第11章习题答案.doc

第11章 电磁感应
11.１　基本要求
１理解电动势的概念。
２掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律，能熟练地应用它们来计算感应电动势的大小，判别感应电动势的方向。
３理解动生电动势的概念及规律，会计算一些简单问题中的动生电动势。
４理解感生电场、感生电动势的概念及规律，会计算一些简单问题中的感生电动势。
５理解自感现象和自感系数的定义及物理意义，会计算简单回路中的自感系数。
６理解互感现象和互感系数的定义及物理意义，能计算简单导体回路间的互感系数。
７理解磁能（磁场能量）和磁能密度的概念，能计算一些简单情况下的磁场能量。
８了解位移电流的概念以及麦克斯韦方程组（积分形式）的物理意义。
11.２　基本概念
１电动势ε：把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力所作的功，即

２动生电动势：仅由导体或导体回路在磁场中的运动而产生的感应电动势。
３感生电场：变化的磁场在其周围所激发的电场。与静电场不同，感生电场的电
场线是闭合的，所以感生电场也称有旋电场。
４感生电动势：仅由磁场变化而产生的感应电动势。
５自感：有使回路保持原有电流不变的性质，是回路本身的“电磁惯性”的量度。
自感系数：
６自感电动势：当通过回路的电流发生变化时，在自身回路中所产生的感应电动势。
７互感系数：
８互感电动势：当线圈２的电流发生变化时，在线圈１中所产生的感应电动势。
９磁场能量：贮存在磁场中的能量。
自感贮存磁能：
磁能密度：单位体积中贮存的磁场能量
１０位移电流：，位移电流并不表示有真实的电荷在空
间移动。但是，位移电流的量纲和在激发磁场方面的作用与传导电流是一致的。
１１位移电流密度：
11.３　基本规律
１电磁感应的基本定律：描述电磁感应现象的基本规律有两条。
（１）楞次定律：感生电流的磁场所产生的磁通量总是反抗回路中原磁通量的改变。楞
次定律是判断感应电流方向的普适定则。
（２）法拉第电磁感应定律：不论什么原因使通过回路的磁通量（或磁链）发生变化，回路
中均有感应电动势产生，其大小与通过该回路的磁通量（或磁链）随时间的变化成正比，即

２动生电动势：，若,则表示电动势方向由;若
,则表示电动势方向
３感生电动势：（对于导体回路）
（对于一段导体）
４自感电动势：
５互感电动势：
６麦克斯韦方程组
=
= - 


11.４　学习指导
学习法拉第电磁感应定律要注意，公式中的电动势是整个回路的电动势，式中负号是楞
次定律的要求，用以判断电动势的方向。由于动生电动势的非静电力为洛仑兹力，因此，学
习这一部分内容时，复习并掌握洛仑兹力的计算和方向判断是很有必要的。感生电动势的
学习和应用是本章的难点，学习时要多从感生电场的物理意义上去理解，感生电场由变化的
磁场所产生，它是产生感生电动势的非静电力的提供者，它既是非静电场，也是非保守场。
感生电场的问题解决了，感生电动势的问题自然也就容易解决。应该注意，无论是动生电动
势还是感生电动势，原则上均有两种求法：一种是利用公式（动生电动
势）或（感生电动势）来求；另一种是应用法拉第电磁感应定律
来解。不过，用法拉第电磁感应定律求出的是整个闭合回路的感应电动势，而不是某一段
导体的感应电动势。因此，利用法拉第电磁感应定律来求一段导体的感应电动势时，一要注
意“补”成闭合回路，二要注意将其他各段导体的电动势或电动势之和求出来，然后通过求算回路的感应电动势与其他各段导体的电动势之差才能得出该段导体的感应电动势。一般来
说，求一段导体的感应电动势用积分公式求解要简便些。
位移电流是电磁理论中的一个基本概念（假设），学习时要从其产生根源及计算两个方
面去进行理解。麦克斯韦方程组是电磁场理论的基础，学习时要注意从两个层面上去理解
它的物理意义：一是方程中各字母的物理意义；二是整个方程式的物理意义。

O

I

N
M
例1图
e
例1 如图所示，载有电流的长直导线附近，放一导体半圆环与长直导线共面，且端点的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为，环心与导线相距．设半圆环以速度平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及两端的电势差．

解:作辅助线，则在回路中，沿方向运动时,穿过回路所围面积磁通量不变
因此
即
又
表明中电动势方向为.
所以半圆环内电动势方向沿方向，
大小为
点电势高于点电势，即

例2 如图所示，长直导线通以电流=5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长=0.06m，宽=0.04m，线圈以速度=0.03m·s-1垂直于直线平移远离．求：=0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向．

