广州2015中考圆练习题详细答案.doc

阶段小测五
一． 选择题：
1．过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（　　）

A．
1条
B．
2条
C．
3条
D．
1条或无数条
2．如图1点I是△ABC的内心，∠BIC=130°，则∠BAC=（　　）

A．
65°
B．
50°
C．
80°
D．
100°
图1 图2 图3
3．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）

A．
cm
B．
cm
C．
cm或cm
D．
cm或cm
4．如图2，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（　　）

A．
30°
B．
45°
C．
60°
D．
75°
5．已知圆锥的高为4，母线长为5，则该圆锥的表面积为（　　）

A．
21π
B．
15π
C．
12π
D．
24π
6．如图3，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（　　）

A．

B．

C．

D．

7．如图4，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为（　　）

A．
5cm
B．
6cm
C．
7cm
D．
8cm
图4 图5 图6
8．如图5，四边形OABC是菱形，点B，C在以点O为圆心的弧EF上，且∠1=∠2，若扇形OEF的面积为3π，则菱形OABC的边长为（　　）

A．

B．
2
C．
3
D．
4
9．如图6，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（　　）

A．
12
B．
24
C．
8
D．
6
10．如图7，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（　　）

A．
1 个
B．
2个
C．
3 个
D．
4个
图7 图8 图9
二．填空题：
11．水平放置的一个圆形油管的截面直径为20cm，其中有油部分的油面宽为16cm，则截面上有油部分油的最大深度为　　　　　　cm．
12．如图8，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为　　　　　　．
13．如图9，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．①求∠ACB的度数为　 　；②记△ABC的面积为S，若=4，则⊙D的半径为　　　．
14．如图10，在标有刻度的直线l上，从点A开始，
以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；
以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；
以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；
以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，
…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是
第3个半圆面积的　　　　　　倍，第n个半圆的
面积为　　　　　　（结果保留π） 图10
三． 解答题：
15．如图11，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且．
（1）求证：AC=AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，
两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．
图11
16．如图12，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AC的延长线相交于点F，且AC=8，tan∠BDC=．
（1）求⊙O的半径长；（2）求线段CF长．
图12
17．如图13，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan∠FGD的值．
图13
18．如图14在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴切于A（﹣3，0）与y轴交于B、C两点，BC=8，连AB．
（1）求证：∠ABO1=∠ABO；
（2）求AB的长；
（3）如图15，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于M，与O1B的延长线交于N，当⊙O2的大小变化时，得出下列两个结论：①BM﹣BN的值不变；②BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明．
图14 图15
参考答案与试题解析
一．选择题：
1．过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（　　）

A．
1条
B．
2条
C．
3条
D．
1条或无数条
考点：
圆的认识．菁优网版权所有
分析：
由于直径是圆中最长的弦，过圆心的弦即是直径，根据点A与圆心的位置分两种情况进行讨论：①点A不是圆心；②点A是圆心．
解答：
解：分两种情况：
①点A不是圆心时，由于两点确定一条直线，所以过点A的最长弦只有1条；
②点A是圆心时，由于过一点可以作无数条直线，所以过点A的最长弦有无数条．
即过圆内一点A可以作出圆的最长弦有1条或无数条．
故选D．
点评：
本题主要考查了弦、直径的概念以及直线的性质公理．掌握直径与弦的关系是解决本题的关键．
2．如图点I是△ABC的内心，∠BIC=130°，则∠BAC=（　　）

A．
65°
B．
50°
C．
80°
D．
100°
考点：
三角形的内切圆与内心；三角形内角与定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据三角形的外接圆得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根据三角形的内角与定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度数即可．
解答：
解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，
∵∠BIC=130°，∴∠IBC+∠ICB=180°﹣∠CIB=50°，
∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°，
∴∠BAC=180°﹣（∠ACB+∠ABC）=80°．
故选C．
点评：
本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的内角与定理等知识点的理解与掌握，能求出∠ACB+∠ABC的度数数解此题的关键．
3．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）

A．
cm
B．
cm
C．
cm或cm
D．
cm或cm
考点：
垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
分类讨论．
分析：
先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解答：
解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM===3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC===4cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC===2cm．
故选：C．
点评：
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（　　）

A．
30°
B．
45°
C．
60°
D．
75°
考点：
圆周角定理．菁优网版权所有
分析：
根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD=90°，可求∠D=60°，即可求∠A=∠D=60°．
解答：
解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，
∵∠CBD=30°，∴∠D=60°，∴∠A=∠D=60°．
故选C．
点评：
本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角的知识．
5．已知圆锥的高为4，母线长为5，则该圆锥的表面积为（　　）

