运筹学中的运输问题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,运输问题和指派问题,The Transportation,and Assignment Problems,1,本章内容要点,运输问题,的基本概念及其各,种变形的建模与应用,指派问题,的基本概念及其各,种变形的建模与应用,2,本章节内容,1 运输问题基本概念,2 运输问题数学模型和电子表格模型,3 各种变形的运输问题建模,4 运输问题应用举例,5 指派问题,6 各种变形的指派问题建模,3,产大于销（总产量大于总销量）,运输问题 数学模型和电子表格模型,各种变形的建模,应用举例,指派问题 数学模型和电子表格模型,本章主要内容框架图,产销平衡（总产量等于总销量）,销大于产（总产量小于总销量）,运输问题和指派问题,平衡指派问题（总人数等于总任务数）,各种变形的建模,4,1 运输问题,运输问题最初起源于人们在日常生活中把某,些物品或人们自身从一些地方转移到另一些,地方，要求所采用的,运输路线,或,运输方案是,最经济或成本最低,的，这就成为了一个运筹,学问题。,随着经济的不断发展，现代,物流业,蓬勃发展，,如何充分利用时间、信息、仓储、配送和联,运体系创造更多的价值，向运筹学提出了更,高的挑战。,要求科学地组织货源、运输和配送使得运输,问题变得日益复杂，但是其基本思想仍然是,实现现有资源的最优化配置,。5,1 运输问题基本概念,一般的运输问题就是解决如何把某种产品从若干个,产地,调运到若干个,销地,，在每个产地的,供应量,和每个销地的,需求量,已知，并知道各地之间的,运输单价,的前提下，如,何确定一个使得总的运输费用最小的方案。,平衡运输问题,的条件：,1.明确出发地（产地）、目的地（销地）、供应量（产量）、需求,量（销量）和单位成本。,2.需求假设：每一个出发地都有一个,固定的供应量,，所有的供应量,都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有一个固定的,需求量，整个需求量都必须由出发地满足。即“,总供应总需,求”。,3.成本假设：从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本,与所配送的数量成线性比例关系，因此成本就等于配送的单位成,本乘以所配送的数量（目标函数是线性的）。,6,1 运输问题基本概念,例1,某公司有三个加工厂A1、A2、A3生产某产品，每日,的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别,运往四个销售点B1、B2、B3、B4，各销售点每日销量分,别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单,位产品运价如表1所示。问该公司应如何调运这些产品，,在满足各销售点的需要量的前提下，,使总运费最少,？,表1 各工厂到各销售点的单位产品运价（元/吨）,B1,B2,B3,B4,产量（吨）,7,4,9,A1,A2,A3,销量（吨）,3,1,7,3,11,9,4,6,3,2,10,5,10,8,5,6,7,对于例1，其数学模型如下：,首先，三个产地A1、A2、A3的总产量为74920；四个,销地B1、B2、B3、B4的总销量为365620。由于总产,量等于总销量，故该问题是一个产销平衡的运输问题。,(1)决策变量,设,x,ij,为从产地Ai运往销地Bj的运输量,(i1,2,3;j=1,2,3,4),（2）目标函数,本问题的目标是使得总运输费最小,Min z,=,3,x,11,+,11,x,12,+,3,x,13,+,10,x,14,+,x,21,+,9,x,22,+,2,x,23,+,8,x,24,+,7,x,31,+,4,x,32,+,10,x,33,+,5,x,34,8,（3）约束条件,满足产地产量,（3个产地的产,品都要全部配,送出去）,满足销地销量,（4个销地的产,品都要全部得,到满足）,非负,9,2 运输问题数学模型和电子表格模型,运输问题是一种特殊的线性规划问题，一般采用“,表上作业,法,”求解运输问题，但Excel的“规划求解”工具还是采用,“,单纯形法,”来求解。,例1的电子表格模型,10,2 运输问题数学模型和电子表格模型,（1）,产销平衡,运输问题的数学模型,具有,m,个产地A,i,（,i,1,2,m,）和,n,个销地,B,j,（,j,1,2,n,）的运输问题的数学模型为,11,2 运输问题数学模型和电子表格模型,需要注意的是：运输问题有这样一个性,质（,整数解性质,），只要它的,供应量,和,需求量,都是,整数,，任何有可行解的运输,问题必然有所有决策变量都是,整数的最,优解,。因此，没有必要加上所有变量都,是整数的约束条件。,由于运输量经常以卡车、集装箱等为单,位，如果卡车不能装满的话，就很不经,济了。