第七届全国大学生数学竞赛非数学类决赛试题.doc

第七届全国大学生数学竞赛决赛试题
答案（非数学类）
2016年3月27日
一填空题（5×6分=30分）
1. 程微分方的通解是_______
解：令,则，则，积分得到，即
，积分得（为常数）.
2. 设D:，则积分的值是_______
解：（对称性和极坐标）.

3. 设二阶连续可导，且，若 ， 则
解：，，所以，则得

4. 设，，…，是n阶方阵A的特征值，为多项式，则矩阵的行列式的值为_______
解：
5. 极限的值为________
解：，为整数，所以结果。
编者注：填空题考察基础，简易，稳扎稳打，唾手可得！
二． （本题满分14分）设在全平面上有连续的偏导数，
试证明：曲面的所有切平面都交于点.
证明：记，求其偏导数得到其法向量：
--------------------------------6分
（得分比高中数学联赛都容易)
为方便取曲面的法向量.
记为曲面上的点，为切面上的点，则曲面上过点的切平面方程为
--------------12分
容易验证，对任意，都满足上述切平面方程.结论得证。
编者注：此题入手容易，拿分也容易，主要的就是一个思路，不在于过多的计算，恰到好处的体现了一个很浅显但用数学化的语言描述的一个证明或者定理。
三． （本题满分14分）设在上连续，
试证明：
证明：
由在上连续，知在可积.
令.则.------------------------------------------------5分
根据要证明试的左边，则

---------------------------------------------14分
得证.
编辑者注：此题属于送分题，很容易上手，非常基础但不失大气！
四（本题满分14分）设A是矩阵，B是矩阵，C是矩阵，试
证明：R(AB)+R(BC)-RB)≤R(ABC),其中R(X)表示矩阵R的秩.
证：即证明R(AB)+R(BC)≤R(ABC)+R(B)=R ---------------3分
由于 = -------------------------7分
= --------------------------10分
且 ， ， 可逆，
所以
R=R ≥R(AB)+R(BC) --------------------------------14分
五（本题满分14分）设，n为正整数.
（1） 若
（2） 设p为实数，讨论级数的绝对收敛性和条件收敛性.
编辑者注：第一问送分题，不予置评；第二问就是高中的分类讨论思想，注意其区别性，掌握好概念，也有放缩的意蕴，只要基础扎实，得满分不是问题..
解：（1）=
-----------6分
（2） 由于<<,所以0<<1,.
因此
故.
根据的取值不同，分类讨论
当p>1时，
由于收敛，所以绝对收敛.-----------------------------------10分
‚当0<p≤1时，由于单调减少，并趋近于0，由莱布尼兹判别法，知收敛.
而发散，所以是条件收敛的.
ƒ当≤0时，则≥1，由级数收敛的必要条件可知，是发散的.
-------------------------------------14分
六（本题满分14分）
设和在空间上有连续偏导数，设上半球面
，方向向上，若对任何点和，第二型曲面积分

试证明：.
证明：设上半球面的底平面为,方向向下，和围成的区域记为，由高斯公式得 --------------------4分
由于底平面为负面，所以，再由题设条件得

注意到上试对任何r>0都成立，由此证明
反证法：
若不然，设
由于.
而当 ，因此左端为一个二阶的无穷小.
类似地，当时一个三阶的无穷小，
而当，该积分趋于0的阶高于3.因此式右端阶高于左端，从而当r很小，则
，
这与（*）式矛盾. ---------------------------------------10分
因此在任何点都有,故=0.带入（*）式得

重复前面的证明可知 .由得任意性知.
编辑者注：可以说这道题证明点细微，用到反证法这一重要思想，通过比较阶次的高低来比较大小，这应该是我们平常不是很注意到的，在这道题中恰恰得到了很好的体现。细致推理，拿10分左右不是问题，满分也未尝不可.
总：
从本届试题看出，填空题没有啥大变动之处，解答题新增了空间几何问题，题都不是很难，对于曾经参加过全国高中数学联赛的学生来说，这些题相应于一个认识阶段来看，不是很难。考察基础，但却能体现厚重基础，思维清晰的良好素养.
估计起码参加这个决赛的起码获得70分左右，也考虑到大学学生事情繁杂，没有多大精力在这一枯燥的学科之上，毕竟不是学数学的.分数不重要，喜欢数学就足够了，并能用于生活就行.
与君共享，喜欢数学的都是不错的！
2016年6月于西安
学生编辑