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圆知识拓展（二）

例3 已知正五边形的对角线长为d，作正五边形．
作法：作任意⊙O的内接正五边形．连结、．分别在、的延长线上截联结．过作交延长线于；过作交延长线于．则为所作正五边形（见图7－213（5））．

9．什么是拿破仑分圆作图问题？
拿破仑不但是一位杰出的军事家，而且也酷爱数学．在统治法国之前，他一直忙于和当时伟大的数学家拉格朗日、拉普拉斯讨论数学问题．在他当上了法国统治者后，仍不忘讨论数学问题．有一次，他无意中读到了意大利学者马克尼罗写的关于只用直尺而不用圆规作圆的书，引起了他很大的兴趣．不久，他给法国数学家们出了一道题：“只用圆规怎样把已知圆四等分？”这道题现在看来很简单，但在当时却使数学家们绞尽脑汁．最后他们得出这样的解法：
半径在圆周上任取一点A．从A点开始，以已知圆的半径（假设为R）为半径依次在圆周上画弧，截出B、C、D三点．则AC为圆内接正三角形的边长，；AD是⊙O的直径．再分别以A、D两点为圆心，AC长为半径作弧交圆外一点P，则OP的长度正好是圆内接正方形的边长．这是因为在△AOP中，，恰为圆内接正方形的边长．然后只要以OP的长度依次在圆周上划分，就把已知圆周四等分了（见图7－214中E、F、G、H四点）．

10．怎样用圆规“量”角？
量角器上有表明度数的刻度，所以，角的大小可以用量角器来量．
圆规上并没有表明度数的刻度，但只要进行适当的操作，也可以“量”出角的大小．
例如，要用圆规“量”图7－215（1）所示角α的大小，先以角α的顶点O为圆心，任意长为半径画圆，交角的两边于A、B两点（如图7－215（2））．

现在，从A点开始，以AB长为半径，用圆规连续在圆周上截取，截了一次、两次、三次、……也可绕圆周兜了一圈、两圈、……最后，圆规的脚尖总会落到十分接近A点的地方．
记住圆规一共截取了几次，一共绕圆周兜了几圈．那么，∠AOB（α）的度数就可以计算出来．假设一共截取了16次，总共绕圆周3圈，那么这个角α的度数就是．
这是因为如果把圆规在圆周上截取过的点都与圆心连结起来，那么，圆规截了一次后的中心角就是α，截了两次后的中心角就是2α，……截了十六次后的中心角就是16α．而这16α的角又正好是绕了圆周三圈，所以，16α＝360°×3，即．
这就是说，如果要用圆规“量”一个角α，而圆规一共截取了n次，总共绕圆周兜了m圈，那么，这个角α的度数就是．
事实说明，虽然步骤较多，也比较麻烦，但是，用圆规还是可以“量”出一个角的大小的（当然，用这种方法“量”角是会有误差的）．

11．“三等分角仪”的制作原理是什么?
“三等分任意角”属于几何作图三大名题（也是难题）之一．
数学上已经证明，仅用圆规、直尺三等分任意角是不可能的．使用量角器三等分任意角的方法简便易行，但准确性太差．
在工程作图中，为了提高工作效率，适应施工的需要，制图的工具不受圆规、直尺的限制．利用圆的切线的有关性质，可以制作一个三等分任意角的工具——三等分角仪，能把任意一个
角分成三等分．
把板材（纸板、木板、金属板、塑料板等）制成图7－216中阴影部分的形状，使AB与半圆的半径CB、CD相等，PB垂直于AD（即PB与半圆相切，切点为B）．这便做成了一个“三等分角仪”．

如果要把∠MPN三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN上，适当调整它的位置，使PB通过角的顶点P，使A点落在角的PM边上，使角的另一边与半圆相切于E点．最后通过B、C两点分别作两条射线PB、PC，则∠MPB＝∠BPC＝∠CPN．
证明：连结CE，则CE⊥PN．

注 在“三等分角仪”的制作和应用过程中，涉及了圆的切线的下列性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心；（6）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

12．“盲行转圈”的奥秘是什么?
举世闻名的意大利水城威尼斯有一个马尔克广场．一千多年来，无数好奇者在这个广场上重复着一个非常简单而有趣的试验：实验者蒙着眼睛，从广场的南边线中点出发，面对正前方的一座教堂走去（如图7－217（1））．虽然这段路程仅有175米，可是在这无法统计的实验者中，竟无一个人能够到达宽82米的教堂前台阶，全部偏斜到一边，走成了曲线，一直碰到两旁的石柱上．

原苏联有人做过类似实验：在宽阔平整的飞行场地中央．整齐地排列着100名未来的飞行员．把他们的眼睛全部蒙起来后，让他们一直朝正前方走起初，一些人走得还算直；接着，有一部分渐渐偏向右方，另一部分人偏向了左方．走着，走着，全部转了圈子．而这些怪圈都近似于一个圆．
在我国民间，也有夜间行路兜圈子，俗称“鬼打墙”的传说托尔斯泰的作品《主人和工人》中，有一段互西科赶着马在风雪交加的荒原上兜圈子的描写．
为什么人在蒙上眼睛或在昏暗、浓雾的恶劣天气下，就不能走成直线呢？怎样计算这个怪圈的半径呢？下面就让我们来共同探索这怪圈的奥秘吧！
前者是生理学问题．人和动物的身体构造并不完全对称．由于两腿的长短、肌肉发达的程度等不会绝对相同，这就造成左、右两腿的步幅并不相等．如果左腿步幅小，则向左走成曲线；反之，右腿步幅小，则向右走成曲线通常情况下，多数步行者向左偏．这是因为多数人右腿较左脚有力，步幅略大的缘故．人们在向可见目标前进时，会自动调整方向，因此不会有转圈问题发生．
现在，让我们来估算一下怪圈的半径R．
假设人的左、右两腿的步幅和为0.7米（即通常所说的“步长”）；步幅之差为0.4毫米（要知道，这是一个很小很小的长度，绝大多数人的步幅之差都会大于这个数字），即0.0004米．左、右腿走路时踏脚线间的距离为10厘米（如图7－217（2））．

