高三二轮复习之导数几何意义及其利用导数研究函数基本性质.doc

精锐教育学科教师辅导讲义
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学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型
T(同步知识主题)
C （专题方法主题）
T （学法与能力主题）
授课日期及时段
导数的几何意义及其利用导数研究函数的简单几何性质
教学内容

一、同步知识梳理
1. 导数的概念
设函数在及其近旁有定义，用表示的改变量，于是对应的函数值改变量为，如果极限存在极限，则称函数在点处可导，此极限值叫函数在点处的导数，记作或
称为函数在到之间的平均变化率，函数在点处的导数即平均变化率当时的极限值。
2. 导数的几何意义
函数在一点的导数等于函数图形上对应点的切线斜率，即，其中是过的切线的倾斜角，过点的切线方程为：

基础回顾与巩固：
1. 已知曲线C：及点，则过点P可向C引切线条数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 与直线平行的曲线的切线方程是（ ）
A. B.
C. D. 或
3. 某物体运动规律是，则在 时的瞬时速度为0。
4. 平行于直线且与曲线相切的直线方程是 。
二、同步题型分析
类型一 导数及其导数的几何意义
解题基本技巧和方法
(1)切点在曲线上.
(2)切点在切线上.
(3)切点处的导数值等于切线的斜率.
(4)切点不定时候一般假设切点的坐标.

例题一: 已知函数在定义域上可导，设点是函数的图象上距离原点最近的点.
(1) 若点的坐标为, 求证：;
(2) 若函数的图象不通过坐标原点, 证明直线与函数的图象上点处切线垂直.
证：(1)设Q(x , f (x) )为y = f (x)上的动点，则|OQ| 2 = x2 + f 2 ( x )，
设F(x) = x2 + f 2 ( x ),
则F'(x)=2x +2f (x)f ' ( x )
已知P为y = f(x) 图形上距离原点O最近的一点，
∴|OP|2为F(x)的最小值，即F(x) 在x = a处有最小值, 亦即F(x) 在x = a处有极小值
∴ F'(a)=0， 即 2a+2f (a)f ' (a)=0
(2) 线段OP的斜率为，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f ' (a)
由(1)知f (a)f '(a) = – a，
∴图象不过原点，∴a ¹ 0，∴f '(a) = –1
∴OP⊥l，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.

例题二: 设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .

例题三:已知函数
(1) 若函数图象上任意不同两点连线的斜率都小于1，则；
(2) 若[0，1]，函数图象上任一点切线的斜率为，求时的取值范围。

解答（1）设A（，B（是函数图象上任意不同两点，则，显然，不妨设，则，即，构造函数，则在R上是减函数，则在R上恒成立，故，解之得
（2）当[0，1]时，，即对任意的[0，1]，，即在[0，1]成立，由于，则必需满足或或，解得
方法总结：导数的几何意义解题的方法总结：
(1)注意把握点是不是切点的时候要区分过某点还是在某点的切线.
(2)一般涉及到直线与曲线相切的问题先看曲线是不是函数的图像.例如开口向上下的抛物线就可以利用导数.
(3)一定要注意切点的临界性.
三、针对练习
1. 已知，满足，，，则 ， ， 。
2. 曲线在点处的切线与轴，轴的交点分别是 与 。
3．如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作 轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：， ；，；；，记点的坐标为（）
（Ⅰ）试求与的关系（）
（Ⅱ）求
【解析】：（Ⅰ）设 ，由 得 点处切线方程为 ，由得（）
（Ⅱ）由， ，得所以 ，
于是
一、专题精讲
1.借助导数确定超越函数的单调性和单调区间。
(1)导数值大于等于零则对应的解集就是函数的单调增区间。
（2）导数值小于等于零则对应的解集就是函数的单调减区间。
（3）注意导数等于零的时候对函数图像的影响。
（4）函数在某区间上单调增等价于函数在区间内的导数值恒大于等于零。
（5）函数在某区间上单调减等价于函数在区间内的导数值恒小于等于零。
例题一．(2011年高考辽宁卷理科11)函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f’(x)＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
（A）（-1，1） （B）（-1，+） （C）（-，-1） （D）（-，+）
例题二.函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：
① 函数=（xR）是单函数；
② 若为单函数，
③ 若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；
④ 函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.
其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
例题三.设，其中为正实数
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。
【命题意图】：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。
【解析】：
（1） 当时，，由得解得
由得，由得，当x变化时与相应变化如下表：
x

+
0
-
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点。
（2） 因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数
恒成立，即在上恒成立，因此
，结合解得

