“我与高考一模”系列专题四复数.doc

步步升教育（汕头）焦点专题 “我与高考一模”系列四 步步升教育，八大校区 88369993 用优质的教育，开启成功的人生！
亲爱的同学们：一模到底离我们有多远？其实就在我们身边，明年的这个时候就该我们了！步步升教育巧思数学高二备课组策划了“我与高考一模”系列专题。让你瞄准目标，结合现在所学的知识，把握重点、难点、考点，助你少走弯路，直达成功！暑假我们将推出“我与高考的第一次亲密接触”系列，敬请期待！
第四部分 一模与复数
一、 一模试题回顾
1、（汕头一模第2题文）设复数 (其中i是虚数单位），则在复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、（汕头一模第1题理）设x，yR，则“x＝0”是“复数x+yi为纯虚数”的（　）
A充分而不必要条件　　B、必要而不充分条件 C．充分必要条件　　　D.既不充分也不必要条件
3、（深圳一模第2题） 计算：（ ）
A． B．- C. 2 D. -2
二、复数的概念
考点一：复数的概念
题型1.考查基本概念
[例1] (广东省四校联合体第一次联考)下面四个命题
(1) 比大 (2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数
(3) 的充要条件为
(4)如果让实数与对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是（ ）
A B C D
题型2.由复数是实数或虚数、纯虚数时求参数
[例2] 实数分别取什么值时，复数是(1)实数；(2)虚数;(3)纯虚数.
[互动探究]2．如果复数为纯虚数，那么实数的值为（ ）.
A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2
考点二：复数的模
题型3.与模相关的计算 [例3] (广东省五校高三上期末联考)设复数满足，则=（ ）
A． B． C． D．
【互动探究】4.设复数满足,且是纯虚数,则=_________ .
考点三：共轭复数
题型4.与共轭复数相关问题[例4]．若复数z满足方程，求复数z.
1.复数()是（ ）
.实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数
2.判断命题:“复数比大”的真假.

三、复数的四则运算
考点一：复数的四则运算
题型1. 利用复数四则运算求值
[例1]（步步升2012届专题） ( )
A． B． C． D．
【互动探究】2.（ 广东肇庆中学09年高考6月仿真考试）计算复数＝（ ）
A．0 B.2 C. 4i D. －4i
考点二：几个特殊复数的运算 ，，.
3．计算
考点三: 复数加减法几何意义的应用
题型3: 复数及其运算的几何意义
4.(广东省汕头市潮阳一中)复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
基础巩固训练
1. （广东北江中学09届高三5月模考）复数=（ ）
A. B. C. D.
2.(2010广东省)若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为 （ ）
A、-6 B、13 C. D.
3.在复平面内，复数所对应的点位于( )
A．第一象限　　　B第二象限 C．第三象限　　　　D第四象限
4．已知，其中m，n都是实数，i是虚数单位，则
A． B．２－２i C．－2－2i D．－２＋２i
A．0 B． C． D．
6．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
7．（09学年汕头市金山中学高三5月模拟测试）已知复数满足（ ）
A． B． C． D．
8.(2010广东普宁一中第三次月考)在复平面内，复数对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9、（2009吴川）已知复数，则 （ ）
A. B. C. D.
10．(广东省四校联合体第一次联考)复数的虚部是 。
四、 综合能力检测

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.下面四个命题中正确的命题个数是
①0比－i大 ②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ③x+yi=1+i的充要条件为x=y=1 ④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知z1=2－i,z2=1+3i，则复数的虚部为
A.1 B.－1 C.i D.－i
3.(1－i)2·i等于
A.2－2i B.2+2i C.－2 D.2
4.复数z1=3+i,z2=1－i，则z=z1·z2在复平面内的对应点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.(i－i－1)3的虚部为
A.8i B.－8i C.8 D.－8
6.已知复数z与(z+2)2－8i均是纯虚数,则z等于
A.2i B.－2i C.i D.－i
7.i是虚数单位,等于
A.1+i B.－1－i C.1+3i D.－1－3i
8.已知复数z=3+4i且z(t－i)是实数,则实数t等于
A. B. C.－ D.－
9.过原点和－i对应点的直线的倾斜角是
A. B.－ C. D.
10.设ω=－+i,A={x|x=ωk+ω－k,k∈Z},则集合A中的元素有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)
11.的值等于__________.
12.设z=－1+()2003,则z=__________.
13.8+6i的平方根是__________.
14.复平面内，已知复数z=x－i所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是__________.
三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题10分)若(3－10i)y+(－2+i)x=1－9i,求实数x、y的值.

16.(本小题10分)已知z= (a>0,a∈R),复数ω=z(z+i)的虚部减去它的实部所得的差是，求复数ω.

17.(本小题12分)已知z=1+i. (1)设ω=z2+3(1－i)－4,求ω; (2)如果=1－i,求实数a、b的值.

