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秋专升本高等数学电子教案

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写在教学前面的话——高等数学学习建议

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2、其二，要听好课，最好不要缺课，你的自学能力再强，我看还是听老师讲一遍的效果好，有经验的老师会告诉你事情的来龙去脉，重点在哪，难点如何处理等等。断断续续的听课，高兴就来，不高兴就不来，听课内容不连续，麻烦和问题会越积越多；
3、围绕重点多做习题。数学练习真的太多太多，要围绕重点多做些习题，重点内容所配置的习题往往包含了几个知识点，技巧性也比较高，这些习题要多做些，力求达到熟能生巧的目的；
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5、还有一点，你要善于总结（思维导图），一个章节、一个单元学完了，你要用自己习惯的方式做好总结，主要内容有哪些？主要的公式定理？主要的计算方法等等。

微积分章节授课次序：
1、 第一章 函数、极限与连续
2、 第九章 无穷级数
3、 第二章 导数与微分
4、 第三章 导数的应用
5、 第六章 多元函数微分学
6、 第四章 不定积分
7、 第八章 微分方程
8、 第五章 定积分及其应用
9、 第七章 二重积分

第一章 函数、极限和连续

第一节 函数
一、 函数的概念
1、函数的概念：
（1）函数两要素：和
（2）判断两个函数是否为同一个函数的方法：只要两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是同一个函数。
2、单值函数和多值函数
单值函数的特点：一一对应
3、显函数和隐函数
（1）形如的函数称为显函数。
（2）由方程所确定的函数称为一个隐函数。有些微分方程的通解就是隐函数。
（3）隐函数有的能够显化，如（多值函数）
而有些隐函数不能显化，如
4、分段函数：在自变量的不同取值范围内，函数不能用一个表示式表示，而是要用两个或者两个以上的表示式表示。这样的函数称为分段函数。
5、函数的定义域一般是指使函数表示式有意义的自变量的取值范围。求函数的定义域时，一般要注意：
（1）如果，要求
（2）如果（为正整数），要求
（3）如果，要求
（4）如果，要求
（5）分段函数的定义域：是将分段函数所有的取值区间做并集。
6、函数的表示法：表示函数一般见公式法辅之以图示法（数形结合）。
例题精讲(P4-P5)
1、求下列函数的定义域：
（1）（历年真题）
（2）（历年真题）
（3）
（4）
二、 函数的几种常见性态（有界性、单调性、奇偶性、周期性）
1、有界性
（1）有上界：满足（存在常数M）上不去
（2）有下界：满足（存在常数m）下不来
（3）有界: 满足（存在正常数M）
事实上：，有界即既有上界又有下界。从图像上观察，有界函数的图形会被两条平行于x轴的直线夹在中间。
（4）无界
（5）常见有界函数： ， ， ，
，
2、单调性
（1）概念
（2）讨论函数的单调性和有界性都不能离开函数的定义区间。
3、奇偶性
（1）概念：注意奇偶函数的定义域须关于原点对称
（2）判断奇函数的方法：或者
（3）奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇+偶=非奇非偶
奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇
（4）非奇非偶函数，即对于函数，存在，有且
4、周期性
（1）概念
（2）的最小正周期都是，的最小正周期都是。
、的最小正周期都是
例题精讲
2、函数区间在（ ）有界（历年真题）
A．（0,1）  B.（0，） C. （1，） D．（1,2）
3、判断下列函数的奇偶性：
（1） （2）
（3） （4）
4、讨论下列函数的周期性，如果是周期函数，求出其周期。
（1） （2） （3）

三、反函数
（1）概念
（2）单调函数一定存在反函数，且原函数和反函数单调性一致。
（3）原函数和反函数的图形关于直线对称。
（4）反函数的求法。
例题精讲
5、求函数 的反函数并指出其定义域。