例2图
解: 、运动时不切割磁感线，所以不产生感应电动势．
产生电动势

,表示 方向为.
产生电动势

,表示方向为.
回路中总感应电动势

方向沿顺时针．
例3 长度为的金属杆以速率在导电轨道上平行移动．已知导轨处于均匀磁场中，的方向与回路的法线成60°角，的大小为=(为正常数)．设=0时杆位于处，求：任一时刻导线回路中感应电动势的大小和方向．
解: 取回路绕行正方向为逆时针方向,则回路所围面积的正法线方向即为图示的方向
任意时刻穿过回路面积的磁通量为

故
表明电动势方向与所规定绕行正方向相反,即沿顺时针方向．

例3图
例4 两根平行长直导线，横截面的半径都是，中心相距为，两导线属于同一回路．设两导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为的一段自感为
．
解: 设给两导线中通一电流,左侧导线中电流向上,右侧导线中电流向下.
在两导线所在的平面内取垂直于导线的坐标轴,并设其原点在左导线的中心,如图所示,由此可以计算通过两导线间长度为的面积的磁通量.
例4图
两导线间的磁感强度大小为

取面积元,通过面积元的磁通量为

则穿过两导线间长度为的矩形面积的磁通量为

故
例5 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环,其尺寸如附图(a)所示，共有N匝(图中仅画出少量几匝)．试求：
(1)此螺线环的自感系数；
(2)若导线内通有电流，环内磁能为多少?
例5图
r
dr

解: (1)设有电流通过线圈,线圈回路呈长方形,如图(b)所示,由安培环路定理可求得在
范围内的磁场分布为

通过螺绕环横截面的磁通为

磁链
故
(2) 磁能
带入可得

11.5习题详解
11.1 在一线圈回路中，规定满足如图所示的旋转方向时，电动势, 磁通量为正值。若磁铁沿箭头方向进入线圈，则有（    ）
S
N
v
习题11.1图
(A) ,
(B) ,
(C) ,
(D) ,
解 正确答案（B）
回路取图示旋转方向时，回路正法线方向向右，与磁感强度的方向相同，所以穿过线圈所围面积的磁通量为正，即，当磁铁插入线圈时，穿过线圈的磁通量增加，故
，由电磁感应定律可知。所以选择答案（B）。
11.2一金属圆环旁边有一带负电荷的棒，棒与环在同一平面内，开始时相对静止；后来棒忽然向下运动，如图所示，设这时环内的感应电动势为 ，感应电流为 ，则（    ）
习题11.2图
（A），
（B），
（C）， ， 为顺时针方向
（D）， ， 为逆时针方向
解 正确答案（C）
当带负电的细棒相对圆环向下运动时，相当于圆环的右侧形成一向上的电流。而原来没有相对运动时是没有这一电流的。这样在圆环内产生了一向外的磁场，且使得圆环内的磁通量增加，根据楞次定律可判断得知，圆环内产生一顺时针方向的感应电流。故选择（C）。

习题11.3图
11.3一矩形线框长为 宽为 ，置于均匀磁场中，线框绕 轴，以匀角速度 旋转(如图所示)．设 时，线框平面处于纸面内，则任一时刻感应电动势的大小为（    ）
（A）
（B）
（C）
（D）
解 正确答案（D）
任意时刻穿过线圈平面的磁通量，有电磁感应定律得知
，故选择（D）
11.4在尺寸相同的铁环和铜环所包围的面积中穿过相同变化率的磁通量，则两环中（    ）
（A）感应电动势相同，感应电流相同
（B）感应电动势不同，感应电流不同
（C）感应电动势相同，感应电流不同
 （D）感应电动势不同，感应电流相同
解 正确答案（C）
由于穿过两回路的磁通量的变化率相同，根据电磁感应定律可知，两回路中感应电动势亦相同；又因为尺寸相同的铁环和铜环的电阻不相同，所以两回路中产生的感应电流不相同。故选择（C）。
  11.5 半径R的圆线圈处于极大的均匀磁场B中，B垂直纸面向里，线圈平面与磁场垂直， 如果磁感应强度为 ，那么线圈中感应电场为（     ）
（A），顺时针方向 （B），逆时针方向
 （C） ，顺时针方向 （D） ，逆时针方向
解 正确答案（D）
感生电动势，即，得，再可判断感应电场方向为逆时针方向。
习题11.6图
11.6面积为S和2S的两圆线圈1、2如图放置，线圈1中通有电流通有I，线圈2中通有电流2I。线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通量用表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通量用表示，则和的大小关系为（    ）
(A) (B)
(C) (D)
解 正确答案（B）
由，，可知
11.7通过垂直于线圈平面的磁通量随时间变化的规律为，式中的单为，试问当时，线圈中的感应电动势为__________________．
解 31V
，当时，。
11.8半径为a的无限长密绕螺线管，单位长度上的匝数为n，通以交变电流,则围在管外的同轴圆形回路（半径为r）上的感生电动势大小为 。
解
螺线管中均匀磁场的磁感强度大小为,穿过圆形回路的磁通量,
由法拉第电磁感应定律得

