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本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。不能作为科学依据。,第一章第五节,事件独立性,1/27,显然,P,(,A,|,B,)=,P,(,A,)。,这就是说：,已知事件,B,发生，并不影响事件,A,发生概率，这时称事件,A、B,独立。,一、两事件独立性,A,=第二次掷出6点，,B,=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,2/27,由乘法公式知，,当事件,A、B,独立时，有,P(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,)。,用P(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,)刻划独立性，比用,P,(,A,|,B,)=,P,(,A,),或,P,(,B,|,A,)=,P,(,B,),更加好，它不受,P,(,B,)0或,P,(,A,)0制约。,P,(,AB,)=,P,(,B,),P,(,A,|,B,),3/27,若两事件,A、B,满足,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),(1),则称,A、B,独立，或称,A、B,相互独立,。,两事件独立定义,4/27,例1：,从一副不含大小王扑克牌中任取一张，记,A,=抽到,K,B,=抽到牌是黑色。,可见,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,)。,因为,P,(,A,)=4/52=1/13,说明事件,A、B,独立。,问事件,A、B,是否独立？,解：,P(,AB,)=2/52=1/26。,P,(,B,)=26/52=1/2，,5/27,前面我们是依据两事件独立定义作出结论，也能够经过计算条件概率去做:,从一副不含大小王扑克牌中任取一张,记,A,=抽到,K,B,=抽到牌是黑色。,在实际应用中,往往,依据问题实际意义去判断两事件是否独立,。,因为,P,(,A,)=1/13,P,(,A,|,B,)=2/26=1/13，,P,(,A,)=,P,(,A,|,B,),说明事件,A、B,独立。,6/27,在实际应用中,往往依据问题实际意义去判断两事件是否独立,。,因为“甲命中”并不影响“乙命中”概率，故认为,A、B,独立。,甲、乙两人向同一目标射击，记,A,=甲命中,B,=乙命中，,A,与,B,是否独立？,比如：,(即,一事件发生是否并不影响另一事件发生 概率)。,7/27,一批产品共,n,件，从中抽取2件，设,A,i,=第,i,件是合格品，,i,=1,2。,若抽取是有放回,则,A,1,与,A,2,独立。,因为第二次抽取结果受到 第一次抽取影响。,又如：,因为第二次抽取结果,不受第一次抽取影响。,若抽取是无放回，则,A,1,与,A,2,不独立。,8/27,请问：如图两个事件是独立吗？,即:,若,A、B,互斥，且,P,(,A,)0,P,(,B,)0,则,A,与,B,不独立。,反之，若,A,与,B,独立，且,P,(,A,)0,P,(,B,)0,则,A,、,B,不互斥。,而,P,(,A,)0,P,(,B,)0。,故,A,与,B,不独立。,我们来计算：,P,(,AB,)=0,P,(,AB,),P,(,A,),P,(,B,)。,即,9/27,问：能否在样本空间,中找两个事件,它们既相互独立又互斥?,这两个事件就是,和,所以，与,独立且互斥。,不难发觉，与任何事件都独立。,10/27,设,A、B,为互斥事件，且,P,(,A,)0,P,(,B,)0,下面四个结论中，正确是：,前面我们看到独立与互斥区分和联络，,1.,P,(,B,|,A,)0，2.,P,(,A,|,B,)=P(A)，,3.,P,(,A,|,B,)=0，4.,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,)。,设,A、B,为独立事件，且,P,(,A,)0,P,(,B,)0,下面四个结论中，正确是：,1.,P,(,B,|,A,)0，2.,P,(,A,|,B,)=,P,(,A,)，,3.,P,(,A,|,B,)=0，4.,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,)。,再请你做个小练习。