分蛋糕博弈之我见.doc

分蛋糕博弈

两个人分蛋糕博弈，但有先后次序，由甲负责分为两份，但乙先挑，在以下情况下分析其理性结局是什么（假设蛋糕无限可分，而且双方都知道以下事实），并分析局中人是否愿意更换角色：
问：（2）蛋糕分两部分，一部分是奶油蛋糕，另一部分是冰淇淋蛋糕，甲喜欢奶油蛋糕，认为值10元，冰淇淋蛋糕值6元，乙喜欢冰淇淋蛋糕，认为它值12元，奶油蛋糕仅值4元；

求解：因为蛋糕是由甲来分，由乙来先选的，所以甲的策略必然是在自己不吃亏的情况下，保证乙要同意自己的方案，而且能取出得最大利益。这样的话，我们得出两个约束条件：
一、 “自己不吃亏”——在甲的“价值观”看来，甲的利益不能低于乙的利益；
二、 “保证乙会同意自己的方案”——在乙的“价值观”看来，甲的利益不能高于乙的利益。

首先我们先理清题意：现在的情况是，甲和乙有两个蛋糕，奶油蛋糕和冰淇淋蛋糕。甲负责把这两个蛋糕切成两份，然后由乙来先挑自己的那一份。我们假设甲在分蛋糕的时候，是想把奶油蛋糕的X和冰淇淋蛋糕的Y留给自己，而希望乙会如愿接受奶油蛋糕的（1-X）和冰淇淋蛋糕的（1-Y）。同时，设在甲的“价值观”看来，甲的利益是，乙的利益是；在乙的“价值观”看来，甲的利益是，乙的利益是。
那么，由题意可得，
=10*X+6*Y ①
=10*（1-X ）+6*（1-Y）=16- 10*X+6*Y ②
=4*X+12*Y ③
=4*（1-X）+12*（1-Y）=16-4*X+12*Y ④
由约束条件一，可得
>= 5*X+3*Y>=4 ⑤
由约束条件二，可得
<= X+3*Y<=2 ⑥
另外，
0<=X<=1 ⑦
0<=Y<=1 ⑧

那么原题意可转化为求函数=10*X+6*Y 在约束域⑤⑥⑦⑧下的最大值，也就是求函数
⑨

在y轴上的最大截距，其中约束域为⑤⑥⑦⑧。

做出线性规划图像，如下

图一

图一中红色区域就是问题的解的可行域，就是说，区域内任意一个解（x，y）都是甲乙双方可以接受的分配方案。易知，当函数⑨在位置一时，取得可行解中的最小值，此时解（x，y）有无限个，=8；当函数⑨在位置二时，取得可行解中的最大值，此时，x=1，y= ，=12。

通过观察图像与求解的结果，我们不难发现，如果由甲来负责切蛋糕的话，甲可以得到价值最大的那份蛋糕，使得自己利益最大化（从甲的“价值观”来看）。

现在我们考虑一下一下情况：如果甲乙更换角色，由乙来负责切蛋糕，由甲来先选。
同样地，假设乙在分蛋糕的时候，是想把奶油蛋糕的m和冰淇淋蛋糕的n留给自己，而希望乙会如愿接受奶油蛋糕的（1-m）和冰淇淋蛋糕的（1-n）。同时，设在甲的“价值观”看来，甲的利益是，乙的利益是；在乙的“价值观”看来，甲的利益是，乙的利益是。
同理可得，
5m+3n<=4 (10)
m+3n>=2 (11)
0<=m<=1 (12)
0<=n<=1 (13)

目标函数为 =4m+12n (14)

则可以做出一下的线性规划图像，

图二

同样地，红色区域内任何一个可行解（m，n）都是甲乙双方可以接受的分配方案。易知，当函数（14）在位置一时，取得可行域内的最小值，此时解（m，n）有无限个，=8；
当函数（14）到了位置二时，取得可行域内的最大值，此时有最优解（，1），=12.8。
与第一种情况类似，如果由乙来切蛋糕的话，乙也可以得到价值最大的那份蛋糕，使得自己利益最大化（从乙的“价值观”来看）。

结论，①、如果由甲来切蛋糕的话，甲最理想的策略是把全部的奶油蛋糕和的冰淇淋蛋糕分成一份，剩下的为另一份。这样乙必然会选择后者，而甲可以选择前者，从而实现自己利益的最大化。
②、经过以上的求解可知，负责切蛋糕的人可以实现自己利益的最大化，所以甲不会同意更换角色，而乙则希望更换角色。

问：（3）更一般，甲认为奶油蛋糕价值a元，冰激凌蛋糕值b元，a大于b，乙相应评价则分别是c和d，c大于d；
我们可以建立一个与问题（2）中第一种情况类似的模型，只是参数不一样了。
假设甲在分蛋糕的时候，是想把奶油蛋糕的x和冰淇淋蛋糕的y留给自己，而希望乙会如愿接受奶油蛋糕的（1-x）和冰淇淋蛋糕的（1-y）。同时，设在甲的“价值观”看来，甲的利益是，乙的利益是；在乙的“价值观”看来，甲的利益是，乙的利益是。
那么，由题意可得，
=ax+by (15)
=a+b-(ax+by (16)
=dx+cy (17)
=c+d-(dx+cy) (18)
由约束条件一，可得
>= ax+by>= (a+b) (19)
由约束条件二，可得
<= dx+cy<= (c+d) (20)
另外，
0<=x<=1 (21)
0<=y<=1 (22)
目标函数
=ax+by (23)

由（19）我们可以得到可行域的一个边界函数为

(24)

由（20）我们可以得到可行域的另一个边界函数为

(25)

易知， 函数（24）与函数（25）必然相交于点（，）， 此外函数（24）经过点B（1, (1-））， 函数（25）经过点A（1, (1-）），因为a>b, c>d，所以则有点B（1, (1-））在点（1,0）的下方，点A（1, (1-)）在点（1,0）的上方。做出示意图如下：

图三

蓝色区域为可行域。显然，目标函数=ax+by 会在A点取的最大值，此时x=1,y=(1-), =a+-。

结论，甲的最优策略是把全部的奶油蛋糕和(1-)的冰淇淋蛋糕分成一份，剩下的为另一份。这样乙会如甲所愿选择后者，而甲顺理成章选择前者，实现自己利益的最大化。与（2）问类似，切蛋糕的人必然可以自己利益的最大化，所以甲不会同意交换角色，而乙则希望交换角色。