18.(本小题12分)已知关于x的方程x2+(1+2i)x－(3m－1)i=0有实根,试求纯虚数m的值.
12分

1.分析:本题考查复数的基本概念.
解:①复数集内不全是实数的数不能比较大小;②2+3=5∈R,但2，3不是共轭复数;③只有当x、y∈R时，才有x=y=1;④若a=0,则0i=0不再是纯虚数.答案: A
2.分析:本题考查复数代数式的除法运算.只需把分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简后求解.同时注意复数的虚部是i的系数.
解：=i.答案: C
3.分析:本题考查复数代数形式的基本运算.可利用完全平方公式及复数代数形式的乘法运算解决此类问题,但要注意把i2换成－1.解:(1－i)2·i=(1－2i+i2)·i=(1－2i－1)·i=－2i·i=(－2)×(－1)=2.答案:D
4.分析:本题考查复数代数形式的乘法运算以及复数与复平面内点的一一对应关系.
解:z1·z2=(3+i)·(1－i)=4－2i.答案: D
5.分析:本题考查i的幂的运算性质.解:(i－i－1)3=(i－)3=(i+i)3=(2i)3=8i3=－8i,则虚部为－8.答案: D
6.分析:本题考查虚数的基本知识及运算能力.此类问题通常利用两复数相等的充要条件转化为实数问题去解决.
解:设z=bi(b∈R且b≠0),则(z+2)2－8i=(bi+2)2－8i=b2i2+4bi+4－8i=(4－b2)+(4b－8)i.
∴∴∴b=－2.∴z=－2i.答案:B
7.分析:本题考查复数代数形式的基本运算.可利用多项式乘以多项式的方法解决此类问题,但应特别注意运算过程中的符号问题.
解:===－1－3i.答案:D
8.分析:本题考查复数的基本概念.解题的关键是先根据复数的乘法把复数整理成a+bi的形式,再由虚部为零列t的方程求值.解:z(t－i)=(3+4i)(t－i)=3t+4+(4t－3)i.
∵3t+4+(4t－3)i是实数,∴4t－3=0.∴t=.答案:A
9.分析:本题考查复数与复平面内点的对应关系及倾斜角和斜率的关系.
解:∵－i的对应点是(,－1)，
∴tanα= (0≤α<π).∴α=π.答案: D
10.分析:本题考查ω的周期性及整数的划分.解:设ω=－+i,则ω3k=1,ω3k+1=ω,ω3k+2=(k∈Z),
①当k=3n,n∈Z时，x=1+1=2;
②当k=3n+1,n∈Z时，x=ω+=ω+ω2=ω+=－1;
③当k=3n+2,n∈Z时，x=ω2+=ω2+ω=－1. 答案: B
11.分析:本题考查复数的除法运算.
解: =2+3i.答案: 2+3i
12.分析:本题考查i的周期性及常见复数的化简.如(1±i)2=±2i, =i等.
解:z=－1+()2003=－1+i2003=－1+i4×500+3=－1+i3=－1－i. 答案: －1－i
13.分析:本题考查复数的平方运算及复数相等的概念.
解法一: 设8+6i的平方根是x+yi(x、y∈R)，则
(x+yi)2=8+6i，即x2－y2+2xyi=8+6i.由复数相等，得 ∴或
解法二: ∵8+6i=9+6i+i2=(3+i)2，∴8+6i的平方根是±(3+i). 答案: ±(3+i)
14.分析:本题可根据复数的几何意义，构造不等式，求未知数的范围.
解:∵z对应的点z(x,－)都在单位圆内，
∴|Oz|<1,即<1.∴x2+<1.∴x2<.∴－.答案: －
15.分析:本题考查复数的运算及复数相等的概念.先将等式左边整理成复数a+bi(a、b∈R)的形式，再利用复数相等的充要条件得到关于x、y的方程组.
解:原等式可整理为(3y－2x)+(-10y+x)i=1－9i. 5分
根据复数相等的定义,得方程组 8分 ∴ 10分
16.分析:本题考查复数的除法运算及复数的有关概念.可先把复数化成a+bi的形式再运算,也可直接代入运算.解:把z=代入,得ω=(+i)=()=(1+ai). 4分
于是·a－，即a2=4. ∵a>0,∴a=2,ω=+3i.
17分析:本题考查复数的运算、复数相等等基础知识及运算能力.
解:(1)由z=1+i,有ω=z2+3(1－i)－4=(1+i)2+3(1－i)－4=2i+3－3i－4=－1－i. 4分
(2)方法一: 由z=1+i,有==(a+2)－(a+b)i. 9分
由题设条件知(a+2)－(a+b)i=1－i.根据复数相等的定义，得 解得 12分
方法二: 若进行除法计算较麻烦，可将已知等式变形为z2+az+b=(1－i)(z2－z+1),这样就避免了除法运算，相对来说要简单些.
∵(z2－z+1)(1－i)=［(1+i)2－(1+i)+1］(1－i)=i(1－i)=1+i，
又z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=(a+b)+(a+2)i,由题设及复数相等的定义，得∴
18分析:本题考查复数的运算及复数相等的概念.解题的关键是搞清x是实数.应先把复数整理成a+bi(a、b∈R)的形式,再由复数相等的充要条件列方程组求值.
解:设此方程的实根为x0,纯虚数m=ai(a∈R且a≠0),则原方程可化为
x02+(1+2i)x0－(3ai－1)i=0. 整理得(x02+x0+3a)+(2x0+1)i=0.
由复数相等的定义,得方程组 解得所以m=.

第1讲 复数的的概念

～～～～～～～～～ 知 识 梳理 ～～～～～～～～～
1．复数的定义：形如的数叫复数，
2．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：

3．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果，，，，那么,
4．复数的几何意义: 建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示虚数.复数表示复平面中的一个点,这个点的坐标为.
5.复数也可以表示复平面中的以点为终点的向量.向量的模叫做复数的模，表示为. (1)；
(2)=； (3)= (4)；
7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数. Z的共轭复数记作.

第2讲 复数的四则运算

～～～～～～～～～ 知 识 梳理 ～～～～～～～～～
1．复数与的和的定义：
2．复数与的差的定义：
3．乘法运算规则：
设，(、、、)是任意两个复数，那么它们的积=
4．复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：或者
则
5．复数加、减法的几何意义
(1)加法的几何意义
复数 是以、为两邻边的平行四边形对角线所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义
复数是连接向量、的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.
6. 重要结论
（1） 对复数z 、、和自然数m、n，有
，，
(2) ，，，；
，，，.
(3) ，，.
(4)设，，，，=1，

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