辽宁省沈阳市2013年高三教学质量监测(二)数学(理)试题.doc

2013年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）
数 学(理科)
命题：沈阳市第31中学 李曙光 东北育才学校 牟 欣 沈阳市第20中学 何运亮
东北育才学校 刘新风 沈阳铁路实验中学 倪生利 沈阳市第11中学 朱洪文
主审：沈阳市教育研究院 周善富
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷(共60分)
开始
输入

输出
结束
是
否
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（为虚数单位）对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知非空集合，全集，集合，
集合 ）（ ），则（ ）
A． B． C． D．
3． 等差数列的前项和为，若，，则过点
(3 ，) ，（4 ，）的直线的斜率为（ ）
A．4 B． C．－4 D．－14
4．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为( )
A．3 B． 4 C．5 D．6
5．椭圆:与动直线：，
则直线与椭圆C交点的个数为（ ）
A．0 B． 1 C．2 D．不确定
6．“”是“的展开式的各项系数之和为64”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）
主视图
左视图

A B C D

8．在等比数列中，对于都有，则（ ）．
A． B． C． D．　　　　
9．已知关于的方程有正根,则实数的取值范围是( )
A．(0,1) B． C． D．
10．已知点为外接圆的圆心，且,则的内角等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
11．函数（,）的图像在上单调递增，则的最大值是（ ）．
A． B． C． 1 D．2
12．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）．
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷 (共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.
13． .
14．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有 种放法．(用数字作答)
15．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
16．三棱锥的外接球为球，与都是以为斜边的直角三角形，是以为斜边的等腰直角三角形, 且，向量与的夹角为，则球的表面积为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.
17. (本小题满分12分)
已知的内角，，的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，求的面积的最大值．

18. (本小题满分12分)
如图甲，已知是上、下底边长分别为和，高为的等腰梯形，将它沿其对称轴折成直二面角，如图乙.
（1）证明：⊥；
（2）求二面角－－的大小.

19. (本小题满分12分)
在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表:

平面几何选讲
极坐标与参数方程
不等式选讲
合计
男同学(人数)
12
4
6
22
女同学(人数)
0
8
12
20
合计
12
12
18
42

（1）在统计结果中，如果把平面几何选讲和极坐标与参数方程称为几何类，把不等式选讲称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表:

几何类
代数类
合计
男同学(人数)
16
6
22
女同学(人数)
8
12
20
合计
24
18
42
据此统计你是否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握?
（2）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈. 已知这名学委和两名数学科代表都在选做“不等式选讲”的同学中.
①求在这名学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；
②记抽取到数学科代表的人数为，求的分布列及数学期望.
下面临界值表仅供参考：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：）

20. (本小题满分12分)
已知抛物线过点作直线交抛物线于点（点在第一象限）.
（1）当点是抛物线的焦点，且弦长时，求直线的方程；
（2）设点关于轴的对称点为,直线交轴于点，且
求证：点的坐标是并求点到直线的距离的取值范围.

21. (本小题满分12分)
已知函数，R且．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若，证明:.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.
22.（本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲
如图, 内接于⊙, 是⊙的直径, 是过点的直线, 且.
(1)求证: 是⊙的切线;
(2)如果弦交于点, , , , 求直径的长.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的方程是，圆心为．在以坐标原点为极点,以轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线：与圆相交于两点．
（1）求直线的极坐标方程；
（2）若过点(2,0)的曲线C2:(是参数)交直线于点,交轴于点，求||:||的值.

24．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲
已知函数．
（1）解不等式: ；
（2）若，求证：≤.

2013年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）
数学（理科）参考答案与评分参考
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
参考答案
D
B
A
B
C
B
C
D
C
A
C
D
5．C 动直线即为： ，动直线过定点 ，该点在椭圆内部，所以总有两个交点，选C.
8．提示：由题知，，选Ｄ.
y
x
·
·

9．提示：由题只须，解得，从而 实数，故选C.
11．提示：（方法一）令，原题等价于函数
的图像在上单调递增．如图：
只须，从而．选Ｃ.
（方法二）因为,,
所以函数的增区间满足：
，化简得Z.
又因为函数在上单调递增，
所以，
解得，所以，即的最大值为1.
12．提示： 由得可见
，即函数在上单调递增,所以选D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．0 14．112 15． 16．
13．提示：因，所以
.
14． 提示：（方法一）令甲、乙两个笔筒，放入甲筒里的情况共有四种，每种情况里的方法数分别为，，，，从而共有．
（方法二）将7支不同的笔放入两个不同的笔筒中，先将7支不同的笔分成两份，有两种情况，一是一份5支，另一份2支，有方法，二是一份4支，另一份3支，有方法，共有种方法，接着将两份笔分别放入两个不同的笔筒中有种方法，由分步计数原理得种方法.
15．提示：设椭圆的长半轴长，半焦距分别为，双曲线的实半轴长，半焦距分别为， （分别为椭圆和双曲线的离心率），又，则该椭圆的离心率的取值范围是.
16．提示：因为与都是以为斜边的直角三角形，所以的中点即是球的球心. 又因为是以为斜边的等腰直角三角形，且所以与全等，所以，又=，所以为等边三角形，且边长为，所以，所以球的半径为，所以球的表面积为.

