毕业论文悬崖跳水的水池深度设定问题数学建模论文.doc

数模第一次培训论文
论文题目：悬崖跳水的水池深度设定问题
姓名1：申 耀 学号：0903307-24 专业：土木工程
姓名2：许丹丹 学号：1009302-10 专业：信息与计算科学
姓名3：陈施羽 学号：1009302-30 专业：信息与计算科学
摘要：
在红牛悬崖跳水世界杯比赛的背景下，本文经讨论研究了跳水水池的深度设定问题，以保证运动员的安全及投资建设水池的成本合理为目的。对此，本文将建立物理模型，运用物理学，微分方程学，理论力学等数学方法，结合MATLAB编程进行求解。

对于问题一：我们假设将人体设为一个均匀圆柱体，并建立物理模型，用物理动力学解题思路，对悬崖跳水物理过程细化为运动员空中、入水与水中三个运动过程，并逐个对其建立运动状态方程，结合微分方程学简化求解，最后用MATLAB软件画图展示结果，从图中得到：男子的安全水池深度为12.85米，女子的安全水池深度为8.82米；

对于问题二：
根据物理质量公式，结合运动员悬崖跳水三个具体物理运动的总方程进行分析，得出高度与质量等之间的联系，从而判断体重不同者与水池深度大小的关系，得到结果：体重越大的人跳水时需要更深的水。
该模型建立亮点一体现在其充分运用了物理知识，同时结合微分法简化了求解难度；亮点二体现在用MATLAB软件画图展示结果，直观准确。

关键字：物理动力学、能量转换、微分方程学、MATLAB
1 问题重述
近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，比赛规定男子跳台高度为23至28米，女子为18至23米。我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。
需要完成的任务：
1. 跳台下面的水池要多深才能安全，请大家给以计算；
2. 分析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。
2 问题分析
要探讨跳水者的安全问题，需要分析在跳水者进入水之后继续下落的深度，从而在速度减为0时而不撞击池底而受伤，以保证跳水者的绝对安全
经分析，把跳水过程具体化，形象化后，悬崖跳水可分为三个阶段，在下文并逐个对其建立了运动状态方程：

第一阶段：从跳板到水面;
运动员从跳板跳下，再空中完成一系列的动作之后在重力的作用下会快速自由下落，在此期间，会受到恒定不变的重力及方向向上的空气阻力，且空气阻力越来越大，使运动员做加速度减小的加速运动，并且在到达水面时速度最大。

第二阶段：从空气到水中;
运动员入水后会受到水的阻力，抵消身体所受的重力作用，从而使身体在水中做减速运动，随着运动员入水体积的变化所受水的浮力也会变化；

第三阶段：从水中到水池深处；
在运动员身体全部进入水中后，浮力可视为与重力相等，则运动员只受到水的阻力引起的速度改变。直到速度为0，人体入水的最深位置即为所求深度。

3 模型假设
1、假设将人体设为一个均匀圆柱体，重心位于L/2处。且侧面光滑，不受侧面的摩擦阻力，只受到横截面积引起的流体阻力。
2、假设人体所受空气浮力较小可忽略；
3、假设忽略跳水运动员的蹬板过程；
4、假设风速水速为零，不影响运动员下落；
5、假设人水短暂碰撞过程没有能量损失；
6、假设当运动员落入水中速度降为最小即速度为零时，此时的深度为安全深度零界。
7、假设在水中不产生涡流；
4 符号说明
符号 意义说明
H 跳台到水面的高度；
L 人的身高；
m 运动员的质量；
Vt 第一阶段结束时人体刚接触水面的瞬时速度；
V2 第二阶段结束时人体完全浸入水面的瞬时速度
g 重力加速度=9.8m/s2；
0 水的密度=1.0×103kg/m3
空气密度=1.293kg/m3
2 人的密度约为1.0×103kg/m3
t 与水面撞击的时间；
s 将人体视为圆柱体的横截面积；
C1 空气阻力系数；
C2 水的阻力系数；
Wf 空气阻力对人体所做的功；
水的动力粘度=1×104pa·s
Cd 水的阻力系数，由表查得为0.4
f水 在水中水对人的阻力