四、基本初等函数
（1）要求熟练掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）的表示式、定义域、值域、图像（要记忆）及4种性态。（P9-P11）
（2）常见的幂函数图形：、、、、、。
（3）掌握指数函数、对数函数、四类三角函数、的图形。
（4）掌握反三角函数的定义域，主值区间和图形。根据图形记忆：

（5）掌握三角函数的常见公式。
五、复合函数
（1）概念
（2）会求复合函数
（2）能正确分析复合函数复合过程（前提：熟练掌握各基本初等函数的表示式）
六、初等函数
（1）概念
（2）一般说来，分段函数不是初等函数。
例题精讲
6、已知函数的定义域是，求下列函数的定义域：
（1） （2） （3） （4）
7、填空题：
（1）设的定义域为，则函数的定义域为_____（历年真题）
（2）设的定义域为，则的定义域是_________
（3）设的定义域为，则的定义域是_________
（4）设，则的定义域是_________
（5）设，则_________
8、已知，试求
9、引入适当的中间变量，将下列函数分解为几个简单函数的复合：
（1） （2） （3）
10、设函数
（1）做函数的图形，并写出其定义域；
（2）求复合函数。
11、设函数 ， ，求。
12、设，，
求。

第二节 极限的概念与运算
一、 数列极限
1、如果数列满足，则称数列收敛。否则称数列发散。
2、如果数列有一个子列极限不存在，或者有两个子列极限存在但不相等，则数列发散。如数列
二、函数极限
1、
2、
3、极限值与函数值是否存在无关。
例题精讲（P21）
1、函数在处（　）．
A.有定义且有极限 B.无定义但有极限
C.有定义但无极限 D.无定义且无极限
2、，则___________，___________。
3、设函数 当为何值时，在点处极限存在？
4、若存在，且，求。
5、设，求与的值。

三、无穷小和无穷大
1、无穷小:极限为0（绝对值无限变小）的变量。记作：（判定无穷小的方法）.
特例：常数0是无穷小。
2、无穷大：绝对值无限变大的变量。记作：.
3、无穷小的性质
在自变量的同一变化过程中，
（1） 有限个无穷小的和、差、积以及常数和无穷小的积仍为无穷小。
（2） 有界函数和无穷小的积仍为无穷小。
（3）若是无穷大，则是无穷小；若是无穷小，则是无穷大。（判定无穷大的方法）
4、无穷小的比较
设和都是在自变量同一变化过程中的无穷小，且
（1） 如果，则称是比高阶的无穷小，记作
（2） 如果，则称是比低阶的无穷小。
（3）如果，则称与是同阶无穷小。
（4）如果，则称是与是等价无穷小，记作～。
5、常见的等价无穷小（记忆）：当时，
～～～～～～
～ , ～
例题精讲（P30）
6、当时，是的（ ）（历年真题）
A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小 D.等价无穷小
7、当时，下列与是等价无穷小量的是（ ）（历年真题）
A． B. C. D.
8、当时，下列结论不正确的是（ ）（历年真题）
A．～ B. ～ C. ～ D. ～
9、下列函数在指定的变化过程中，（　）是无穷小量。
　 A.　B. C.　 D.
10、当时，与等价的无穷小是（　）
A. B. C.　 D.
11、当时，与是等价无穷小，则_________。

四、极限的计算方法
1、函数极限的计算公式和法则同样适用于数列极限的计算。
2、基本结果：
（1） （2）
（3） （4）
3、初等函数的连续性：如果初等函数在点有定义，则。
4、极限的四则运算法则（略）
基本题型I：求，且在点有定义，则。
基本题型Ⅱ：求，而在点无定义，经过因式分解、有理化或者通分等恒等变换化简后，回到基本题型I。
基本题型Ⅲ：求，分子分母同时除以的最高次方。
能够记忆公式：当,为非负整数时，有

