实变函数集合标准答案样本.doc

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第一章 集合

一、 內容小结

1. 这一章学习了集合的概念、 表示方法、 集合的运算( 并、 交、 差、 补) ; 引入了集合列的上、 下极限和极限的运算; 对集合运算规则作了仔细的讨论, 特别是德摩根公式。
2. 引入了集合对等的概念, 证明了判别两个集合对等的有力工具——伯恩斯坦定理。
3. 引入了集合基数的概念, 深入地研究了可数基数和连续基数。
二、 学习要点

1. 准确熟练地掌握集合的运算法则, 特别要注意集合运算既有和代数运算在形式上一许多类似的公式, 但也有许多本质。可是千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。例如: (a+b)-a=b,可是(A+B)-B=A却不一定成立。条件为A,B不交。
2. 可数集合是所有无限集中最小的无限集。若可数A去掉可数B后若还无限则C必可数。
3. 存在不可数集。无最大基数集。
以下介绍学习中应掌握的方法
4. 肯定方面与否定方面。
5. 集合列的上、 下限集是用集合运算来解决分析问题的基础, 应很好地掌握。其中用交并表示很重要。对第四章的学习特别重要。
6. 基数部分重点: 集合对等、 构造集合的一一对应; 利用对等的传递性( 伯恩斯坦定理) 来进行相应的证明。
7. 集合可数性的证明方法很重要: 可排列、 与已知可数集对等、 利用集合的运算得到可数、 第四节定理6.
8. 证明集合基数为C中常见到已知的基数为C的集合。

三、 习题解答

1. 证明:
证明 ,得
若且, 得因此

设当然有, 若由且, 可知且, 因此同样有因此,
因此

2. 证明
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
证明 ⑴

=

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

3. 证明: ;
证明:

4.证明:
证明 设, 则, 但, 因此对任意, , 因此, 因而

设则任意, , 即, , 因此则, 但, 得, 因此

5.证明:
⑴;
⑵.
证明 ⑴
⑵ .

6.设是一列集合, 作,。证明是一列互不相交的集, 而且
证明 若, 不妨设, 显然

设, 若, 则, 若, 令是最小的自然数使, 即而, 这样,因此证毕。

7.设, 求出集列的上限集和下限集。
解 ;
设, 则存在N, 使时, 因此时, , 即, 因此属于下标比N 大的一切偶数指标集, 从而属于无限多, 得, 又显然, 因此。
若有, 则存在N, 使对任意, 有, 因此若时, , 即, 令, 得, 此不可能, 因此。

8. 证明
证明 设则存在N, 使对任意, 有, 因此, 因此; 设, 则有, 使, 即对任意, 有, 因此, 因此。

9. 作出一个( -1, 1) 和的1—1对应, 并写出这一一对应的解析表示式
解 , 对任意,

10. 证明: 将球面去掉一点以后, 余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的.
证明 只要证明球面S: 去掉点后与平面M对等即可.
此可由球极投影来做到; 对任意,
,
易验证是1—1的, 映上的, 因此S与M是对等的, 证毕。

11. 证明: 由直线上某些互不相交的开区间所谓集A的元素, 则A至多为可数集.
证明 设, 在每一中任取一点有理数使与对应.因为是互不相交的, 因此这个对应是1—1的, 而G与有理数的子集对等, 因此G至多可数。

12. 证明: 所有系数为有理数的多项式组成一可数集.
证明 : 次有理系数多项式全体所成的集合
: 所有系数为有理数的多项式全体所成的集合
由+1个独立记号所决定, ( 系数) , 每个记号( 首位不取0) 可独立跑遍全体有理数( 可数个)
因此由§4定理6, , 又由§4定理6, .

13. 设A是平面上以有理点( 即坐标都是有理数) 为中心, 有理数为半径的圆的全体, 则A是可数集.
证明 任意A中的圆, 由三个独立记号所决定; , 其中是圆心的坐标, 是圆半径, 各自跑遍有理数, 跑遍大于0的有理数, 因而都是可数集.因此.

14. 证明: 增函数的不连续点最多只有可数多个.
证明 设是上的增函数, 记不连续点全体为E, 由数学分析知:
⑴ 任意, 及都存在。
⑵ 的充分必要条件为
⑶ 任意, 若, 则 因此每一, 对应于直线上的开区间, 且由( 3) 可知E中点对应的这样的开区间是互不相交的, 由11题知至多可数。

15. 试找出使( 0, 1) 和之间1—1对应的一种方法.
解 记( 0, 1) 中有理数全体
令
显然是( 0, 1) 和之间的1—1映射。

16. 设A是一可数集合, 则A的所有 有限子集所成的集合亦必可数.
证明 设, A的有限子集的全体为,, 的子集全体为, 易计算中共有个元素, 而, 因此至多为可数的.又A中一个元素组成的集合是可数的, 因而是可数的.

17. 证明: 上的全体无理数做成的集合其基数为C.
证明 记上的无理数全体为A, 上的有理数全体为, 显然

令 ,
,
,
则是A到的1—1对应, 由的基数为C, 可知A的基数也是C。

18. 若集A中每个元素, 由互相独立的可数个指标决定, 即, 而每个取遍一个基数为C的集,
则A的基数也是C。
证明 设, , , 因而有到实数集R的1—1映射.令是A到的 一映射, 对任意。, 下面证明是1—1映射.
若, 则对任意, , 由于是一对一的, 因此, 因此, 对任意, 因为是映上的, 必有, 使, 因此有, 使, 即是1—1映射.因此A与的基数相同, 等于C。

19. 若的基数为C, 证明: 存在使的基数也是C.
证明 由于, 我们不妨设, 用反证法, 若, , 设为到R中如下定义的映射: 若则, 令
,

则, , 因此对每个, 存在, 于是.下证.事实上, 若, 则存在使, 于是, 这与矛盾, 因此, 这又与矛盾, 因此至少存在某个使的基数也是C.

20. 记每项取值为0或1的数列全体所成的集合为T, 求证T的基数为C.
证明 设
作T到的映射, 则是T到的子集的1—1映射, 因此反之, 区间与2进位无穷小数正规表示1—1对应, 因此每个都可唯一的写成, 其中每个, 令, 则是到T的子集上的1—1映射, 因而.综上所述得。