整数解性质就避免了运输量（运,输方案）为小数的麻烦。,12,13,（,以满足小的产量为准,）,i j,=,（3）,销大于产（供不应求）,运输问题,14,2 运输问题数学模型和电子表格模型,例2,某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供,10，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各,季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示。,如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压,一个季度需储存、维护等费用1500元。要求在完成,合同的情况下，做出使该厂,全年生产（包括储存、,维护）费用最小,的决策,。,各季度的生产能力及生产每台柴,油机的成本,季度,生 产 能 力（台）单位成本（万元）,1,2,3,4,25,35,30,10,10.8,11.1,11.0,11.3,15,2 运输问题数学模型和电子表格模型,解：,这是一个,生产与储存（库存）问题,，可以转化为,运输问题,来做。,由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货，,所以设,x,ij,为第,i,季度生产的第,j,季度交货的柴油机数,。,则第,i,季度生产的第,j,季度交货的每台柴油,机的实际成,本,c,ij,为：,c,ij,=第,i,季度每台的生产成本+0.15(,j-i,)（储存、维护等费用）,把第,i,季度生产的柴油机数看作第,i,个生产厂商的产,量；把第,j,季度交货的柴油机数看作第,j,个销售点的销,量；生产成本加储存、维护等费用看作运,费。将生产,与储存问题转化为运输问题，相关数据见表。,16,2 运输问题数学模型和电子表格模型,柴油机生产的相关数据,由表可知，总产量（生产能力）为,25+35+30+10=100，总销量（需求量）为,10+15+25+20=70，因此是,产大于销,的运输问题。,1,2,3,4,生产能力,10.8,10.95,11.10,1,2,3,11.10,11.25,11.00,11.25,11.40,11.15,25,35,30,4,11.30,10,需求量,10,15,25,20,17,该生产与,储存问题,（转化为,产大于销,的运输问,题）的数,学模型为,2 运输问题数学模型和电子表格模型,Min z,=,10.80,x,11,+,10.95,x,12,+,11.10,x,13,+,11.25,x,14,+,11.10,x,22,+,11.25,x,23,+,11.40,x,24,+,11.00,x,33,+,11.15,x,34,+,11.30,x,44,18,2 运输问题数学模型和电子表格模型,例2的电子表格模型,19,2 运输问题数学模型和电子表格模型,例3,某公司从两个产地A1、A2将物品运往三,个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地,的销量和各产地运往各销地每件物品的运费,如表所示。问应如何调运，可使得总运输费,最小？,例3 运输费用表,B1,B2,B3,产量,A1,A2,销量,13,11,53,15,29,36,12,22,65,78,45,（销大于产）,20,2 运输问题数学模型和电子表格模型,解：,由表知，总产量为78+45=123，总销量为,53+36+65=154，,销大于产(供不应求),。数学模型如下：,设,x,ij,为产地Ai运往销地Bj的物品数量,21,2 运输问题数学模型和电子表格模型,例3的电子表格模型,22,3 各种变形的运输问题建模,现实生活中符合产销平衡运输问题每一个条件的情况很少。一,个特征近似但其中的一个或者几个特征却并不符合产销平衡运,输问题条件的运输问题却经常出现。,下面是要讨论的一些特征：,（1）,总供应大于总需求,。每一个供应量（产量）代表了从其出,发地中配送出去的最大数量（而不是一个固定的数值,）。,（2）,总供应小于总需求,。每一个需求量（销量）代表了在其目,的地中所接收到的最大数量（而不是一个固定的数值,）。,（3）一个目的地,同时存在着最小需求和最大需求,，于是所有在,这两个数值之间的数量,都是可以接收的（,）。,（4）在配送中,不能使用,特定的出发地,目的地组合（,x,ij,=0,）。,（5）目标是使与配送数量有关的,总利润最大,而不是使总成本最,小。（Min,Max,）,23,3 各种变形的运输问题建模,例4,某公司决定使用三个有生产余力的工厂进行四种新产品的生产。每,单位产品需要等量的工作，所以工厂的有效生产能力以每天生产的任意,种产品的数量来衡量（见表的最右列）。而每种产品每天有一定的需求,量（见表的最后一行）。每家工厂都可以制造这些产品，除了工厂2不,能生产产品3以外。