课堂练习：
（2011•江苏）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致
（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；
（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．
解答：解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．
（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，
进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．
故实数b的取值范围是[2，+∞）
（2）令f'（x）=0，得x=．
若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因此b≤0．
现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（﹣∝，﹣）时，，f'（x）＞0．
因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，
从而﹣≤a＜0，于是﹣≤b＜0，因此|a﹣b|≤，且当a=，b=0时等号成立，
又当a=，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f'（x）g'（x）＞0．
故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．
方法总结：注意区分函数在区间内单调和函数的单调区间的不同。函数在区间内单调只是代表是函数的单调区间的子区间。
2.借助函数的导数确定函数的最值和极值。
（1）理解极值的概念和求法，极值点出的导数值等于零，且该点的两端的单调行相异。
（2）注意把握极值点和极值的区别，极值点指取得极值的对应点的横坐标，极值则是纵坐标。
（3）会借助导函数的图像（列表）来判定极值是极大值还是极小值。
（4）理解连续函数的最值要么在极值处取得要么在端点处取得。
（5）如果一个函数在某个区间内仅有一个极值则该极值一定是对应的最值。（反之不一定成立）
例题一. 设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
A. 1 B. C. D.
注意:三次函数的四种图像的形式(单增,单减,先增后减再增,先减后增再减.)其实与很多分式函数的图像都是比较接近的(相似或者相同).差别主要在于定义域上.
三次方程根的问题。
（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。
①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
② 若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③ 若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
例题二：设
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围．
（2）当时，在的最小值为，求在该区间上的最大值．
解析：（1），因为函数在上存在单调递增区间，所以的解集与集合有公共部分，所以不等式解集的右端点落在内，即，解得．
（2）由得，又，所以，，所以函数在上单调增，在上单调减，又，，
因为，所以，所以，所以．
最大值为．

学法升华
导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等。
导数应用主要有以下三个方面：
①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，
②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。
由导数来求最值问题的方法可知，解这类实际问题需先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值．在设变量时可采用直接法也可采用间接法．
求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。
运用导数确定函数单调区间的一般步骤为：
（1）求出函数y=f(x)的导函数；
（2）在函数定义域内解不等式得函数y=f(x)的单调增区间；解不等式得函数y=f(x)的单调减区间
课后作业
基础巩固强化
1.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f ′(x)存在，且导函数f ′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f ″(x)＝(f ′(x))′，若f ″(x)>0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凹函数，以下四个函数在(0，2(π))上是凹函数的是( )
A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2x C．f(x)＝－x3＋2x＋1 D．f(x)＝－xe－x
[答案] D
[解析] (1)若f(x)＝sinx＋cosx，则f ′(x)＝cosx－sinx，f ″(x)＝－sinx－cosx，∴f ″(x)>0在(0，2(π))上不成立；
(2)若f(x)＝lnx－2x，则f ′(x)＝x(1)－2，f ″(x)＝－x2(1)，f ″(x)>0在(0，2(π))上不成立；
(3)若f(x)＝－x3＋2x＋1，则f ′(x)＝－3x2＋2，f ″(x)＝－6x，f ″(x)>0在(0，2(π))上不成立；
(4)若f(x)＝－xe－x，则f ′(x)＝(x－1)e－x，f ″(x)＝(2－x)e－x，当x∈(0，2(π))时，f ″(x)>0恒成立，故选D.
2．(2013·济南外国语学校第一学期质检)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1处有极值，则ab的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．9
[答案] D
[解析] 函数的导数为f ′(x)＝12x2－2ax－2b，函数在x＝1处有极值，则有f ′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，所以6＝a＋b≥2，即ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取等号，选D.
3．(文)(2011·宿州模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f ′(x)>1，则f(x)>x的解集是( )
A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案] C
[解析] 令F(x)＝f(x)－x，则F ′(x)＝f ′(x)－1>0，所以F(x)是增函数，∵f(x)>x，∴F(x)>0，∵F(1)＝f(1)－1＝0，∴F(x)>F(1)，∵F(x)是增函数，∴x>1，即f(x)>x的解集是(1，＋∞)．
(理)(2011·辽宁文)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f ′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
[答案] B
[解析] 由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则
φ′(x)＝f ′(x)－2>0.
∴φ(x)在R上是增函数．
又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
∴当x>－1时，φ(x)>φ(－1)＝0，
∴f(x)－2x－4>0，∴f(x)>2x＋4.故选B.
4．(文)设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a、b、c的值为( )
A．a＝－2(1)，b＝0，c＝－2(3) B．a＝2(1)，b＝0，c＝－2(3)
C．a＝－2(1)，b＝0，c＝2(3) D．a＝2(1)，b＝0，c＝2(3)
[答案] C
[解析] f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，所以由题意得
f(－1)＝－1，(f ′(－1)＝0，)即－a＋b－c＝－1，(3a－2b＋c＝0，)
解得a＝－2(1)，b＝0，c＝2(3).
5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f ′(x)的图象可能是( )