5、两个重要极限
重要极限Ⅰ ：
一般形式：（须满足）
重要极限Ⅱ ：
一般形式：（须满足）
（须满足）
能够记忆公式：
6、有界函数与无穷小之积仍为无穷小
（1）记忆几个有界函数： ， ， ，
，
（2）举例：求
解：，又， 原式。
（3）注意以下四个极限：

7、等价无穷小替换原理
（1）记忆常见的等价无穷小
当时， ～～～～～～
～ , ～
（2）注意等价无穷小的一般形式
（3）在自变量同一变化过程中，都是无穷小，且～，～，如果存在，那么 =
注意：相乘除的无穷小能够用各自的等价无穷小替换，
相加减的无穷小不能用各自的等价无穷小替换
8、极限存在准则
（1）夹逼准则
（2）单调有界收敛准则
9、洛比达法则
（1）型未定式
设函数和满足：①，②在的某个去心领域内和均可导，且③（A可为有限常数也可为）
则有
（2）型未定式
设函数和满足：①，②在的某个去心领域内和均可导，且③（A可为有限常数也可为）
则有
（3）如果题目须不止一次使用洛必达法则，那么每次使用法则之前都需要判断是否为型或型
（4）注意洛必达法则与其它极限运算法则结合起来使用
（5）其它能够化为型或型的未定式
①未定式型能够化为型或型
②未定式型可经过通分等恒等变换化为型或型
③未定式型能够利用先化为型，最终化为型或型
例题精讲
12、（　）
A． B. C. D.
13、（　）
A．-1 B. C. 1 D.
14、，则（　）
A． B. C. D.
15、如果都不存在，则（　）
A．一定存在 B. 一定不存在 C. 0 D. 不能确定
16、如果，则_________
17、_________
18、_________（历年真题）
19、_________（历年真题）

计算题：
20、 21、 22、
23、 24、 25、
26、 27、
28、 29、 39、
31、 32、
33、 34、 35、
36、 37、 38、
39、 40、 41、
42、 43、
44、 45、 46、
47、 48、 49、
50、 51、 52、
53、 54、
55、（历年真题） 56、 57、
58、 59、 60、
61、（历年真题） 62、 63、
64、 65、 66、
67、利用夹逼准则证明：。
68、利用夹逼准则求：。

第三节 函数的连续性
一、函数连续概念和间断点的分类
1、函数在点处连续：()
2、函数在点处连续的直观意义：当自变量的改变量很微小时，函数值的改变量也很微小。
3、函数在点处连续必须同时满足三个条件（判断连续方法1）：
（1）函数在点（的某一邻域内）有定义；
（2）存在；
（3）。
如果上述条件有一个不满足，则函数在点处间断，点称为函数的间断点。
4、左、右连续
（1）在点处左连续 ：
（2）在点处右连续 ：
在点处连续在点处既左连续也右连续。（判断连续方法2）
5、间断点的分类：设点为函数的间断点，
（1）第一类间断点： 都存在，
①可去间断点：
② 跳跃间断点：
（2）第二类间断点：不存在。
特别的，当 ，则点称为无穷间断点
（3） 初等函数的间断点往往是无定义的点
（4） 分段函数的间断点往往是分段点，这些分段点是否为间断点要从连续性的三个条件判断。（常考题型）
（5） 间断点的分类关键在于正确计算函数的左右极限
二、连续函数的运算法则和初等函数的连续性。
1、连续函数的四则运算法则
2、复合函数的连续性
设点为的间断点，存在，且在点处连续，则

3、反函数的连续性
4、初等函数的连续性
（1）一切初等函数在其定义区间内都是连续的。即如果初等函数在点有定义，一定有
（2）求初等函数的连续区间就等同于求其定义区间。
三、闭区间上连续函数的性质。
1、最大值最小值定理：如果函数在上连续，则在上一定有最大值和最小值。
2、介值定理：如果函数在上连续，且其最大值和最小值分别为和，则对于在和之间的任意常数（）,则至少存在一点，使得 。
3、零点定理：如果函数在上连续，且，则至少存在一点，使得。
4、利用零点定理证明方程根的存在性的步骤：
（1）构造一个函数，说明在上连续；
（2）计算和，说明；
（3）由以上条件根据零点定理可得结论。

