的值为（    ）
A．-3 B．-4 C．3 D．-5
33．（2022·广东广州·一模）一元二次方程x2+x+k=0有两个相等的实数根，则k+1的值为（　　　）
A．34 B．12 C．54 D．52
34．（2021·山东淄博·二模）若关于x的一元二次方程12x2﹣2kx＋1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2＋2k（1﹣k）的值为（    ）
A．3 B．﹣3 C．-72 D．72
35．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程x2-2x-c=0的两个不相等的实数根，则1a+1b⋅aba-b2+4ab值为（   ）
A．14 B．12 C．2 D．4
👉题型10 以开放性试题的形式考查根的判别式
36．（2022·福建漳州·模拟预测）若关于x的方程x2-k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是 ．（写一个即可）
37．（2024·河南郑州·模拟预测）若关于x的一元二次方程x2-6x+m=0有实数根，且m为正整数，请写出一个合适的m值 ．
38．（2024·江苏泰州·二模）已知一元二次方程x2+mx-4=0有两个实数根，两根之和为负数，则m的值可以是 ．（填一个值即可）．
👉题型11 不解方程，求方程中参数的值
39．（2024·云南曲靖·一模）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，则另一个根为（    ）
A．-10 B．-1 C．2 D．-5
40．（2024·广东湛江·模拟预测）已知m，n是方程x2-3x-2=0的两个实数根，则2mn= ．
41．（2024·山东枣庄·一模）已知3是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形ABCD的两条对角线的长，则菱形ABCD的面积为 ．
👉题型12 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值
42．（2024·湖北宜昌·一模）已知m、n是一元二次方程x2+x-2025=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（   ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2021
43．（2024·湖北·模拟预测）已知一元二次方程x2-3x-15=0的两根分别为m，n，则mn-m-n的值是（       ）
A．18 B．-12 C．-18 D．12
44．（2024·贵州铜仁·一模）已知关于x的方程x2+m-1x-2=0的两实数根为x1，x2，若x1x2-x1-x2=2，则m的值为（    ）
A．1 B．-5 C．3 D．5
45．（2024·湖北十堰·三模）若m、n是一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根，多项式2n2-mn+2m的值是 ．
46．（2024·四川内江·二模）已知x1，x2是方程x2-x-2024=0的两个实数根，则代数式x13-2024x1+x22的值为 ．
👉题型13 已知一元二次方程的解满足的情况求参数值
47．（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程x2-2mx+m2=4有两个根x1、x2(x2>x1)，且满足x1=2x2+3，则m的值为 ．
48．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知x1，x2是关于x的方程x2+3x+m=0的两个实数根，且x1+1x2+1=-4，则m的值为 ．
49．（2024·湖北随州·一模）已知关于x的一元二次方程x2+ax+a-1=0．
(1)求证：该方程总有实数根；
(2)设该方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1>0，x2<0，求a的取值范围．
50．（2024·四川眉山·二模）已知关于x的一元二次方程x2-3x=1-3m有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22-x1x2≤15，求m的取值范围．
👉题型14 一元二次方程的实际应用-传播/循环问题
51．（2024·湖北·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（    ）
A．1+x+x2=73 B．1+x2=73
C．x+x2=73 D．1+1+x+1+x2=73
52．（2024·贵州黔东南·二模）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？
53．（2024·山东济南·模拟预测）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场．若共比赛了15场，则参赛的球队数为 ．
👉题型15 一元二次方程的实际应用-变化率问题
54．（2024·云南曲靖·一模）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一种方式，如图所示是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话：

请问：2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率是多少？
55．（2024·广西南宁·模拟预测）某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，经统计销量发现，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，决定对该商品进行降价促销活动．
(1)对该商品进行了两次降价后的售价为32.4元/件，求平均每次降价的百分率．
(2)经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？
👉题型16 一元二次方程的实际应用-几何问题
56．（2024·贵州贵阳·一模）被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为38cm、宽为23cm的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为1000cm2，设留白部分的宽度为xcm，则可列方程为（  ）

A．(38-2x)(23-2x)=874 B．(38+2x)(23+2x)=874
C．(38-2x)(23-2x)=1000 D．(38+2x)(23+2x)=1000
57．（2024·辽宁·模拟预测）如图，公园原有一块长34m、宽 10m的矩形空地．后来在这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．已知各区域鲜花面积的和为297m2，求所铺设的石子路的宽度．