[答案] D
[解析] 由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x)≤0，在(－∞，0)上f ′(x)≥0，故选D.
8．(文)函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f ′(x)在(a，b)上的图象如图，则y＝f(x)在区间(a，b)上极大值的个数为________．

[答案] 2
[解析] 由f ′(x)在(a，b)上的图象可知f ′(x)的值在(a，b)上，依次为＋－＋－＋，∴f(x)在(a，b)上的单调性依次为增、减、增、减、增，从而f(x)在(a，b)上的极大值点有两个．
[点评] 应注意题设中给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，在f ′(x)的图象上，位于x轴上方部分使f ′(x)>0，f(x)单调增，位于x轴下方部分，使f ′(x)<0，f(x)单调减，f(x)的极值点是f ′(x)的图象与x轴的交点，千万要注意，不要把f ′(x)的单调性误以为是f(x)的单调性．请再练习下题：

(2011·绵阳模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，给出下面四个判断．
①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；
④x＝2是f(x)的极小值点．
其中，所有正确判断的序号是________．
[答案] ②③
[解析] 由函数y＝f(x)的导函数的图象可知：
(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；
(2)f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．
故②③正确．
(理)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0平行，则实数a的值为________．
[答案] 1
[解析] ∵f ′(x)＝1＋x(1)－a，
∴f ′(1)＝2(1)－a.
由题知2(1)－a＝－2(1)，
解得a＝1.
[点评] 函数f(x)在点(x0，y0)处切线l的斜率为f ′(x0)，若l与l1平行(或垂直)，则f ′(x0)＝kl1(或f ′(x0)·kl1＝－1)．请再练习下题：
已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．
[答案] 0或－3(2)
[解析] 由条件知，2x0＝－3x0(2)，
∴x0＝0或－3(2).
9．(2012·湖南长郡中学一模)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)＝5＋cosx，x∈(－1,1)，且f(0)＝0，如果f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围为________．
[答案] (1，)
[解析] ∵导函数是偶函数，∴原函数f(x)是奇函数，且定义域为(－1,1)，又由导数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，∴所求不等式变形为f(1－x)<f(x2－1)，∴－1<1－x<x2－1<1，解得1<x<，∴实数x的取值范围是(1，)．
[点评] 本题考查应用函数性质解不等式以及利用导数研究函数性质，原函数与其导函数的奇偶性相反，这一性质要注意掌握和应用．
10．(2011·北京东城一模)已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f ′(3(2))．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)(理)设函数g(x)＝[f(x)－x3]·ex，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．
[解析] (1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c得，
f ′(x)＝3x2＋2ax－1.
当x＝3(2)时，得a＝f ′(3(2))＝3×(3(2))2＋2a×(3(2))－1＝3(4)a＋3(1)，解之得a＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.
则f ′(x)＝3x2－2x－1＝3(x＋3(1))(x－1)，列表如下：
x
(－∞，－3(1))
－3(1)
(－3(1)，1)
1
(1，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
有极大值
↘
有极小值
↗
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－3(1))和(1，＋∞)；
f(x)的单调递减区间是(－3(1)，1)．
(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，
有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，
因为函数在区间x∈[－3,2]上单调递增，
所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．
只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞).
能力拓展提升
12．(2011·南开区质检)已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
[答案] A
[解析] ∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，
又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，
∴c＝3b－b3，且0＝3－3b2，
∴c＝2，(b＝1，)或c＝－2，(b＝－1，)∴ad＝2.
14．(2011·浙江五校联考)已知函数f(x)的导函数f ′(x)＝2x－9，且f(0)的值为整数，当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，则n＝________.
[答案] 4
[解析] 由题可设f(x)＝x2－9x＋c(c∈R)，又f(0)的值为整数即c为整数，∴f(n)＝n2－9n＋c为整数，f(n＋1)＝(n＋1)2－9(n＋1)＋c＝n2－7n＋c－8为整数，又x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，∴n2－7n＋c－8＝n2－9n＋c，即n＝4.
15.(理)设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．