例题精讲
1、函数，自变量有增量时，函数相应的增量=（　）
A.　 B. C. 　 D.
2、函数在点处有定义是在点处连续的（　）
A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件
3、函数的连续区间是（　）
A. B. C. D.
4、设，则是的（　）
A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.无穷间断点
5、设函数，则是（ ）（历年真题）
A．可去间断点 B. 跳跃间断点 C.无穷间断点 D.连续点
6、函数的连续区间是_________。
7、如果函数 在点处连续，则_________。
8、设函数 是上的连续函数，则_________。
9、函数在点处为第_________类间断点。
10、研究下列函数的连续性，如果有间断点，指出其间断点的类型
（1） （2）
（3） （4）
11、确定的值，使得函数 在处连续。
12、确定的值，使得函数 在处连续。
13、设分段函数
（1）取什么值时，是的连续点；
（2）取什么值时，是的间断点；
（3）当时，求函数的连续区间。
14、=_________。
15、证明：方程至少有一个根介于1和2之间。
16、证明：方程至少有一个小于1的正根。
17、设函数在上连续，而且，证明至少存在一点，使得。
18、设函数和在上连续，且，试证：在内至少存在一点，使得。
19、设函数在内连续，且，则在上必有一点，使得

第九章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
一、 常数项级数的概念
1、

称为级数的通项，称为级数的前n项(部分)和
2、如果，则称级数收敛于S；
如果不存在，则称级数发散。
3、由级数定义得出判定敛散性的步骤：（该方法仅适用于易求的级数）
（1）先求；（2）再求
二、常见级数公式
1、发散。
2、记忆几何级数
三、级数的基本性质
1、如果和分别收敛于s和w,则级数也收敛，收敛于
如果收敛，发散，则级数一定发散
如果和均发散，则级数敛散性不确定
2、和敛散性相同。
3、去掉、添加或者改变级数的有限项后得到的新级数与原来的级数敛散性相同。
4、如果收敛，则
逆否命题：如果，则发散。

第二节 常数项级数的概念和性质
一、正项级数的审敛法（正项级数满足）
（一）比较审敛法
1、 设正项级数和满足:
（1）如果收敛，则也收敛；（2）如果发散，则也发散。
2、大的收敛则小的收敛，。
3、使用比较审敛法判断级数敛散性的方法
（1）预判：观察，根据记忆的级数公式预判其敛散性；
（2）如果预判收敛，则，且收敛，根据大的收敛则小的收敛。
如果预判发散，则，且发散，根据小的发散则大的发散。
4、记忆常见级数公式：P-级数
5、比较审敛法的极限形式：设正项级数和，令
则当时，和同时收敛或者同时发散。
例题精讲
1、判定下列级数的敛散性
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
（9）

（二）比值审敛法
1、设正项级数，令，则
（1）当时，收敛；（2）当或时，发散；
（3）当时，级数敛散性无法确定。
2、当级数的通项中一般含有之类的表示式时，一般用比值判别法判定敛散性；当级数的通项形如P-级数时，用比值判别法往往会得出，无法判定。
例题精讲
2、判定下列级数的敛散性
（1） （2） （3） （4）

二、交错级数的审敛法
1、交错级数形如：或者
2、莱布尼兹判别法
如果交错级数满足：（1） （2）
则级数收敛，且其和。
例题精讲
3、判定敛散性

三、 任意项级数的审敛法
1、任意项级数中的为任意实数。
2、判定定理1：如果级数收敛，则级数也收敛。
3、对于任意项级数，有
（1）如果级数收敛，则级数也收敛，此时称绝对收敛。
（2）如果级数发散，而级数收敛，此时称条件收敛。
4、判定定理2:设任意项级数，令，则
（1）当时，绝对收敛；（2）当或时， 发散。
从以上定理可知：对于任意项级数，如果用比值判别法判定发散，则一定发散。
5、任意项级数的判定步骤。
例题精讲
4、判定下列级数的敛散性，如果收敛是绝对收敛还是条件收敛？
（1） （2） （2）
（4） （5）
5、P251历年真题