习题11.9图
11.9一半径为 的金属圆盘，放在磁感应强度为 的磁场中，与盘面法线 的夹角为 ，如图所示．当这圆盘以每秒 圈的转速绕它的几何轴旋转时，盘中心与边缘的电势差为__________________．
解
可将分解为垂直于盘面的分量和平行于盘面的分量,对于 而言,圆盘转动时并没有切割磁感线,所以平行分量对电势差没有贡献.所以本题可以等效于求圆盘在垂直于圆盘的磁场中旋转时,圆盘中心与边缘的电势差.
导体圆盘可视为由许多条沿半径方向的导体细棒组合而成,由教材11.2节例1题知,在垂直于导体细棒的均匀磁场中旋转时,导体细棒两端产生电势差为

11.10一空心直螺线管长为0.4m，横截面积为2cm2，共2000匝，则自感L＝__________。
解 8p´10-4 H
由教材11.4节例1题结果知

11.11无限长密绕直螺线管通以电流I ，内部充满均匀、各向同性的磁介质，磁导率为μ。管上单位长度绕有n匝导线，则管内的磁感应强度为____________________，内部的磁能密度为___________________________。
解 ，

11.12两长直螺线管同轴并套在一起，半径分别为和，匝数分别为和，长度均为。略去端缘效应，它们之间的互感系数__________________。
习题11.12图
R1
R222

解
设螺线管中通有电流,则其管内均匀磁场的磁感强度为,
通过螺线管的磁链数为
互感系数
11.13一半径=10cm的圆形回路放在=0.8T的均匀磁场中．回路平面与垂直．当回路半径以恒定速率=80cm·s-1 收缩时，求回路中感应电动势的大小．
解: 穿过回路的磁通量
感应电动势大小
11.14有一无限长螺线管，单位长度上线圈的匝数为n，在管的中心放置一绕了N圈、半径为r的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI／dt，求小线圈中的感应电动势．
解：长螺线管内均匀磁场的磁感强度

穿过小线圈的磁链数

由电磁感应定律

11.15 如图所示，用一根硬导线弯成半径为的一个半圆．令这半圆形导线在磁场中以频率绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为．求：感应电流的最大值．
习题11.15图
解：任意时刻,穿过半圆面的磁通量为

其中为导体旋转角速度,为半圆面正法线方向
与磁场方向之间的初始夹角.
由电磁感应定律知

由此知感应电动势最大值和感应电流最大值分别为

11.16一匝数N=200的线圈，通过每匝线圈的磁通量 求：
（1）任意时刻线圈感应电动势的大小；
（2）在时，线圈内的感应电动势的大小。
解（1）
(2) t = 10s时

11.17 导线长为，绕过点的垂直轴以匀角速转动，=，磁感应强度平行于转轴，如图所示．试求：
（1）两端的电势差；
（2）两端哪一点电势高?
解: 习题11.17图
A
B
(b)

A

(a)
B

(1)在上,距点为处取导体元,则段导体内产生的电动势大小为

方向为.
同理段导体内产生的电动势大小为

方向.
将棒上的电动势看作是棒和棒上电动势的代数和,如图(b)所示,则

(2) 点电势高．
11.18如图，有一弯成角的金属架COD放在均匀磁场中，磁感应强度B的方向垂直于金属架COD所在的平面，且B不随时间改变。有一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度向右运动，与MN垂直。设时，，求框架内的感应电动势。

习题11.18图
解 任意时刻三角形回路所围面积上的磁通量为

三角形回路中感应电动势方向为逆时针方向.
11．19在通有电流 I 的无限长载流直导线旁，在右侧距离为处垂直放置一长为 L 以速度向上运动的导体棒，求导体棒中产生的动生电动势。
v
a
L
I
习题11.19图

解 建立如图所示的坐标系,在距离无限长导线处的导体棒上取导体元,该处的磁感强度.
该导体元运动产生的电动势

整个导体棒中产生的动生电动势为

方向向左.

