曲线积分和路径的无关市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,22.2 曲线积分和路径无关性,第1页,第1页,定理 若函数 在区域 上有连续偏导数，是单连通区域，那么下列四条互相等价：,（i）对任一所有含在 内闭路 ，,（ii）对任一所有含在 内曲线 ，曲线积分,与路径无关（只依赖曲线端点）；,（iii）微分式 在 内是某一个函数,全微分，即 ；,（iv）在 内处处成立。,证实,第2页,第2页,当曲线积分和路径无关时，即满足上面诸条件，如令点 固定而点 为区域 内任意一点，那么由积分所定义函数,在 内连续并且单值。这个函数 为,一个原函数，它和定积分中所述原函数相仿并有下列性质：,1 .这由刚刚证实即得。,2利用原函数 来计算曲线积分,这里 ，和,分别为 ，点坐标。是一个,第3页,第3页,记号，它等于 。,剩余来还要阐明如何求 原函数。设 和,满足定理条件 。因此必存在原函数,使 ，同时 曲线积分与路径无关。在区域 内固定一点 ，对 内任何点 ，沿两条直线 和 从点 到点 积分，得,其中 ，同样不难验证 也是,一个原函数。下列考虑非单连通区域情形，并引进一个主要概念：循环常数，在曲线积分与路径无关定理中，它理论是建立在两个假定之上,（i）所考虑区域 是单连通，即没有“洞”；（ii）函数 ，及其偏导数,第4页,第4页,在 内连续。假如这两个条件被破坏了，普通来说，上面那些断言将不会成立。,现在讨论区域内有一个奇点 情形。这时，假如闭路中包括一奇点，格林公式就不能应用。我们考虑两条闭路 ，都逆时针绕奇点 一圈，可用线段 将,和 联结起来，在 及 上沿逆时针方向积分，即得,因此,即围绕某一奇点任两条闭路沿同一方向积分相等。因此，对区域 中任何闭路 ，它或者不绕过奇点 ，或者绕过 周，这时积分值就是,第5页,第5页,倍。只围绕奇点 一周闭路上积分值叫做区域,循环常数，,记为,，,于是，对 内任一闭路 ，,这里 为沿闭路 按逆时针方向绕 圈数。比如当,时,假如它按逆时针方向绕 圈数为 ，按顺时,第6页,第6页,针方向绕 圈数为 ，那么 。,假如 内有 个奇点 ，在,周围作一环路使它不包括其它奇点，则沿闭路积分 就是一个循环常数。区域 共有 个循环常数,，若 为任意含在 内闭路，它围绕点 周数为 ，这里 算法和上述,相同，则,所有沿 内任意闭路积分都有这样形式。,例 计算,第7页,第7页,