力学-第五章刚体的转动.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 刚体的转动,1,一、基本概念,2,刚体的,平动,(Translation),刚体上任意两点间的联线在整个运动过程中，,保持原方向不变。,1,刚体,(Rigid Body),（理想模型）,动画,动画,2,3,刚体的转动,(Rotation),4,刚体,定轴转动,刚体上各质点都绕同一轴作圆周运动,3,特点：,角位移，角速度和角加速度均相同；,质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。,角位移,角速度,角加速度,4,角速度矢量,角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关系。,角速度矢量,在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。,5,在,A,点取质量元,的运动遵循牛顿第二定律,同时叉乘方程两边,二、刚体的定轴转动定律,6,方程两边同时求和,转动惯量,7,第一转动定律：,类比有,:,时,绕定轴转动的刚体所受的合外力矩为零时，将保 持原有的运动状态不变。,由牛顿第一定律：,8,刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩的作用下所获得的角加速度的乘积。,第二转动定律：,牛顿第二定律：,类比有,:,9,三、转动惯量,质点,质点系,刚体,转动惯量与（,a,）刚体的质量,m,有关；,（,b,）与,m,的分布有关；,（,c,）与转轴的位置有关,常见均匀刚,体的转动惯量,见书,P,261,10,几种常见刚体的转动惯量：,细棒,细棒,薄圆环,或薄圆筒,圆盘或,圆柱体,薄球壳,球体,11,*,平行轴定理,以,m,表示刚体的质量，,J,c,表示它通过其质心,c,的轴的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为,d,，,则此刚体对于后一轴的转动惯量为：,*,垂直轴定理,例：,12,如图所示的大圆盘，质量为,M,，半径为,R,，对于过圆心,o,点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为 。,如果在大圆盘中挖去图示的一个小圆盘，其质量为,m,，半径为 ，且 。已知挖去的小圆盘相对于过,o,点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为 ，则挖去小圆盘后剩余部分对于过,o,点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为多少？,答案：,13,四、转动定律的应用,用求导的方法,积分加初始条件,刚体定轴转动的两类问题：,14,例,1.,一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量 为,m,1,和,m,2,的物体,，,m,1,m,2,，,滑轮的 质量为,m,，半径为,R,，所受的摩擦阻 力矩为,M,r,，绳与滑轮间无相对滑动。,试求：物体的加速度和绳的张力。,已知：,m,1,，,m,2,，,m,，,R,，,M,r,求：,.,动画,15,解,:,研究对象,m,1,，,m,2,，,m,建立坐标，受力分析 如图,.,对各隔离体写出运动方程：,对,m,1,：,对,m,2,：,对,m,：,又：,16,联立求得：,注意：,当不计滑轮的质量,及摩擦阻力时：,这便是中学所熟知的结果,问：如何求角加速度？,根据 可求得,17,例,2,（,0158,）,电风扇在开启电源后，经过,时间达到了额定转速，此时相应,的角速度为 。当关闭电源后，经,过 时间风扇停转。已知风扇转子,的转动惯量为,J,，并假定摩擦阻力矩,和电机的电磁力矩均为常量，试根据,已知量推算电机的电磁力矩。