竞赛专题-取整函数.docx

初中数学竞赛辅导 专题六:取整函数
一、 基础知识
定义：设，用表示不大于的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数；
任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即，这里，为的整数部分，记为的小数部分。
性质：
由、的定义不难得到如下性质：
（1）对任意实数，都有.
（2）对任意实数，都有.
（3）显然，的定义域是R，值域是Z。的定义域为R，值域为。
从函数的图象可以看出，的图象由成阶梯形的等长平行线段组成，函数不减，即若则，其图像如图I －1；

的图象由端点位于轴上整点的无数条与平行的线段组成，I －2.

图Ⅰ—1 图Ⅰ—2
（4）.其中.
（5）；特别地，

（6），其中；一般有；特别地，
.
（7）
（8）若，则；当时，；
（9）若整数适合（是整数，），则；
（9）是正实数，是正整数，则在不超过的正整数中，的倍数共有个；
（10）设为任一素数，在中含的最高乘方次数记为，则有：
。
证明：由于是素数，所有中所含的方次数等于的各个因数所含的方次数之总和。由性质10可知，在中，有个的倍数，有个的倍数，有个的倍数，，当时，，所以命题成立。
高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。
解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。

二、 例题选讲

1. 用表示不超过的最大整数，则
2. 若设，则可以取值的个数是（ ）
A． 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
3. 正整数 小于100，并且满足等式，则这样的正整数有（ ）个
A . 2 B. 3 C. 12 D. 16
4.计算：的值。
解：由题意得：对于任意的，

说明：本例采用了分组凑整的思想。
5．解方程。
解：令 ，则，带入原方程整理得：，由高斯函数的定义有，解得：，则。
若，则；若，则。
注：本例中方程为型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解。
6、求方程
解：

经检验知，这四个值都是原方程的解.

7、求出的个位数字
解：先找出的整数部分与分数部分.
=

其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.
8、在数列中有多少个不同的数？
分析：我们注意到第一项为0，若每两项的差不超过1，则所有满足此条件的数均能取到，不存在跳跃现象，若每两项的差大于1，则每个项均不同于前面的项。
令通项为；则去除取整符号的相邻两项为
它们的间隔；

于是此题中共有495+991=1486个整数
三、 课堂练习

1、
2、 满足方程 的整数解 的个数是（）
A 1 B 2 C 3 D 4
3、 方程 的正整数解的个数为（）
A 5 B 4 C 3 D 2
4、 求的所有解的和。
5、 方程组的解是 （）