58．（2024·浙江绍兴·模拟预测）根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1
某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB=200米，BC=300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度2x不超过24米，且不小于10米．

素材2
该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．

问题解决
任务1
解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．
（1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．
（2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2
解决果园种植的预期利润问题．（净利润=草莓销售的总利润-路面造价费用-果园承包费用-新苗购置费用-其余费用）
（3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．

👉题型17 一元二次方程的实际应用-营销问题
59．（2024·山西大同·模拟预测）阅读与思考
下面是小明在数学笔记本上记录的父亲工厂里实际出现过的一个问题，请认真阅读，并帮助小明解答小明父亲给的以下任务：
小明父亲的工厂里加工一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，售价不得低于成本价且利润率不高于80%，销售一段时间后市场调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
（3）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
任务一：要解决小明父亲提出的问题，主要运用的数学思想是________；
A．公理化思想    B．统计思想    C．函数思想    D．分类思想
任务二：请帮助小明解决相关的3个问题．
60．（2024·湖南长沙·模拟预测）某景区新开发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于52元，并且为整数；销售一段时间调研发现，每天的销售数量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)满足一次函数关系，部分数据如表所示：
销售单价x/(元/件)
…
35
40
45
…
每天销售数量y/件
…
90
80
70
…
(1)【探究】
根据上表中的数据，请判断y=kx和y=kx+b (k，b为常数)哪一个能正确反映每天的销售数量y与销售单价x的函数关系？并求出y关于x的解析式；
(2)【应用】
若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
👉题型18 一元二次方程的实际应用-动态几何问题
61．（2021·安徽·三模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遺人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？
62．（2024·甘肃武威·二模）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=30cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿BA方向运动，动点Q同时从点C出发，沿CB方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s，经过多长时间P、Q两点之间的距离是15cm？

63．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8 m，BC=6 m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．

(1)当点P移动时间为2秒时，△PCQ的面积为多少？
(2)点P移动多少秒时，△PCQ的面积为8m2？
(3)在点P、Q的运动过程中，△PCQ的面积是否会达到10m2？为什么？
👉题型19 以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用
64．（20224金华市模拟）电影《热辣滚烫》是2024贺岁档的最大惊喜，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约867万元，第三天累计票房收入约达到3046万元，设票房收入每天平均增长率为x，下面所列方程正确的是（    ）
A．867(1+x)2=3046 B．867(1+2x)=3046
C．867(1-x)2=3046 D．867+867(1+x)+867(1+x)2=3046
65．（2024临川市模拟）“八月十五谓中秋，民间以月饼相送，取团圆之意”．每年中秋节前是购买月饼的高峰期，2024年中秋节前期某商场在销售一种月饼时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则每天的销售量会减少2kg．该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少?设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（    ）
A．20+x100-2x=1800 B．20+x100-2x0.5=1800
C．x100-x-200.5×2=1800 D．x100-2x-20=1800
66．（2024·山西大同·二模）2023年12月6日，中央广播电视总台2024龙年春晚吉祥物“龙辰辰”正式发布亮相．其从我国历史出土文物中提取“龙”的要素作为设计特色，精美别致，充满了趣味和古韵．某批发商场在春节前以60元的进价购进了一批龙辰辰玩偶，计划以每个80元销售．春节来临之际，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知玩偶销售量y（单位：个）与每个玩偶的降价x（单位：元）0<x<20之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设商场销售y个玩偶所获利润为w（单位：元），请直接写出w与x之间的函数关系式：_____；
(3)若商场要想获利2600元，且让顾客获得更大实惠，这种玩偶每个应降价多少元？
67．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以244.6环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了115.2公顷．
(1)求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率；
(2)某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/kg时，每天能售出200kg，售价每降低1元、每天可多售出50kg，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/kg，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？
68．（2024芜湖市模拟）2024巴黎奥运会吉祥物“Phryge”玩偶一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每个20元的价格购进该吉祥物玩偶，以每个35元的价格出售时，平均每天可售出30个，为扩大销售，该商店准备适当降价出售，经过一段时间测算，每个吉祥物每降低1元，平均每天可以多售出3个．