,18,在 内,解：,关闭电源后，,经过 时间,结果：,电磁,摩擦,19,例,3,（,5031,）,转动着的飞轮的转动惯量为,J,，,在 时角速度为 。此后飞轮经,历制动过程。阻力矩的大小与角速度,的平方成正比，比例系数为 （为,大于零的常数）。当 时，,飞轮的角加速度 。从开始制,动到 所经历的时间,20,解：,（,1,）当 时，飞轮的角加速,度,时,21,设开始制动的时刻为,（,2,）从开始制动到 所经历的时间,22,（课堂练习）,有一半径为,R,的圆形平板平放,在水平桌面上，平板与水平桌面的,摩擦系数为 ，若平板绕通过其中,心且垂直板面的固定轴以角速度,开始旋转，它将在旋转几圈后停止？,23,解：,24,质心,质量中心,1.,质心的,位置矢量,分量：,质点系：,25,对连续分布的物质，,可以将其分为,N,个小质元：,质心是相对于质点系本身的一个特定位置,其相对位置不随坐标系选择而变化。,26,例：,任意三角形的每个顶点有一质量,m,，求质心。,x,y,o,（,x,1,，,y,1,）,x,2,解：,27,2.,质心运动定理,质点系合外力,质点系总质量,质心加速度,28,例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一静止均匀,球，球的质量,M,，纸被拉动时与球的摩擦力为,F,，求：,t,秒后球相对桌面移动多少距离？,x,y,o,解：,29,作业：,P,286 287,5.2 5.9 5.12,30,当刚体在力矩 作用下从 转到,时，力矩所做的功为：,六、,刚体转动的功和能,1,力矩做功,合外力 对 刚体所作的元功：,（,与,互余）,31,2.,刚体转动动能,考虑刚体上第,i,个质元，质量为,的动能,整个刚体的动能为,速度为,32,刚体的转动动能,3.,定轴转动的动能定理,由质点系：,类比：,合外力矩对定轴转动的刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。,A,内力矩,？,内,33,4.,刚体的势能,一个不太大的刚体的重力势能,=,它的全部质量集中在质心时所具有的势能,刚体重力势能,：刚体,质心,与重力势能零点（地面）的,高度差,34,注意,：,功能原理适应于纯质点系统也适应于纯刚,体系统，同时也适应于（,质点,+,刚体,）的混,合系统。但计算动能时,必须注意,刚体动能,5.,刚体定轴转动的功能原理,内,35,6.,刚体的机械能守恒定律,内,若：,则：,常数,若刚体转动过程中只有重力矩作功，则机械能守恒。,36,例,4.,一质量为,m,长为,L,的均匀细棒,OA,可绕通过其一端的光滑轴,O,在竖直平,面内转动，今使棒从水平位置开始自,由下摆，求细棒摆到竖直位置时,（,1,）质心,C,和端点,A,的线速度,（,2,）质心,C,的线加速度,解法一（,1,）,研究对象：细棒,受力分析：,（不考虑）,力矩,零势面,37,动能定理：,=0,方向：向左,零势面,因竖直位置,M=0 =0,（,2,）,38,解法二 用机械能守恒：（刚体只有重力矩作功）,解法三 用运动方程,（转动定律）求解：,研究对象：细棒,受力分析：,mg,（不考虑,N,）,运动方程：,零势面,39,七、定轴转动的角动量定理,1,冲量矩,2,刚体定轴转动的角动量,3,刚体,系,定轴转动的角动量定理,微分形式,积分形式,40,4,刚体系,角动量守恒定律,计算角动量时,注意,：,质点,角动量,刚体,角动量,有刚体时,切忌,用,动量,守恒，,只能,用,角动量,守恒,41,注意：刚体,系,定轴转动的角动量定理,和角动量守恒定律适应于纯质,点系统也适应于纯刚体系统同,时也适应于（,质点,+,刚体,）的,混合系统。,42,例,5,（,0232,）,空心圆环可绕光滑的竖直,固定轴,AC,自由转动，转动惯量为,J,0,，,环的半径为,R,，初始时环的角速度,为,0,。质量为,m,的小球静止在环内,最高处,A,点，由于某种微小干扰，小,球沿环向下滑动，问小球滑到与环,心,O,在同一高度的,B,点和环的最低处,的,C,点时，环的角速度及小球相对与,环的速度各为多少？