A．
21π
B．
15π
C．
12π
D．
24π
考点：
圆锥的计算．菁优网版权所有
分析：
首先根据勾股定理求得底面半径，则可以得到底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
解答：
解：底面半径是：=3，则底面周长是6π，
则圆锥的侧面积是：×6π×5=15π，底面积为9π，
则表面积为15π+9π=24π．
故选D．
点评：
考查了圆锥的计算．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
6．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
过点O作OD⊥BC，垂足为D，根据圆周角定理可得出∠BOD=∠A，再根据勾股定理可求得BD=4，从而得出∠A的正切值．
解答：
解：过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵OB=5，OD=3，∴BD=4，
∵∠A=∠BOC，∴∠A=∠BOD，∴tanA=tan∠BOD==，
故选：D．

点评：
本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，要熟练掌握这几个知识点．
7．如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为（　　）

A．
5cm
B．
6cm
C．
7cm
D．
8cm
考点：
垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
延长AO交BC于D，过O作BC的垂线，设垂足为E，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，设AB的长为xcm，由此可表示出OD、BD与DE的长；在Rt△ODE中，根据∠ODE的度数，可得出OD=2DE，进而可求出x的值．
解答：
解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，
设AB的长为xcm，
∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；
∴△ADB为等边三角形；∴BD=AD=AB=x；
∵OA=4cm，BC=10cm，∴BE=5cm，DE=（x﹣5）cm，OD=（x﹣4）cm，
又∵∠ADB=60°，∴DE=OD，∴x﹣5=（x﹣4），解得：x=6．
故选B．

点评：
此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．解答此题时，通过作辅助线将半径OB置于直角三角形OBE中，从而利用勾股定理求得．
8．如图，四边形OABC是菱形，点B，C在以点O为圆心的弧EF上，且∠1=∠2，若扇形OEF的面积为3π，则菱形OABC的边长为（　　）

A．

B．
2
C．
3
D．
4
考点：
扇形面积的计算；菱形的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
连接OB．根据菱形的各边相等与同圆的半径相等发现等边三角形OBC，再根据菱形的性质得到∠AOC=2∠BOC=120°，从而根据扇形的面积公式求得扇形所在圆的半径，即为菱形的边长．
解答：
解：连接OB．
∵四边形OABC是菱形，∴OC=BC．
又OC=OB，∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB=60°．∴∠AOC=2∠COB=120°．
设扇形的半径是R．∴=3π，R=3．
故选C．

点评：
此题综合考查了菱形的性质与扇形的面积公式．
9．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（　　）

A．
12
B．
24
C．
8
D．
6
考点：
切线长定理；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC；设EF=EC=xcm．则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．
解答：
解：∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，
设EF=EC=xcm，则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：（4﹣x）2+42=（4+x）2，
∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4﹣1=3cm，
∴S△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6cm2．
故选D．
点评：
此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质与勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF，EF=EC．
10．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（　　）

A．
1 个
B．
2个
C．
3 个
D．
4个
考点：
切线的判定；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理．菁优网版权所有
分析：
根据直径所对的圆周角是直角推出∠ADB即可判断①；求出OD∥AC，推出DE⊥OD，得出DE是圆O的切线即可判断④；根据线段垂直平分线推出AC=AB，即可判断③，根据切线的性质即可判断②．
解答：
解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°=∠ADC，即AD⊥BC，①正确；
连接OD，∵D为BC中点，∴BD=DC，
∵OA=OB，∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，
∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线，∴④正确；
∴∠ODA+∠EDA=90°，
∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，∴∠EDA=∠ODB，
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∴∠EDA=∠B，∴②正确；
∵D为BC中点，AD⊥BC，∴AC=AB，
∵OA=OB=AB，∴OA=AC，∴③正确．
故选D．
点评：
本题考查了切线的判定，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等知识点，主要考查学生的推理能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
二．填空题：
11．水平放置的一个圆形油管的截面直径为20cm，其中有油部分的油面宽为16cm，则截面上有油部分油的最大深度为　4或16　cm．
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
应用题；分类讨论．
分析：
弦的位置有两种情况，油的最大深度也将有两种情况．
根据垂径定理与勾股定理分别求解．
解答：
解：油面宽为16cm，放在圆中可看成是弦长16，那么弦的位置有两种情况．油的最大深度也将有两种情况：
（1）用勾股定理算出油面到圆心的距离=6，再用半径减油面到圆心的距离：10﹣6=4；
（2）由（1）得油面到圆心的距离为6，再用半径加油面到圆心的距离：10+6=16．
所以填：4或16．
点评：
本题需注意，具体的弦在圆中的位置应包含两种情况．
12． 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为　（3，2）　．
考点：
垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
压轴题；探究型．
分析：
过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．
解答：
解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA，∴OD=OA=3，
在Rt△OPD中，
∵OP=，OD=3，∴PD===2，
∴P（3，2）．故答案为：（3，2）．