然而，每种产品在不同工厂中的单位成本是有差异,的（如表所示）。,现在需要决定的是在哪个工厂生产哪种产品可使总成本最小。,表 产品生产的有关数据,单位成本（元）,生产能力,产品,1,产品,2,产品,3,产品,4,75,75,45,工厂,1,工厂,2,工厂,3,需求量,41,40,37,20,27,29,30,30,28,27,30,24,23,21,40,24,解：,指定工厂生产产品,可以看作运输问题来求,解。本题中，工厂2不能,生产产品3，这样可以,增,加约束条件,；并且，总,供应,x,23,0,（75+75+45=195）总需,求（20+30+30+40=120）。,其数学模型如下：,设,x,ij,为工厂,i,生产产品,j,的数量,3 各种变形的运输问题建模,25,3 各种变形的运输问题建模,例4的电子表格模型,产品4分在2个工厂生产,26,3 各种变形的运输问题建模,例5,某公司在3个工厂中专门生产一种产品。在未来的4个月中，有四个,处于国内不同区域的潜在顾客（批发商）很可能大量订购。顾客1是公司,最好的顾客，所以他的全部订购量都应该满足；顾客2和顾客3也是公司,很重要的顾客，所以营销经理认为作为最低限度至少要满足他们订单的,1/3；对于顾客4，销售经理认为并不需要进行特殊考虑。由于运输成本,上的差异，销售一个产品得到的净利润也不同，很大程度上取决于哪个,工厂供应哪个顾客（见表）。问,应向每一个顾客供应多少货物,，以使公,司总利润最大？,表4-8 工厂供应顾客的相关数据,产量单位利润（元）,顾客,1,顾客,2,顾客,3,顾客,4,8000,5000,7000,工厂,1,工厂,2,工厂,3,最小采购量,最大采购量,55,37,29,7000,7000,42,18,59,3000,9000,46,32,51,2000,6000,53,48,35,0,8000,27,3 各种变形的运输问题建模,解：,该问题要求满足不,同顾客的需求（采购,量），解决办法：,实际供给量,最小采购量,实际供给量,最大采购量,目标是利润最大，而,不是成本最小。,其数学模型如下：,设,x,ij,为,工厂,i,供应给,顾,客,j,的产品,数量,28,3 各种变形的运输问题建模,例5的电子表格模型29,4 运输问题应用举例,例6,某厂生产设备是以销定产的。已知16月份各月的生产能力、合,同销量和单台设备平均生产费用，如表所示。,已知上年末库存103台。如果当月生产出来的设备当月不交货，则,需要运到分厂库房，每台增加运输成本0.1万元，每台设备每月的平均,仓储费、维护费为0.2万元。78月份为销售淡季，全厂停产1个月，,因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台。加班生产设备每台增,加成本1万元。问应如何安排16月份的生产，使总的生产（包括运输、,仓储、维护）费用最少？,月份,1,月,2,月,3,月,4,月,5,月,6,月,正常生产能力,（台）,60,50,90,100,100,80加班生产能力,（台）,10,10,20,40,40,40,合同销量（台）,104,75,115,160,103,70,单台费用,（万元）,15,14,13.5,13,13,13.5,30,4 运输问题应用举例,例7,华中金刚石锯片厂有两条生产线，分别生产直,径900-1800mm大锯片基体20000片，直径350-800mm,中小锯片基体40000片。公司在全国有25个销售网,点，主要销售区域集中在福建、广东、广西、四川、,山东5个石材主产区。为完成总厂的要求，公司决,定一方面拿出10%的产量稳定与前期各个客户的联,系以保证将来的市场区域份额，另一方面，面临如,何将剩余的90%的产量合理分配给,五个石材主产区,和其他省区,，,以获取最大的利润。各个销售区的最,低需求、销售固定费用、每片平均运费、每片从总,厂库房的购进价与当地的销售价差贡献等自然情况,见表。问应如何分配给各个销售区，才能使得总利,润为最大？,31,4 运输问题应用举例,32,5 指派问题,在现实生活中，经常会遇到指派人员做某项工,作（任务）的情况。,指派问题,的许多应用是用,来帮助管理人员解决如何为一项即将开展的工,作指派人员的问题。其他的一些应用如为工作,指派机器、设备或工厂等。,指派问题也称,分配问题，,主要研究人和工作,（任务）间如何匹配，以使所有工作完成的效,率实现最优化。形式上，指派问题给定了一系,列所要完成的工作以及一系列完成工作的人员，,所需要解决的问题就是要确定出指派哪个人去,完成哪项工作。,33,5 指派问题,指派问题的假设：,（1）人的数量和工作的数量,相等,；,（2）每个人,只能完成一项,工作；,（3）每项工作,只能由一个人,来完成,；,（4）每个人和每项工作的组合都会有一,个相关的成本（,单位成本,）；,（5）目标是要确定如何指派才能使,总成,本最小,。