三、解答题：本大题共70分.
17．解：（1）解法①:由正弦定理可知 ,
所以， ……………………………………………………………2分
即，
又因为在中，， ……………………4分
又，
所以，
即， …………………………………………………………6分
又因为在中,，
所以，即. ………………………………………………………8分
（方法二）:由余弦定理可知,，
代入原式中，得， ………………………………2分
即，即，
于是，
因为，所以， ……………………………………………6分
所以. …………………………………………………………………………8分
（2） 由（1）知，又因为，所以（当时取“=”），
……………………………………………………………………………… 10分

又因为的面积，从而的面积的最大值为. ………12分
18．解: （1）证明：（方法一）
由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1. 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB. 所以有AO⊥平面OO1B，所以B O1⊥AO.
如右图在直角梯形OO1CB中，连BO1交OC于E，
B
C
O
O1
E
由已知， O1C=1，OO1=，OB=3，………………………………………………4分
所以在Rt△OO1C中，，所以∠O1OC=30o.
在Rt△O1OB中，，所以∠OO1B=60o.
所以∠O1EO=90o，
于是BO1⊥OC.（或由三角形相似及相似比得 得BO1⊥OC可参照给分）
又OCAO=O，所以BO1⊥平面AOC，又AC平面AOC，
所以AC⊥BO1. ………………………………………………………………………6分
（2）（方法一）
解:连OD交AO1于E，
由(1)可知OE⊥AO1又CO1⊥平面AOO1D，
而OE在平面AOO1D内，所以CO1⊥OE，
从而OE⊥平面AO1C.
过E作EF⊥AC于F，连OF.
即在Rt△OEF中， ∠OEF=90o，
∠EFO即是二面角O—AC—O1的平面角. ………8分
由(1)可知OE=，AE=，
而△AEF∽△A O1C，则，而AC=，所以EF=， ……10分
从而tan∠EFO==， …………………………………11分
即二面角O—AC—O1的大小是. …………………………………12分
（1）（方法二）
由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1
所在直线分别为轴、y轴、z轴建立（如图）空间直角坐标系，…………………2分
则A（3，0，0），
B（0，3，0），C（0，1，），O1（0，0，）.

从而
所以AC⊥BO1. ………………………………………………………………6分
（2）（方法二）因为所以BO1⊥OC，
由（1）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.
设是平面O1AC的一个法向量，
由，有取，得. ………8分
设二面角O—AC—O1的大小为，如图可知为锐角，
所以=. …………………………10分
即二面角O—AC—O1的大小是 ………………………………12分
19．解：（1）由题.
所以，据此统计有的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关. ……4 分
（2）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学. ………………6分
① 令事件A为“这名学委被抽取到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，
则,.
所以. ……………………………8分
(另解: 令事件A为“在这名学委被抽取到的条件下，两名数学科代表也被抽到”；
则. ………………………………………………8分
② 由题的可能值有0,1,2.依题；；
. …………………………………………………10分

从而的分布列为:

0
1
2

……………………………………11分

于是. …………………………………12分
(另解：因为服从超几何分布，所以. …………………12分）
20. 解：（1）由抛物线得抛物线的焦点坐标为设直线的方程为
由 ………..2分
所以因为
所以
所以即. ………….4分
所以直线的方程为
. …………5分
(2) 设则
由消去，得，
因为
……….7分
（方法一）
设则
由题意知，//
,
即
显然 ………..9分
由题意知，为等腰直角三角形，
即也即

即
. ………….10分

. …………12分
（方法二）
因为直线，
所以令，则，
. …………………..9分
由题意知，为等腰直角三角形，，即
，，即，
.
，. ……………….10分
的取值范围是. …………….12分
21. 解：（1）由题，
. …………………………………………………………2分
令，因为故.
当时，因且所以上不等式的解为,
从而此时函数在上单调递增. ……………………………4分
当时，因所以上不等式的解为，
从而此时函数在上单调递增.
同理此时在上单调递减. ………………………………………6分

（2）（方法一）要证原不等式成立，只须证明，
只须证明.
因为所以原不等式只须证明，
函数在内单调递减. …………………8分
由（1）知，
因为，
我们考察函数,.
因，
所以. ……………………………10分
从而知在上恒成立，
所以函数在内单调递减.
从而原命题成立 ……………………………………………12分
（方法二）要证原不等式成立，只须证明，
只须证明.
又，
设，
则欲证原不等式只须证明函数在内单调递减
. ………………………8分
由（1）可知
.
因为，所以在上为增函数，
所以.
从而知在上恒成立，
所以函数在内单调递减.
从而原命题成立. …………………………………12分
22.（1）证明：为直径，，
,
为直径，为圆的切线. …………………………………4分
（2）,
,
连DB，由∽. ……………………6分
连AD，由∽. 在，中，，，于是有=，
，. ………………………………… 10分
23．解：
（1）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，
极坐标与直角坐标有关系：或 ，………………………1分
所以圆C1的直角坐标方程为，…………………………………2分
联立曲线C：，得
或,
即不妨令，从而直线的直角坐标方程为：，
(此处如下解法也可：联立曲线C1与C，消去与项，得)
所以，，即， ……………………………4分
所以直线AB的极坐标方程为，R）. ……………………………5分
（2）（方法一）由(1)可知直线AB的直角坐标方程为：， …………………6分
依题令交点D则有，
又D在直线AB上，所以，，解得，
由直线参数方程的定义知|CD|=||， …………………………………………8分
同理令交点E，则有，
又E在直线上，所以，解得，
所以|CE|=||， ………………………………………………………………9分
所以|CD|:|CE|=. ………………………………………………………………10分
（方法二）将曲线C2:(是参数)化为普通方程:， ………6分
将其联立AB的直线方程:，解得:，从而D，
再将曲线C2与直线联立，解得，从而E，
这样|CD|==， …………………………………………8分
|CE|==， …………………………………………9分
从而|CD|:|CE|=. ……………………………………………………10分
24．解: （1）由题.
因此只须解不等式. …………………………………………2分
当时，原不式等价于，即.
当时，原不式等价于，即.
当时，原不式等价于，即.
综上,原不等式的解集为. …………………………………………5分
（2）由题.
当＞0时，
. …………………………10分

18 / 18