第三节 幂级数的收敛半径和收敛域
一、 函数项级数的概念
1、 （1）
任取带入（1），得到一个常数项级数：
（2）
① 如果收敛，则成为的收敛点，所有收敛点的集合成为的收敛域；
② 如果发散，则成为的发散点，所有发散点的集合成为的发散域；
③ 显然，收敛域U发散域=
2、举例 ：几何级数是定义在上的函数项级数，当
收敛，当时发散。那么的收敛域就是，在内，，称为和函数。
二、 幂级数
（一）幂级数的概念
1、或者称为关于的幂级数，事实上，

2、或者称为关于的幂级数，事实上，
（二）幂级数的收敛域和收敛半径
1、分析：对于幂级数，用比值审敛法讨论的敛散性，使得收敛的的取值区间就是的收敛区间，也就是的收敛区间。
（1）当时，，因此是的收敛点；
（2）当时，令，由比值审敛法
①如果，无论取何值都有，则收敛，此时的收敛域为
②如果，无论取何值都有，则收敛，此时的收敛
域仅为。
③如果，收敛必须有，即，得，此时的收敛开区间为。而时的敛散性须单独讨论，从而确定收敛域的开闭。
由以上分析可知，幂级数的收敛域是一个以原点为中心，从到的区间。定义，称为幂级数的收敛半径。
2、求幂级数的收敛半径和收敛域的方法：
（1）计算
（2）①当时，，收敛域为
②当时，，收敛域为。
③当时，，此时的收敛开区间为。而时的敛散性须单独讨论，从而确定收敛域的开闭。
例题精讲
1、求幂级数的收敛半径和收敛域
2、求幂级数的收敛半径和收敛域
3、P256历年真题
第二章 导数与微分

第一节 导数的概念
一、导数的概念
1、函数在点的导数： = ①
（1）表示函数相对于自变量在上的平均变化率，
导数=表示函数在点处的瞬时变化率。
（2）还可记作：，，
（3）导数定义的不同形式： ①
② ③=
（4）函数在点的左、右导数：
左导数： =
右导数： =
①函数在点可导左导数和右导数都存在且相等。
②左、右导数主要用于计算分段函数分界点的导数。
2、设函数在内可导，则函数在内的导（函）数：
= ②
（1）在内的导数可记作：，，，
（2）在点的导数就是它的导函数在点处的函数值：

（3）利用②式能够求一些简单函数的导数。
二、导数的几何意义
1、导数的几何意义：在点的导数在几何上表示曲线在点
处切线的斜率： ；
2、曲线在点处的切线方程：
曲线在点处的法线方程：
3、特别的，①如果在点的导数，那么曲线在点处的切线方程为，曲线在点处的法线方程为。
②如果在点的导数，那么曲线在点处的切线方程为，曲线在点处的法线方程为。
三、函数的可导性和连续性之间的关系。
1、如果在点处可导，那么在点处连续。
反之，如果在点处连续，在点处却不一定可导。
2、在点处可导在点处连续存在
例题精讲
一、选择题
1、函数 在点处（　）．
A．无定义 B. 不连续 C. 可导 D. 连续但不可导
2、函数在点处的导数为（　）．
A．1 B. 0 C. -1 D.不存在