(1)若该吉祥物玩偶的销售单价为32元，则当天的销售量为________个；
(2)若该商店想每天销售该玩偶的利润为450元，那么每个玩偶应售价多少元？
👉题型20 以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用
69．（2024·山西大同·三模）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+2x-35=0，即xx+2=35为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是x+x+22，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，据此易得x=5．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为x+12，它又等于35+1，据此可得x=5．上述求解过程中所用的数学思想方法是（    ）

A．分类讨论思想 B．数形结合思想
C．函数方程思想 D．转化思想
70．（2023·宁夏银川·二模）伊斯兰数学家塔比·伊本·库拉ThabitibnQurra，830-890在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于x的方程x2+mx=n，其中ABFE为长方形，ABCD为正方形，且DE=m，BF×CD=n，则几何图形中的某条线段就是方程x2+mx=n的一个正根，则这个方程的正根是线段

71．（2020·江苏南通·中考真题）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ．
72．（2023·陕西西安·三模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，设正方形城池的边长为x步．根据题意整理成一元二次方程的一般形式 ．

73．（2024铜山区二模）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？

1．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c=ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1=2×1+3=5．若关于x的方程【x,x+1】★mx=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ）
A．m<14 B．m>14 C．m>14且m≠0 D．m<14且m≠0
2．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是5-12的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形．(AB<BC)，点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（    ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．

4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE=BC，CD=2，则BD= ．

5．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……

容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前n行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？

1．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数x1,x2x1≠x2是关于x的方程kx2+2kx+1=0k≠0的两个根，若1x1+1x2=2，则k的值为（    ）
A．1 B．-1 C．12 D．-12
2．（2024·山东济南·中考真题）若关于x的方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）
A．m<-14 B．m>-14 C．m<-4 D．m>-4
3．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2-mx-n2+mn+1=0，其中m,n满足m-2n=3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
4．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x的一元二次方程9x2-6x+c=0有两个相等的实数根，则c=（    ）
A．-9 B．4 C．-1 D．1
5．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ）
A．x-22=-1 B．x-22=0 C．x-22=1 D．x-22=2
6．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．17或13 B．13或21 C．17 D．13
7．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程x2-2x=0的解是（    ）
A．x1=3，x2=1 B．x1=2，x2=0 C．x1=3，x2=-2 D．x1=-2，x2=-1
8．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a=（    ）
A．1 B．2-1 C．2+1 D．1或2+1
9．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ．
10．（2024·四川凉山·中考真题）已知y2-x=0，x2-3y2+x-3=0，则x的值为 ．
11．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程x2+4x-1=0的一个根，则(m+5)(m-1)的值为 ．
12．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2-m+2x+m-1=0．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为x1,x2，且x12+x22-x1x2=9，求m的值．
13．（2024·浙江·中考真题）已知关于x的方程m2-1x2-33m-1x+18=0有两个正整数根（m是整数）．△ABC的三边a，b，c满足：c=23,m2+a2m-8a=0,m2+b2m-8b=0．
(1)求m的值．
(2)求△ABC的面积（结果允许保留双重根号），
14．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：x2-4x+3=0；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
15．（2024·广东广州·中考真题）关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：1-m2|m-3|÷m-12⋅m-3m+1．
16．（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx-1=0，当m=1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足：a2+ma=1,b2-2mb=4，且b≠-2a，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np-1=q,q2+nq-1=p，求pq-n的值．
17．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=-ba，x1x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根，∴m+n=1,mn=-1．则m2n+mn2=mnm+n=-1×1=-1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2=___________；
(2)类比：已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
(3)提升：已知实数s，t满足2s2+3s-1=0，2t2+3t-1=0且s≠t，求1s-1t的值．
18．（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+m=0．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若2a+ba+2b=20，求m的值．

第二章 方程与不等式
第07讲 一元二次方程及其应用

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👉题型01 一元二次方程的定义
👉题型02 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值
👉题型03 选用合适的方法解一元二次方程
👉题型04 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程
👉题型05 配方法的应用
👉题型06 以开放性试题的形式考查解一元二次方程
👉题型07 不解方程，判断一元二次方程根的情况
👉题型08 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围
👉题型09 利用根的判别式求代数式的值
👉题型10 以开放性试题的形式考查根的判别式
👉题型11 不解方程，求方程中参数的值
👉题型12 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值
👉题型13 已知