11．20如图所示，在距长直电流I为d处有一直导线，其长为l，与电流共面，图中倾角为，导线以速度向上平动，求导线上的动生电动势。
B

A
习题11.20图

解 在直导线上任意位置处取线元,该处距离长直导线为,该处磁感强度为，方向垂直向里，线元上有一个微元电动势,负号表明其方向为.由于，导线上的电动势为各微元电动势的串联，故

负号表明电动势方向为方向。

11.21如图所示，长度为的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间，并以速度平行于两直导线运动．两直导线通以大小相等、方向相反的电流，两导线相距2．试求：金属杆两端的电势差及其方向．
解：在金属杆上取距左边直导线为，则

习题11.21图
因为
所以实际上感应电动势方向从，即从图中从右向左，则

11.22 半径为R的直螺线管中，有＞0的磁场，一任意闭合导线，一部分在螺线管内绷直成弦，,两点与螺线管绝缘，如图所示．设=，试求：闭合导线中的感应电动势．

习题11.22图

解：如图，取闭合导线的绕行正方向为顺时
针方向,穿过闭合回路所围面积的磁通量为

由电磁感应定律得

因为
所以，即感应电动势沿，逆时针方向．

11.23 磁感应强度为的均匀磁场充满一半径为的圆柱形空间，一金属杆放在图中位置，杆长为2，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当＞0时，求：杆两端的感应电动势的大小和方向．
习题11.23图

解：

作连线,构成两个三角形导体回路,
在三角形导体回路中, 两段导体是
沿径向的,处处垂直于感生电场的方向(见教材
11.3节例2题),故两段导体均不产生电动势,所以三角形导体回路中的电动势即为导体上的电动势.
取三角形导体回路中的绕行方向为,可知此三角形平面的正法线方向为垂直向外,与磁场方向相反,所以该面的磁通量为负值.由电磁感应定律,得

,可知电动势方向为方向.
同理可得

电动势方向为方向.
所以
即电动势方向从
11.24如图所示，长直导线和矩形线圈共面，AB边与导线平行，=10cm , =30cm, =20cm。
(1)若长直导线中的电流在1s内均匀地从10A降为零，则线圈ABCD中的感应电动势的大小和方向如何？
A
B
C
D
l
a

I
习题11.24图

(2)求长直导线和线圈的互感系数。( ln3 = 1.1 )
解

由楞次定律可判断电动势方向为顺时针方向.

11.25在平均半径为0.100 m，横截面积为 的钢圆环上，均匀密绕线圈200匝，当线圈中通有0.600 A电流时，测得线圈的自感系数为0.038 H．试求在此使用条件下钢环中的磁场强度和磁导率各为多少？
解 由环路定理可得

知

故

习题11.26图
11.26一圆形线圈由50匝表面绝缘的细导线绕成，圆面积为 ，放在另一个半径为 的大圆线圈中心，两者共轴，如图所示．大线圈由100匝表面绝缘的导线绕成．
（1）求这两个线圈的互感；
（2）当大线圈导线中的电流每秒减少50 A时，求小线圈中的感应电动势． 
解（1） 设大线圈导线中通电流为，则在中心产生的磁感强度为

 通过小线圈的磁通匝数为

互感系数

(2)  
11.27两条很长的平行输电线，相距为 ，载有大小相等而方向相反的电流 ；旁边有一长为、宽为的矩形线圈，它们在同一平面内，长边与输电线平行，到最近一条的距离为,如图所示．求线圈中的磁通量 和感应电动势 ．
习题11.27图
解 设通过线圈的磁通量为 ，则

   所以      
11.28有一同轴电缆，由两个非常长的同轴圆筒状导体构成，内外圆筒的厚度均可忽略不计，其半径分别为 和，两筒间充满相对磁导率为 的绝缘磁介质．电缆中沿内外圆筒流过的电流大小均为 而方向相反，试求空间各处的磁感应强度和电缆每单位长度的自感系数． ，两筒间充满相对磁导率为 的绝缘磁介质．电缆中沿内外圆筒流过的电流大小均为 而方向相反，试求空间各处的磁感应强度和电缆每单位长度的自感系数．          
解 在 区域:
,           
其他区域                          
通过单位长度电流回路所得平面的磁通为

 11.29 一无限长的直导线和一正方形的线圈如图所示放置(导线与线圈接触处绝缘)．求：线圈与导线间的互感系数．
习题11.29图
 解：
设长直导线中通以电流，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为

故  

11.30一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为．求：导线内部单位长度上所储存的磁能．(导线的磁导率为)
解：设圆柱形导线横截面半径为,在处,磁感强度

磁能密度

在导线内部,取半径为、厚度为、高度为1的薄圆柱壳，其体积为

则
11.31设有半径的平行平板电容器，两板之间为真空，板间距离，以恒定电流对电容器充电。求位移电流密度（忽略平板电容器边缘效应，设电场是均匀的）。
解