3、如果在点处可导，且曲线在点处的切线方程平行于轴，则（　）．
A．等于0 B. 小于0 C. 大于0 D. 不存在
4、函数 在点处（　）．
A．无定义 B. 不连续 C. 可导 D. 连续但不可导
5、在点处可导是在点处连续的（ ）
A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 无关条件
6、P52历年真题
二、填空题
7、设函数在点处可导，则
8、设函数 ，则，。
9、设函数 ，则。
10、设曲线在点处的切线斜率为3，则点的坐标为
（历年真题）。
11、曲线和曲线在点处相切，则常数
12、设，则
三、解答题
13、利用导数的定义求下列函数的导数：
（1） （2）
14、设函数在点处可导，且，试求下列极限的值：
（1） （2）
15、已知：当时，是的高阶无穷小量，试求。
16、设，且，试求
17、设在点处可导，试证明：
（1）
（2）
18、设在处可导，试求：
19、求分段函数的导数。
20、设函数 在点处可导，求。
21、设函数
（1）为使函数在点处可导，应取何值？
（2）写出函数在点处的切线方程和法线方程。
22、在抛物线上取横坐标为的两点，作过这两点的割线，问过抛物线上哪一点的切线平行于这条割线，写出这条切线的方程。
23、设，已知曲线和曲线在点处相切，试求常数与点的坐标。
24、证明：双曲线上任一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积都等于。
25、设满足：，且，求。

第二、三、四节 导数的运算法则
一、基本初等函数的求导公式（16个）
二、导数的四则运算法则
1、函数和、差、积的求导法则都可推广到有限个函数的情形。
2、求或的导数，可先将原式化为几个函数的和，再利用函数和、差的求导法则求导。
三、复合函数的求导法则
熟练运用复合函数的求导法则求导数，关键在于熟练掌握复合函数的分解。
四、隐函数求导法和由参数方程所确定的函数求导法，掌握对数求导法。
1、隐函数求导法：求由二元方程确定的函数的导数，首先在方程两边对求导，遇到时将其作为中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含有的等式，解出即可。
2、由参数方程确定的函数的导数。
五、对数求导法：
1、对数求导法就是在的两边同时取对数，然后用隐函数求导法求导的方法。主要解决:①幂指函数（形如的函数）；②一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数（例如：）的求导问题。
2、幂指函数的求导，也能够先将函数变形为，再利用复合函数求导法则求出其导数。
四、高阶导数
1、高阶导数的概念：二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数。
2、若函数的阶导数存在，则称函数阶可导，此时意味着都存在。
3、高阶导数的记号
一阶导数：，，，
二阶导数：，，，
三阶导数：，，，
阶导数（当时）：，，，
4、求阶导数的方法：先求出、、、，根据前面几阶导数的表示式归纳出。

例题精讲
一、填空题
1、设则（历年真题）
2、设则（历年真题）
3、设是由方程确定的隐函数，则（历年真题）
4、设则
5、设方程确定了是的隐函数，则
6、设方程确定了是的隐函数，则
7、设，则
二、解答题
8、求下列函数的导数
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8）
9、求下列函数的n阶导数
（1） （2） （3）
10、求下列隐函数的导数
（1） （2） （3）
11、设可导，试求：和
12、设，求
13、设，试求则
14、求曲线上的点处的切线方程和法线方程。
15、设可导，且，又，求

第五节 微分
一、理解微分的概念
1、微分的实际意义：设函数，当自变量从变化到时，相应的函数的增量。在点处的微分描述的是：当很小时（），近似改变了多少，即：
（）
2、设函数在内可微，则的微分为 ；
因为，因此有，，。
3、在点处可微在点处可导。
二、微分的运算法则
1、微分的基本运算式：设函数，则，。
2、基本初等函数的微分公式（16个）和微分的四则运算法则
注：要注意基本公式和四则运算法则的逆运算（右边=左边）
3、复合函数的微分法则：
设，，则复合函数的微分为，
注：一阶微分形式的不变性：
由于 ，，因此
由此可见，无论是自变量还是另一变量的可微函数，微分形式始终保持不变。
三、微分在近似计算中的应用。
1、如果在点处可微，那么
（1）求函数改变了多少： (很小)
（2）求函数改变到多少： (很小)
2、如果在点处可微，那么 (很小)
当很小时, ，，， ， （这几个公式类似于等价无穷小）