,11/27,=,P,(,A,)-,P,(,AB,),P,(,A,)=,P,(,A,-,A,B,),A、B,独立,故,A,与 独立。,概率性质,=,P,(,A,)-,P,(,A,),P,(B),证实:,仅证,A,与 独立。,定理：,若两事件,A、B,独立，则,也相互独立。,=P(A)1-P(B),=P(A)P(),12/27,二、多个事件独立性,将两事件独立定义推广到三个事件：,对于三个事件,A、B、C,，若,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,)，,四个等式同时,P,(,AC,)=,P,(,A,),P,(,C,),成立,则称事件,P,(,BC,)=,P,(,B,),P,(,C,),A、B、C,相互,P,(,ABC,)=,P,(,A,),P,(,B,),P,(,C,)。,独立。,13/27,推广到,n,个事件独立性定义,可类似地刺蛾出:,设A,1,A,2,A,n,是 n个事件，假如对任意k,(),任意 ，等式,包含等式总数为：,成立，则称n个事件A,1,A,2,，,A,n,相互独立。,14/27,请注意多个事件两两独立与事件两两相互独立区分与联络,两两独立,相互独立,对,n,(,n,2)个事件,?,15/27,对独立事件，许多概率计算可得到简化：,例2:,三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中最少有一人能将密码译出概率是多少？,解：将三人编号为1，2，3，,三、独立性概念在计算概率中应用,所求为,P,(,A,1,+A,2,+A,3,)。,记,A,i,=第,i,个人破译出密码，,i,=1,2,3。,16/27,已知：,P,(,A,1,)=1/5,P(,A,2,)=1/3,P,(,A,3,)=1/4。,P,(,A,1,+A,2,+A,3,),=1-1-,P,(,A,1,)1-,P,(,A,2,)1-,P,(,A,3,),则,17/27,请看演示,“,诸葛亮和臭皮匠,”,18/27,n,个独立事件和概率公式:,设,事件,相互独立,则,P,(,A,1,+,A,n,),也相互独立,也就是说:,n,个独立事件最少有一个发生,概率等于1减去各自对立事件概率乘积。,19/27,则,“,最少有一个发生”,概率为,P,(,A,1,+A,n,),=,1-(1-,p,1,)(1-,p,n,)。,若设,n,个独立事件,发生概率,分别为,类似地，能够得出：,最少有一个不发生”,概率为,“,=,1,-,p,1,p,n,20/27,例3：,下面是一个串并联电路示意图。,A、B、C、D、E、F、G、H,都是电路中元件，各自下方数字表示其正常工作之概率。,求电路正常工作概率。,21/27,P,(,W,),=P,(,A,),P,(,B,),P,(,C+D+E,),P,(,F+G,),P,(,H,)。,解：将电路正常工作记成,W,。因为各元件独立工作，所以有,其中,P,(,C+D+E,)=1,-,P,(,F+G,)=1,-,P,(,W,)0.782。,代入得,22/27,解:,例4,：,验收100件产品方案以下，从中任取3件进行独立地测试,假如最少有一件被断定为次品,则拒绝接收此批产品。设一件次品经测试后被断定为次品概率为0.95,一件正品经测试后被断定为正品概率为0.99,并已知这100件产品恰有4件次品。求此批产品能被接收概率。,设 A=此批产品被接收，,B,i,=取出3件产品中恰有i件是次品，,i=0,1,2,3。,则,23/27,因,三次测试是相互独立，故,P(A|B,0,)=0.99,3,，,P(A|B,1,)=0.99,2,(1-0.95),P(A|B,2,)=0.99(1-0.95),2,P(A|B,3,)=(1-0.95),3,。,由全率公式,得,24/27,解:,例5:,若干人独立地向一游动目标射击,每人击中目标概率都是0.6。求最少需要多少人,才能以0.99以上概率击中目标?,设最少需要n个人,才能以0.99以上概率击中目标。,令A=目标被击中,A,i,=第i人击中目标,i=1,2,n。则A,1,A,2,A,n,相互独立。于是，事件 也,相互独立。,25/27,因,A=A,1,A,2,A,n,得 P(A)=P(,A,1,A,2,A,n,),问题化成了求最小n,使1-0.4,n,0.99。,解不等式，得,26/27,小结,本节首先给出事件独立定义，然后给出独立事件性质定理及多个利用,独立性概念方便地计算事件概率实例。,27/27,
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