点评：
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
①求∠ACB的度数为　60°　；
②记△ABC的面积为S，若=4，则⊙D的半径为　　．
考点：
三角形的内切圆与内心；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
①根据切线的判定定理得出AB与⊙D相切于E点，进而得出⊙D是△ABC的内切圆，根据OM=OP=0.5，得出∠MOB=60°，进而得出∠ACB的度数；
②根据S△ABC=S△ADC+S△ADB+S△BDC，得出△ABC的面积为S=（AB+AN+CN+BC）×DE，由切线长定理以及DE=DN=CD，
得出CN=DE，再利用已知求出⊙D的半径．
解答：
解：①连接AD，BD，OA，OB，
∵DE⊥AB于点E，点D为圆心、DE长为半径作⊙D，
∴AB与⊙D相切于E点，
又∵过点A、B作⊙D的切线，∴⊙D是△ABC的内切圆，
∵⊙O的半径为1，∴OP=1，
∵弦AB垂直平分线段OP，∴OM=OP=0.5，∴MO=OB，
∴∠MOB=60°，同理可得：∠AOB=120°，
∴∠DAB+∠DBA=（∠CAB+∠CBA）=60°，∴∠ACB的度数为60°，
故答案为：60°；

②∵OM=OP=0.5，∴BM=，AB=，
∵AE=AN，BE=BQ，
∴△ABC的面积为S=（AB+AN+CN+BC）×DE=（2+2CN）×DE，
∵△ABC的面积为S，=4，∴=4，
∵DE=DN=CD，∴CN=DE，∴，解得：DE=，
则⊙D的半径为：，故答案为：．

点评：
此题主要考查了三角形内切圆性质与圆周角定理与垂径定理等知识，题目综合性较强，得出S△ABC=S△ADC+S△ADB+S△BDC是解决问题的关键．
14．如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，
以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；
以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；
以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；
以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，
…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的　4　倍，第n个半圆的面积为　22n﹣5π　（结果保留π）
考点：
规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
根据已知图形得出第4个半圆的半径与第3个半圆的半径，进而得出第4个半圆的面积与第3个半圆面积的关系，得出第n个半圆的半径，进而得出答案．
解答：
解：∵以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；
以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；
以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；
以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，∴第4个半圆的面积为：=8π，
第3个半圆面积为：=2π，∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的=4倍；
根据已知可得出第n个半圆的直径为：2n﹣1，则第n个半圆的半径为：=2n﹣2，
第n个半圆的面积为：=22n﹣5π．
故答案为：4；22n﹣5π．
点评：
此题主要考查了数字变化规律，注意数字之间变化规律，根据已知得出第n个半圆的直径为：2n﹣1是解题关键．
三．解答题：
15．如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且．
（1）求证：AC=AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．
考点：
圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
作图题；证明题．
分析：
（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．证△APO≌△AQO，由BC=CD，得CP=EQ后得证；
（2）同AC=AE得∠ECM=∠CEN，由CE=EF得∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN得证．
解答：
证明：（1）作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．

∵，∴BC=DE，∴BP=DQ，
又∵OB=OD，∴△OBP≌△ODQ，∴OP=OQ．
∴BP=DQ=CP=EQ．
直角三角形APO与AQO中，
AO=AO，OP=OQ，
∴△APO≌△AQO．∴AP=AQ．
∵CP=EQ，∴AC=AE．

（2）∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC．∴∠ECM=∠CEN．
由于AF是CE的垂直平分线，
∴CF=EF．∴∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN．
因此EF平分∠CEN．

点评：
本题主要考查圆、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线、尺规作图等基础知识，考查几何推理能力与空间观念．
15．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AC的延长线相交于点F，且AC=8，tan∠BDC=．
（1）求⊙O的半径长；（2）求线段CF长．
考点：
切线的性质；垂径定理；解直角三角形．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）过O作OH垂直于AC，利用垂径定理得到H为AC中点，求出AH的长为4，根据同弧所对的圆周角相等得到tanA=tan∠BDC，求出OH的长，利用勾股定理即可求出圆的半径OA的长；
（2）由AB垂直于CD得到E为CD的中点，得到EC=ED，在直角三角形AEC中，由AC的长以及tanA的值求出CE与AE的长，由FB为圆的切线得到AB垂直于BF，得到CE与FB平行，由平行得比例列出关系式求出AF的长，根据AF﹣AC即可求出CF的长．
解答：
解：（1）作OH⊥AC于H，则AH=AC=4，
在Rt△AOH中，AH=4，tanA=tan∠BDC=，
∴OH=3，∴半径OA==5；