例题精讲
一、填空题
1、设则
2、设则
3、设，可微，则（历年真题）
4、设当，时，则，
5、
6、

二、解答题
7、设是由方程确定的隐函数，求。
8、设，求。

第三章 导数的应用

第一节 微分中值定理和洛必达法则

一、Rolle定理和Lagrange 中值定理
1、两个定理的内容（条件+结论）须记忆，同时了解两个定理的几何意义。
2、Rolle定理的应用
（1）证明方程根的存在性：Rolle定理的结论为：函数在内至少存在一个，使得。也就是说方程在内至少存在一个根。
（2）证明等式：根据待证等式构造辅助函数，确定一个闭区间，验证在闭区间上满足Rolle定理的三个条件，从而根据定理结论得证。
（3）构造辅助函数的方法（从欲证问题的结论入手，逆向分析）：
①经过移项使得待证等式右边为0，等式左边即为
②经过移项使得待证等式右边为0，等式左边为或者的一部分，再由推断出的表示式。
3、Lagrange定理的应用：证明等式或者不等式
（1）证明关键：选准满足定理条件的和所讨论的区间。
（2）证明（不）等式，可先分析待证（不）等式：使得待证（不）等式一边转化为，另一边转化为
二、洛比达法则（见第一章第二节）

例题精讲
1、例1、例3
2、例题2、例题3
3、历年例题2
4、设函数和在上连续，在内可导，且，。试证：至少存在一点，使得。
5、设常数满足式子：。
求证：方程在内至少有一个实根。
6、设函数在上连续，在内可导，试证：至少存在一点，使得。
7、求证：当时，
8、求证：
9、求证：当时，
10、证明：二次函数在区间上应用拉格朗日中值定理时，所求的点总是区间的中点，即。
11、设函数与在内可导，并对任何恒有，且。证明：（1）当时，；（2）当时，。

第二节 导数在研究函数上的应用
一、函数单调性和极值
1、函数单调性的判定方法
2、几个点
（1）驻点：使的的值称为函数的驻点。
（2）不可导点：不存在的的值称为函数的不可导点。。
（3）极值点：设点是函数的极值点，则有或者不存在。
3、极值和最值的区别：①局部和整体；②个数；③大小关系。
4、求函数极值和第一充分条件和第二充分条件。
5、求函数的单调区间和极值的一般步骤：
①求出函数的定义区间。
②求出，进而求出函数在定义区间内全部驻点和不可导点。
③全部驻点和不可导点将定义区间分成若干子区间。经过列表分析，利用函数单调性判别法判定每个子区间的单调性，利用极值的第一充分条件判定每个驻点和不可导点是否为极值点，如果是极值点，求出极值（极值点的函数值）。
④如果利用极值的第二充分条件求函数极值，请注意该方法的局限性：只适用于二阶导数存在的驻点，不适用于不可导点。
6、利用函数的单调性证明不等式

二、函数的最值
1、求函数在上的最值的方法
（1）连续函数在上一定有最大值和最小值，且最值只能在内的驻点和不可导点或区间端点处达到，因此只须求出这些点的函数值比较大小，即可求出最值。
（2）如果连续函数在上单调增加（减少），则最值必在区间端点处达到。
（3）如果连续函数在区间上有唯一驻点或不可导点，则当是的极大（小）值时，也是在区间上的最大（小）值。
2、简单应用题的最值问题
由实际问题本身的性质能够断定目标函数确有最大（小）值，且一定在区间内部达到，又在区间内部目标函数仅有一个驻点，则在处目标函数一定取最大（小）值。