5 模型建立与求解
对于问题一：
5.1．1第一阶段：从跳板到水面;
建立运动状态方程：

根据动能定理，
…… ……①
又空气阻力对人体所做的功
…… ……②
又由①②可得

并由MATLAB编程，分别得出了男子、女子在这一阶段的图，如下图所示：

且由以上两图，可得出结论：
男子经历第一阶段的最终速度为：23.4172 m/s；
女子经历第一阶段的最终速度为：17.6737 m/s；

5.1．2第二阶段：从空气到水中;

运动员所受的浮力，

由以上两图可得出结论：
男子经历第二阶段的最终速度为17.6732m/s；
女子经历第二阶段的最终速度为13.1048m/s；

5.1.3第三阶段：从水中到水池深处；

由以上两图可得出结论：
男子最终安全着底的最适深度为：12.85m
女子最终安全着底的最适深度为：8.82 m

对于问题二：
5.2
经分析并建模可得：

，
由第一问分析的过程，同理用MATLAB编程可得出如下两图：

由以上公式和图片，可得出结论：
体重越大的人跳水时需要更深的水；

6 模型评价
该模型的建立充分运用了物理学、理论力学、微分方程学，分析了悬崖跳水的整个过程，且该模型基于科学，详细的分析了跳水者在跳水过程中的速度及其受力情况，并根据实时数据计算了出了悬崖跳水的水池深度的合理设计。以保证运动员的安全，又能使建设水池的成本得到更优化。
6.1模型的优点
（1）、本文在正确、清楚地分析了题意地基础上，建立了合理、科学的可变成实际的模型，为求水池最适合深度准备了条件；
（2）、本文的建模充分运用了物理知识，同时结合微分法简化了求解难度；亮点二体现在用MATLAB软件画图展示结果，直观准确。
（3）、本文选用了数学专用软件——MATLAB编程，且实现了图像与文字相结合的模型解说，直观准确，提升了文章可信度；
6.2模型的缺点
（1）、在假设中，本文假设将人体设为一个均匀圆柱体，重心位于L/2处，且侧面光滑，不受侧面的摩擦阻力，只受到横截面积引起的流体阻力，而且又假设了人体所受空气浮力较小可忽略，这些因素将会在模型过程中造成必然的误差
（2）、在确定空气密度、人的密度、水的动力粘度的时候，我们只是从网上查阅的资料中得到其粗略值，这与实际情况有出入。

7参考文献
[1]空气阻力对跳水成绩的影响———郭桔光等；
[2]弹丸在水介质中的运动特性仿真研究——姚养元，曹红松，刘晓雷，张会锁等；
[3]张圣勤等，《MATLAB实用教程》，北京：机械工业出版社，2006。
[4]姜启源，谢金星，数学建模案例选集，北京：高等教育出版社，2006。

8附录
男一：（1）跳台至水面过程
clear all
clc
H=0:1:28;
C=0.865;
P=1.29;
S=1/24;
m=70;
g=9.8;
v=(-C*P*S*H+sqrt((C^2)*(P^2)*(S^2)*(H.^2)+8*(m^2)*g*H))/(2*m);
plot(H,v)

男二：（2）空气到水中
clear all
clc
v1=23.4172;
Cd=0.4;
g=9.8;
L=0:0.05:1.7;
v2=sqrt(-g*L+(1-Cd)*v1^2);
plot(L,v2)

男子（3）从水中到水池深处；
clear all
clc
v2=17.6732:-0.1:0;
L=1.7;
Cd=0.4;
h1=v2*L/(6*Cd);
plot(v2,h1)

女子（1）：跳台至水面过程
clear all
clc
H=0:1:20;
C=0.865;
P=1.29;
m=50;
g=9.8;
L=1.6;
s=m/(P*L);
v=(-C*P*s*H+sqrt((C^2)*(P^2)*(s^2)*(H.^2)+8*(m^2)*g*H))/(2*m);
plot(H,v)

女子：（2）空气到水中
clear all
clc
v1=17.6737;
Cd=0.4;
g=9.8;
L=0:0.05:1.6;
v2=sqrt(-g*L+(1-Cd)*v1^2);
plot(L,v2)

女子：（3）从水中到水池深处；
clear all
clc
v2=13.1048:-0.1:0;
L=1.6;
Cd=0.4;
m=50;
h1=v2*L/(6*Cd);
plot(v2,h1)

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