平面向量的数量积习题.doc

平面向量的数量积(20131119)作业

姓名 成绩
A组　专项基础训练
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． (2012·辽宁)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于 (　　)
A．－1 B．－ C. D．1
2． (2012·重庆)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于(　　)
A. B. C．2 D．10
3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(　　)
A. B. C. D.
4． 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于 (　　)
A．－ B．－ C. D.
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
7． 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．
三、解答题(共22分)
8． (10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n) (n>1)，a与b的夹角是45°.
(1)求b；
(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.

9． (12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

B组　专项能力提升
一、选择题(每小题5分，共15分)
1．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC等于 (　　)
A. B. C．2 D.
2． 已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是(　　)
A．－4 B．4 C．－2 D．2
3．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于(　　)
A．2 B．4 C．5 D．10
二、填空题(每小题5分，共15分)
4．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点
F在边CD上，若·＝，则·的值是________．

6．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．

三、解答题
7． (13分)设平面上有两个向量a＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b＝.(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．

平面向量的数量积(20131119)作业答案

姓名 成绩
A组　专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． (2012·辽宁)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于 (　　)
A．－1 B．－ C. D．1
答案　D
解析　a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1⇒x＝1.
2． (2012·重庆)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于 (　　)
A. B. C．2 D．10
答案　B
解析　∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，
由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2.
由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2.
∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)．
∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝＝.
3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，
又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①
又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②
联立①②解得x＝－，y＝－.
4． 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于 (　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析　由于·＝||·||·cos∠BAC
＝(||2＋||2－||2)＝×(9＋4－10)＝.
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． (2012·课标全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
答案　3
解析　∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|b|，
|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.
6． (2012·浙江)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
答案　－16
解析　如图所示，
＝＋，
＝＋
＝－，
∴·＝(＋)·(－)
＝2－2＝||2－||2＝9－25＝－16.
7． 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．
答案　(－∞，－6)∪
解析　由a·b<0，即2λ－3<0，解得λ<，由a∥b得：
6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<，且λ≠－6.
三、解答题(共22分)
8． (10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n) (n>1)，a与b的夹角是45°.
(1)求b；
(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.
解　(1)a·b＝2n－2，|a|＝，|b|＝，
∴cos 45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0，
∴n＝6或n＝－(舍)，∴b＝(－2,6)．
(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.
又c与b同向，故可设c＝λb (λ>0)，(c－a)·a＝0，
∴λb·a－|a|2＝0，∴λ＝＝＝，
∴c＝b＝(－1,3)．
9． (12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解　∵e1·e2＝|e1|·|e2|·cos 60°＝2×1×＝1，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)
＝2te＋7te＋(2t2＋7)e1·e2
＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7.
由已知得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－.
当向量2te1＋7e2与向量e1＋te2反向时，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
则⇒2t2＝7⇒t＝－或t＝(舍)．
故t的取值范围为(－7，－)∪(－，－)．
B组　专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1． (2012·湖南)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC等于 (　　)
A. B. C．2 D.
答案　A
解析　∵·＝1，且AB＝2，
∴1＝||||cos(π－B)，∴||||cos B＝－1.
在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cos B，
即9＝4＋|BC|2－2×(－1)．
∴|BC|＝.
2． 已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是(　　)
A．－4 B．4 C．－2 D．2
答案　A
解析　a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，得a·b＝|b||a|·cos〈a，b〉，即－12＝3|a|·cos〈a，b〉，
∴|a|·cos〈a，b〉＝－4.
3． (2012·江西)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于 (　　)
A．2 B．4 C．5 D．10
答案　D
解析　∵＝－，∴||2＝2－2·＋2.
∵＝－，∴||2＝2－2·＋2.
∴||2＋||2
＝(2＋2)－2·(＋)＋22
＝2－2·2＋22.
又2＝162，＝2，
代入上式整理得||2＋||2＝10||2，故所求值为10.
二、填空题(每小题5分，共15分)
4． (2012·安徽)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
答案　
解析　利用向量数量积的坐标运算求解．
a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．∵(a＋c)⊥b，
∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0，
∴m＝－.∴a＝(1，－1)，∴|a|＝.
5． (2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点
F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
答案　
解析　方法一　坐标法．
以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)．
故＝(，0)，＝(x,2)，＝(，1)，＝(x－，2)，
∴·＝(，0)·(x,2)＝x.
又·＝，∴x＝1.∴＝(1－，2)．
∴·＝(，1)·(1－，2)＝－2＋2＝.
方法二　用，表示，是关键．
设＝x，则＝(x－1).
·＝·(＋)
＝·(＋x)＝x2＝2x，
又∵·＝，∴2x＝，
∴x＝.∴＝＋＝＋.
∴·＝(＋)·
＝
＝2＋2
＝×2＋×4＝.
6． (2012·上海)在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
答案　[1,4]
解析　利用基向量法，把，都用，表示，再求数量积．
如图所示，
设＝
＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ，
＝λ，＝－
＝(λ－1)，
∴·＝(＋)·(＋)
＝(＋λ)·[＋(λ－1)]
＝(λ－1)·＋λ·
＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，
∴当λ＝0时，·取得最大值4；
当λ＝1时，·取得最小值1.
∴·∈[1,4]．
三、解答题
7． (13分)设平面上有两个向量a＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b＝.
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．
(1)证明　∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－＝0，
故向量a＋b与a－b垂直．
(2)解　由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得
3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2，
所以2(|a|2－|b|2)＋4a·b＝0，而|a|＝|b|，
所以a·b＝0，即·cos α＋·sin α＝0，
即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°， k∈Z，
即α＝k·180°＋30°，k∈Z，
又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.