三、曲线的凹凸性和拐点
1、曲线凹凸性和拐点的定义。
拐点：连续曲线上凹弧和凸弧的分界点，拐点须用坐标表示。
2、求曲线的凹凸区间和拐点的一般步骤：
①求出函数的定义区间
②求出，进而求出函数在定义区间内全部和不存在的。
③全部和不存在的将定义区间分成若干子区间。经过列表分析，利用曲线凹凸性判别法判定每个子区间的凹凸性，求出拐点。

四、曲线的渐近线
1、曲线的水平渐近线
设曲线，如果或或，则称直线是曲线的水平渐近线。
2、曲线的铅直渐近线
设曲线在点间断，如果或或，则称直线是曲线的铅直渐近线。

例题精讲
一、 填空题
1、函数在取得最小值，在取得最大值。
2、曲线在处有拐点，则应满足关系。
二、解答题
1、当时，
2、证明：如果，则函数没有极值。
3、设满足，求的极值。
4、设曲线以为拐点，求常数和的值。
5、求函数的单调区间和极值。
6、设函数在点处可导，且有极小值，求曲线上点处的切线方程。
7、过平面上定点引一条直线，使它在两个坐标轴上的截距都是正的，且两个截距的和最小，求此直线的方程。
8、已知曲线上点处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求常数的值，并写出曲线的方程。
9、曲线在处取极值，是拐点，求
10、造一个长方体无盖的蓄水池，其容积为500立方米，底面为正方形，设底面与四壁所使用材料的单位造价相同，问底边和高各为多少米时，才能使所使用材料最省。

第六章 多元函数微分学

第一节 多元函数的基本概念

一、 二元函数的定义
1、，
其中称为自变量，称为因变量，点集D称为定义域
2、二元函数的几何意义
（1） 的图像是空间直角坐标系内的一张曲面，其定义域D几何上是曲面在平面上的投影区域。
（2）设点，和点对应的函数值为，于是在空间直角坐标系内确定了一个点。当点定义域D内变动时，对应点的全体就形成了一个曲面，这个曲面就是二元函数的图像。
3、二元函数的定义域的求法与一元函数类似，其结果须用集合表示。
4、类似定义三元函数、四元函数等等。
二、二元函数的极限和连续（略）

例题精讲

第二节 偏导数和全微分
一、 偏导数的概念和求法
1、概念
（1）定义：偏导函数简称偏导数。
（2）记号：设二元函数，则
正确偏导数记作：，，，
正确偏导数记作：，，，
（3）求偏导数的方法：二元函数求偏导数，只需在求正确偏导数时，将看做常量；求正确偏导数时，将看做常量。

二、 高阶偏导数
1、二阶偏导数：设二元函数在定义域D具有偏导数和，那么她们依然是二元函数，如何她们的偏导数存在，就称其为的二阶偏导数。二阶偏导数共有4个。分别记为：
= ， =
= ， =
其中和称为二阶混合偏导数，且一般有。
2、类似能够定义三阶、四阶……n阶偏导数，二阶和二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。三阶偏导数有8个，四阶偏导数有16个……

三、 全微分
1、设二元函数在点处可微，则在点处偏导数存在，且函数的全微分为。
2、当题目条件中给出和的值时，函数的全微分为。
3、设三元函数在点处可微，则函数的全微分为

例题精讲
解答题
1、例4和历年真题
2、历年真题
3、 5、6（2）
4、设，求：，和
5、设，求：，和
6、设，求的所有二阶偏导数和
7、设，求证：
10、设，求证：

第三节 复合函数的微分法（略）

第四章 不定积分
第一、二节 不定积分的概念和性质
1、原函数和不定积分的概念
（1）
（2）的全体原函数就是的不定积分，这些原函数之间仅差一个常数。
2、不定积分的性质
（1）
（2） （为非零常数）
（3） 微分运算与不定积分运算是互逆的。
① 或
② 或

例题精讲
一、选择题
1、若都是函数的原函数，则必有