求解非线性规划.doc

非线性规划的实例与定义
如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。
1.2 线性规划与非线性规划的区别
如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）；而非线性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的任意一点达到。
1.3 非线性规划的Matlab解法
Matlab中非线性规划的数学模型写成以下形式

,
其中是标量函数，是相应维数的矩阵和向量，是非线性向量函数。
Matlab中的命令是
X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)
它的返回值是向量，其中FUN是用M文件定义的函数；X0是的初始值；A,B,Aeq,Beq定义了线性约束，如果没有等式约束，则A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[]；LB和UB是变量的下界和上界，如果上界和下界没有约束，则LB=[]，UB=[]，如果无下界，则LB=-inf，如果无上界，则UB=inf；NONLCON是用M文件定义的非线性向量函数；OPTIONS定义了优化参数，可以使用Matlab缺省的参数设置。
例2 求下列非线性规划问题

（i）编写M文件fun1.m
function f=fun1(x);
f=x(1)^2+x(2)^2+8;
和M文件fun2.m
function [g,h]=fun2(x);
g=-x(1)^2+x(2);
h=-x(1)-x(2)^2+2; %等式约束
（ii）在Matlab的命令窗口依次输入
options=optimset;
[x,y]=fmincon('fun1',rand(2,1),[],[],[],[],zeros(2,1),[], ...
'fun2', options)
就可以求得当时，最小值。
1.4 求解非线性规划的基本迭代格式
记（NP）的可行域为。
若，并且

则称是（NP）的整体最优解，是(NP)的整体最优值。如果有

则称是（NP）的严格整体最优解，是(NP)的严格整体最优值。
若，并且存在的邻域，使
，
则称是（NP）的局部最优解，是(NP)的局部最优值。如果有

则称是（NP）的严格局部最优解，是(NP)的严格局部最优值。
由于线性规划的目标函数为线性函数，可行域为凸集，因而求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解。非线性规划却不然，有时求出的某个解虽是一部分可行域上的极值点，但并不一定是整个可行域上的全局最优解。
对于非线性规划模型(NP)，可以采用迭代方法求它的最优解。迭代方法的基本思想是：从一个选定的初始点出发，按照某一特定的迭代规则产生一个点列，使得当是有穷点列时，其最后一个点是(NP)的最优解；当是无穷点列时，它有极限点，并且其极限点是(NP)的最优解。
设是某迭代方法的第轮迭代点，是第轮迭代点，记
（1）
这里，显然是由点与点确定的方向。式（1）就是求解非线性规划模型(NP)的基本迭代格式。
通常，我们把基本迭代格式（1）中的称为第轮搜索方向，为沿方向的步长，使用迭代方法求解(NP)的关键在于，如何构造每一轮的搜索方向和确定适当的步长。
设，若存在，使
，
称向量是在点处的下降方向。
设，若存在，使
，
称向量是点处关于的可行方向。
一个向量，若既是函数在点处的下降方向，又是该点关于区域的可行方向，则称之为函数在点处关于的可行下降方向。
现在，我们给出用基本迭代格式（1）求解(NP)的一般步骤如下：
0 选取初始点，令。
1 构造搜索方向，依照一定规则，构造在点处关于的可行下降方向作为搜索方向。
2 寻求搜索步长。以为起点沿搜索方向寻求适当的步长，使目标函数值有某种意义的下降。
3 求出下一个迭代点。按迭代格式（1）求出
。
若已满足某种终止条件，停止迭代。
4 以代替，回到1步。
1.5 凸函数、凸规划
设为定义在维欧氏空间中某个凸集上的函数，若对任何实数以及中的任意两点和，恒有

则称为定义在上的凸函数。
若对每一个和恒有

则称为定义在上的严格凸函数。
考虑非线性规划

假定其中为凸函数，为凸函数，这样的非线性规划称为凸规划。
可以证明，凸规划的可行域为凸集，其局部最优解即为全局最优解，而且其最优解的集合形成一个凸集。当凸规划的目标函数为严格凸函数时，其最优解必定唯一（假定最优解存在）。由此可见，凸规划是一类比较简单而又具有重要理论意义的非线性规划。