,43,（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径 ）,小球受力：,环受力：,重力、与轴、与小球,之间作用力,对所有力的力矩分析可知：两物体所受力,关于,轴,的力矩,均等于,零,。,44,所以，,在,轴方向,角动量守恒,由于它们在运动过程中，,在,轴向,所受合外力矩为零，,选小球和环为系统，,对,A,、,B,点有,:,45,选（小球,+,环,+,地球）,为系统，,则系统机械,能守恒。,取过环心的水平面为势能零点。,46,对于,A,、,C,点有,47,例,6,（,0786,）,一质量均匀分布的圆盘，质,量为,M,，半径为,R,，放在一粗糙水平,面上，圆盘可绕通过其中心,O,的竖直,固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，,一质量为,m,的子弹以水平速度,V,0,垂直,于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边,上，求（,1,）子弹击中圆盘后，盘所,获得的角速度,（,2,）经过多少时间后，圆盘,停止转动,（忽略子弹重力造,成的摩擦阻力矩）,48,（,1,）,解：,子弹击中圆盘后，圆盘所获得的角速度,子弹和圆盘在碰撞前,后,角动量守恒,49,（,2,）经过多少时间后，圆盘停止转动,解一：,根据定轴转动定律,50,解二：,对（圆盘,+,子弹）应用角动量定理,51,作业：,P,287288,5.15 5.16 5.19 5.20,52,例,7,（,0141,）,一匀质细棒长为,2L,，质量,为,m,。以与棒长方向相垂直 的速度,V,0,在光滑水平面内平动时与前方一,固定的光滑支点,O,发生完全非弹性,碰撞。碰撞点位于棒,中心的一方,L/2,处，,如图所示。,求棒在碰撞后的瞬时绕,O,点转动时的角速度,53,解：,碰撞前后,角动量,守恒。,计算碰撞,前,瞬时，杆,对点,o,的角动量大小,棒上所有点,角速度不同,但有相等的,平动,速度。,在棒上任意处取质量,元,特点：,54,质量元 相对,o,点的,角动量,大小,55,棒上所有点,平动,速度,不,同,，但有相等的,角速度,。,计算碰撞,后,瞬时，杆对,点的角动量大小,结论：,特点：,56,例,8,（,0785,）,如图所示，一半径为,R,，质,量为 的水平圆台，正以角速度,绕通过其中心的竖直固定光滑轴转,动，转动惯量 。台上原站有,俩人，质量各等于转台质量的一半，,一人站于台边,A,处，另一人站于距台,中心 的,B,处。今,A,处的人相对于原,台以速率,V,顺着,圆台转向沿圆周走动，,同时,B,处的人相对于原台以速率,2V,逆,圆台转向沿圆周走动。求圆台这时,的角速度,。,57,例,8,（,0785,）,解答,（转台,+,二人）对转轴,角动量守恒,走动前,台,A,处人,B,处人,58,走动后,台,A,处人,B,处人,结果：,59,刚体定轴转动与质点一维运动的对比,位移,角位移,速度,角速度,加速度,角加速度,质点一维运动,刚体定轴转动,质量,转动惯量,力,力矩,运动定律,转动定律,角动量,角动量,动量定理,角动量定理,动量守恒定律,角动量守恒定律,动量,动量,60,质点一维运动,刚体定轴转动,力的功,力矩的功,动能,转动动能,动能定理,转动动能定理,重力势能,重力势能,机械能守恒定律,机械能守恒定律,61,刚 体 的 定 轴 转 动 主 要 内 容,一、线速度与角速度关系,二、转动惯量,质点,质点系,刚体,62,三、转动定律,四、力矩的功,五,.,刚体转动动能,六,.,定轴转动的动能定理,63,七,.,定轴转动的功能定理,八,.,定轴转动的角动量定理,质点角动量,64,刚体角动量,所有点有相同的,角,速度,所有点,有相同,的,线,速,度,（,定积分,）,65,作业解答,P,225 227,4.2,66,4.3,67,4.4,68,4.9,当以物体的平衡位置为竖直,y,轴的坐,标原点，且物体的位置坐标为,y,时,69,