,34,设决策变量,x,ij,为,第,i,个人,做,第,j,项工作,，,而已知,5 指派问题,目标函数系数,cij,为第,i,个人完成第,j,项工作所需,要的单位成本。,平衡指派问题的数学模型为,35,5 指派问题,需要说明的是：指派问题,实际上是一种,特殊的,运输问题,。,其中出发地是人，目的地是工作。只,不过,，,每一个出发地的,供应量都为1,（因为每个,人都要完成一项工作），每一个目的地的,需求量,都为1,（因为每项,工作都要完成）。由于运输问,题有,“,整数解性质,”,，因此，,没有必要,加上所有,决策变量都是,0-1变量,的约束。,指派问题是一种特殊的线性规划问题，有一种,快捷的求解方法：,匈牙利方法,（Hungarian,Method），但Excel的“规划求解”工具还是采,用“,单纯形法,”来求解。,36,5 指派问题,例8,某公司的营销经理将要主持召开一年一度的由,营销区域经理以及销售人员参加的销售协商会议。,为了更好地安排这次会议，他安排小张、小王、小,李、小刘等四个人，每个人负责完成下面的一项工,作：A、B、C和D。,由于每个人完成每项任务的时间和工资不同（如,表所示）。问如何指派，可使总成本最小。,人员,每小时工资,（元）,每一项工作所需要的时间（小时）,工作A 工作B 工作C 工作D,小张,小王,小李,小刘,35,47,39,32,41,45,56,51,27,32,36,25,40,51,43,46,14,12,13,15,37,5 指派问题,解,：,该问题是一个,典型的指派问题,。,单位成本,为每个人做每项工作的总,工资,目标,是要确定哪个人做哪一项工作，,使总成本最小,供应量为1,代,表每个人都只能完成一,项工作,需求量为1,代,表每项工作也只能有一,个人来完成,总人数（4人）和总任务数（4项）,相等,38,5 指派问题,数学模型：,设,x,ij,为指派人员,i,去做工作,j,（,i,，,j,1,2,3,4),39,5 指派问题,电子表格模型,40,6 各种变形的指派问题建模,经常会遇到指派问题的,变形,，之所以称它们为变形，,是因为它们都不满足平衡指派问题所有假设之中的一,个或者多个。一般考虑下面的一些特征：,（1）有些人,并不能,进行某项工作（相应的,x,ij,0）;,（2）虽然每个人完成一项任务，但是任务比人多(,人少事多,);,（3）虽然每一项任务只由一个人完成，但是人比任务多（,人,多事,少,）；,（4）某人可以同时被指派给多个任务（,一人可做几件事,）；,（5）某事可以由多人共同完成（,一事可由多人完成,）；,（6）目标是与指派有关的,总利润最大,而不是使总成本最小；,（7）实际需要完成任务数不超过总人数也不超过总任务数。,41,6 各种变形的指派问题建模,例9,题目见例4，即某公司需要安排三个工,厂来生产四种新产品，相关的数据在例4表4,中已经给出。在例4中，允许产品生产分解，,但这将产生与产品生产分解相关的隐性成本,（包括额外的设置、配送和管理成本等）。,因此，管理人员决定在,禁止产品生产分解,发,生的情况下对问题进行分析。,新问题描述为：已知如表所示的数据，,问如何把每一个工厂指派给至少一个新产品,（每一种产品只能在一个工厂生产），使总,成本达到最小？,42,6 各种变形的指派问题建模,解：,该问题可视为,指派工厂生产产品问,题,，,工厂可以看作指派问题中的人，产,品则可以看作需要完成的工作（任务）。,由于有四种产品和三个工厂，所以就有,两个工厂各只能生产一种新产品，第三,个工厂生产两种新产品。只有工厂1和工,厂2有生产两种产品的能力。,这里涉及如何把,运输问题,转换为,指派,问题,，关键所在是,数据转换,。,43,6 各种变形的指派问题建模,数据转换：,（1）,单位指派成本,:原来的单位成本转换成,整,批,成本（单位,成本需求量），即单位指派,成本为,每个工厂生产每种产品的成本,。,（2）,供应量和需求量的转换问题,：三个工厂生,产四种产品，但一种产品只能在一个工厂生产，,根据生产能力，工厂3只能生产一种产品（供,应量为1），而工厂1和工厂2可以生产2种产品,（供应量为2），而产品的需求量为1。还有,“总供应（2+2+1=5）总需求,（1+1+1+1=4）”,为人多事少的指派问题,。,44,6 各种变形的指派问题建模,数学模型：,设,x,ij,为指派工厂i生产产品j（i=1,2,3;j=1,2,3,4),45,6 各种变形的指派问题建模,电子表格模型,46,What You Should Know about t,he,Transportation and Assignment,Problems,How to formulate various types of,Transportation problems.,How to find solutions.,How to transform variables and functions,into the standard form.,47,