（2）∵AB⊥CD，∴E为CD的中点，即CE=DE，
在Rt△AEC中，AC=8，tanA=，
设CE=3k，则AE=4k，
根据勾股定理得：AC2=CE2+AE2，即9k2+16k2=64，解得：k=，则CE=DE=，AE=，
∵BF为圆O的切线，∴FB⊥AB，
又∵AE⊥CD，∴CE∥FB，∴=，即=，解得：AF=，则CF=AF﹣AC=．

点评：
此题考查了切线的性质，垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
16．如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan∠FGD的值．
考点：
切线的判定；等边三角形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
专题：
几何综合题．
分析：
（1）连结OD，根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，所以∠ODB=60°=∠C，于是可判断OD∥AC，又DF⊥AC，则OD⊥DF，根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线；
（2）先证明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6．在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=3，所以AF=AC﹣CF=9，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长；
（3）过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH，根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH=BD=3，DH=BH=3．解Rt△AFG，得AG=AF=，则GH=AB﹣AG﹣BH=，于是根据正切函数的定义得到tan∠GDH==，则tan∠FGD可求．
解答：
（1）证明：连结OD，如图，
∵△ABC为等边三角形，∴∠C=∠A=∠B=60°，
而OD=OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°，
∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；

（2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，∴BD=CD=6．
在Rt△CDF中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，
在Rt△AFG中，∵∠A=60°，∴FG=AF×sinA=9×=；

（3）解：过D作DH⊥AB于H．
∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD=∠GDH．
在Rt△BDH中，∠B=60°，∴∠BDH=30°，
∴BH=BD=3，DH=BH=3．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，∴AG=AF=，
∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=，∴tan∠GDH===，∴tan∠FGD=tan∠GDH=．

点评：
本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质以及解直角三角形等知识．
18．如图1在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴切于A（﹣3，0）与y轴交于B、C两点，BC=8，连AB．
（1）求证：∠ABO1=∠ABO；
（2）求AB的长；
（3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于
M，与O1B的延长线交于N，当⊙O2的大小变化时，得
出下列两个结论：①BM﹣BN的值不变；②BM+BN的
值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论
并证明．
考点：
切线的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）连接O1A，由圆O1与x轴切于A，根据切线的性质得到O1A垂直于OA，由OB与AO垂直，根据平面内垂直于同一条直线的两直线平行，得到O1A与OB平行，根据两直线平行内错角相等，得到一对内错角相等，再由O1A=O1B，根据等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出∠ABO1=∠ABO，得证；
（2）作O1E⊥BC于点E，根据垂径定理得到E为BC的中点，由BC的长求出BE的长，再由A的横坐标得出OA的长，即为O1E的长，在直角三角形O1BE中，根据勾股定理求出O1B的长，用OE﹣BE求出OB的长，在直角三角形AOB中，根据勾股定理即可求出AB的长；
（3）两个结论中，①BM﹣BN的值不变正确，理由为：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN，由∠ABO1为四边形ABMN的外角，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得出∠ABO1=∠NMA，再由∠ABO1=∠ABO，等量代换可得出∠ABO=∠NMA，然后利用同弧所对的圆周角相等可得出∠ABO=∠ANM，等量代换可得出∠NMA=∠ANM，根据等角对等边可得出AM=AN，再由同弧所对的圆周角相等，及OM=BN，利用SAS可得出三角形AMG与三角形ABN全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AG=AB，由AO与BG垂直，根据三线合一得到O为BG的中点，根据OB的长求出BG的长，然后BM﹣BN=BM﹣MG=BG，由BG为常数得到BM﹣BN的长不变，得证．
解答：
解：（1）连接O1A，则O1A⊥OA，又OB⊥OA，∴O1A∥OB，∴∠O1AB=∠ABO，
又∵O1A=O1B，∴∠O1AB=∠O1BA，∴∠ABO1=∠ABO；
（2）作O1E⊥BC于点E，∴E为BC的中点，∵BC=8，∴BE=BC=4，
∵A（﹣3，0），∴O1E=OA=3，在直角三角形O1BE中，根据勾股定理得：O1B===5，
∴O1A=EO=5，∴BO=5﹣4=1，在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB==；
（3）①BM﹣BN的值不变，理由为：
证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN，
∵∠ABO1为四边形ABMN的外角，
∴∠ABO1=∠NMA，又∠ABO1=∠ABO，
∴∠ABO=∠NMA，又∠ABO=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，
∵∠AMG与∠ANB都为所对的圆周角，∴∠AMG=∠ANB，
在△AMG与△ANB中，∵，∴△AMG≌△ANB（SAS），∴AG=AB，
∵AO⊥BG，∴BG=2BO=2，∴BM﹣BN=BM﹣MG=BG=2其值不变．

点评：
此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

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