16．(文)设函数g(x)＝3(1)x3＋2(1)ax2－bx(a，b∈R)，在其图象上一点P(x，y)处的切线的斜率记为f(x)．
(1)若方程f(x)＝0有两个实根分别为－2和4，求f(x)的表达式；
(2)若g(x)在区间[－1,3]上是单调递减函数，求a2＋b2的最小值．
[解析] (1)根据导数的几何意义知f(x)＝g′(x)＝x2＋ax－b，由已知－2,4是方程x2＋ax－b＝0的两个实根，由韦达定理－2×4＝－b，(－2＋4＝－a，)
∴b＝8，(a＝－2，)∴f(x)＝x2－2x－8.
(2)g(x)在区间[－1,3]上是单调递减函数，所以在[－1，3]区间上恒有f(x)＝g′(x)＝x2＋ax－b≤0，
即f(x)＝x2＋ax－b≤0在[－1,3]上恒成立
这只需满足f(3)≤0，(f(－1)≤0，)即可，也即b－3a≥9，(a＋b≥1，)而a2＋b2可视为平面区域b－3a≥9，(a＋b≥1，)内的点到原点距离的平方，其中点(－2,3)距离原点最近．所以当b＝3(a＝－2)时，a2＋b2有最小值13.
(理)(2011·天津文)已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.
(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当t≠0，求f(x)的单调区间；
[解析] (1)当t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0，f ′(x)＝12x2＋6x－6，f ′(0)＝－6，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－6x.
(2)f ′(x)＝12x2＋6tx－6t2，令f ′(x)＝0，解得x＝－t或x＝2(t)，因为t≠0，以下分两种情况讨论：
①若t<0，则2(t)<－t，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
2(t)
，－t(t)
(－t，＋∞)
f ′(x)
＋
－
＋
f(x)
↗
↘
↗
所以，f(x)的单调递增区间是2(t)，(－t，＋∞)；f(x)的单调递减区间是，－t(t).
②若t>0，则－t<2(t)，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－t)
2(t)
，＋∞(t)
f ′(x)
＋
－
＋
f(x)
↗
↘
↗ 

备课自选材料
1．(2012·河南省洛阳市高三年级统一考试)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f ′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为( )
A．{x|x>0} B．{x|x<0}
C．{x|x<－1，或x>1} D．{x|x<－1，或0<x<1}
[答案] A
[解析] 构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f ′(x)－ex＝ex[f(x)＋f ′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.
2．设曲线y＝x2＋1上任一点(x，y)处的切线的斜率为g(x)，则函数y＝g(x)cosx的部分图象可以为( )

[答案] A
[解析] g(x)＝(x2＋1)′＝2x，∴y＝g(x)·cosx＝2xcosx，显然y＝2xcosx为奇函数，排除B、D，且在原点右侧附近，函数值大于零．排除C.
3．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为图中的( )

[答案] D
[解析] 当y＝f(x)为增函数时，y＝f ′(x)>0，当y＝f(x)为减函数时，y＝f ′(x)<0，可判断D成立．
4．(2012·深圳第一次调研)已知函数f(x)的导函数f ′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )

[答案] D
[解析] 当x<0时，由导函数f ′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x>0时，由导函数f ′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项符合题意．
已知a，b是实数，且e<a<b，其中e是自然对数的底数，则ab与ba的大小关系是( )
A．ab>ba B．ab<ba C．ab＝ba D．ab与ba的大小关系不确定
[答案] A
[解析] 令f(x)＝x(lnx)，则f ′(x)＝x2(1－lnx).当x>e时，f ′(x)<0，∴f(x)在(e，＋∞)上单调递减．
∵e<a<b，∴f(a)>f(b)，即a(lna)>b(lnb)，
∴blna>alnb，∴lnab>lnba，∴ab>ba.
6．(2011·安徽池州一中期末)已知函数y＝－3(1)x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________．
[答案] b<－1或b>3
[解析] y′＝－x2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在R上单调递减，应有y′≤0恒成立，
∴Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，∴－1≤b≤3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是
b<－1或b>3.
7．已知f(x)＝lnx＋x2－bx.
(1)若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
[解析] (1)∵f(x)在(0，＋∞)上递增，
∴f ′(x)＝x(1)＋2x－b≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立，
即b≤x(1)＋2x对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴只需b≤＋2x(1)min，
∵x>0，∴x(1)＋2x≥2，当且仅当x＝2(2)时取“＝”，
∴b≤2，∴b的取值范围为(－∞，2]．
(

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