显然，走完一圈的步数为，其中左腿和右腿迈出的步数都是
左、右腿行走的两个同心圆的周长之差为（米）．
走完一圈时，左、右腿所走的路程分别为2πR、2π（R＋0.1）
两个同心圆周长之差为2π（R＋0.1）－2πR＝2π×0.1．

最后，请同学们根据图7－217（3）所示，验证一下为什么马尔克广场上的所有实验者均不能走到教堂前的台阶．

∴ AB≈164． 因164＜175，故实验者不能到达台阶．

13．怎样制作圆形七巧板?
圆形七巧板是一种新颖七巧板．它由6种形状共7块弧形板组成，拼合起来是一个圆，如图7－218所示．其中①、②面积相等，⑥、⑦面积也相等；①、②、③的面积之和等于④、⑤、⑥、⑦的面积之和；①、②的面积各等于圆面积的，③的面积为圆面积的．

圆形七巧板的制作方法是：A、B、C、D是圆周的4个四等分点；E、F、G分别的中点；作OA的垂直平分线MN，H为MN与圆的交点．以H为圆心、OA长为半径可作出．用同样方法便能作出弧．画好以后，只要将这个圆贴在厚纸上，待干燥后用剪刀剪下来，就成了一套圆形七巧板了．
圆形七巧板的特点是其轮廓线是曲线，用它来拼组动物图案显得更具表现力．见图7－219．

14．什么是蝴蝶定理?
几何上的重要定理，往往是以研究者的名字来命名（如曼奈拉斯定理和祖暅定理等），或者以其主要性质来命名（如勾股定理和平行线判定定理等）．但也有一些定理，由于其几何图形形象奇特，貌似某物，便以其特征——物名来命名了．蝴蝶定理就是其中的一例．
蝴蝶定理最早刊登在1815年西欧出版的《男士日记》上，1819年被英国的一名中学数学教师霍纳所解答．此后，不断有人探求它的更初等的证明．到1937年，有一位中学教师斯特温利用三角形面积的一个恒等式，给出了一个简捷的证明．其他新证法仍在层出不穷．
蝴蝶定理：过⊙O的弦PQ之中点M，任作两弦AB、CD．弦AD与BC分别交PQ于X、Y，则M为XY之中点．（如图7－220（1））

请看此图，其形象特征多么像一只正在翩翩起舞的彩蝶啊！
这个定理曾有过许多长短不一、难易不同的证明，如霍纳法、斯特温法、詹森法、三角法、解析法、面积法和射影几何法等．
现在，我们介绍一种较为简便的初等证法——相似法．
过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S与T，并连结OX、OY、OM、SM、TM．

又 ∵∠D＝∠B，∴　△MSD∽△MTB，∠MSD＝∠MTB．
∴　∠3＝∠4．
又∵　O、S、X、M与O、T、Y、M分别四点共圆，∴　∠1＝∠2．
又∵　OM⊥PQ，∴　XM＝MY．
有趣的是，若把图中AC与BD分别延长，交PQ于，，则M也是之中点（如图7－220（2））．

类似地，可以证明△AMC∽△DMB，进而可证△MTC∽△MSB，∠MTC＝∠MSB，∠3＝∠4；又O、M、T、与O、M、S、分别四点共圆，从而∠2＝∠4，∠1＝∠3，推得∠1＝∠2．
∴

15．古希腊数学家埃拉托塞尼是怎样巧妙的算出地球的周长的？
测量地球的周长是古老的难题．公元前240年，古希腊数学家埃拉托塞尼应用了巧妙的方法算出了地球的周长．
埃拉托塞尼在夏至日的中午，在埃及亚历山大港观测到阳光下标杆的影子，测得阳光与标杆A的夹角为7.2°（如图7－221）；同时在其东南面500英里（1英里≈1.6093千米）处的锡恩，见阳光正好射到一个枯井B的底部．于是，他把标杆到枯井的距离看成是地球球面大圆上相应两点之间的弧长，把阳光与标杆的夹角看成是地球球心O到A、B两点的半径之间的夹角．这样，英里，∠AOB＝7.2°．

现设地球周长为C，则

而今，用精密测量仪器实测地球平均周长为40030.3千米，误差不超过千分之五．

16．什么是秦九韶城池问题？
13世纪下半叶，中国数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，给出了一道著名的数学题：有一座圆形城池，其东、南、西、北四方各有一个城门．北门外1.5千米处有一株乔木．若出南门后向东走，要走4.5千米路才能看到这株乔木．问这座城池的周长和直径各是多少？
如图7－222，乔木在A处，B、D分别为南、北门．秦九韶设这座城池的直径的平方根为x千米，根据题意，AD＝1.5，BC＝4.5，作OE⊥AC，点E为垂足．

∵ △ABC∽△AEO，∴　AC：BC＝AO：OE．

这是一个八次方程，如设直径为x，则是四次方程．采用试根法求得．∴　d＝4.5，c＝4.5π．
所以，这座城池的直径是4.5千米，周长约14.1千米．
秦九韶在《数书九章》中（采用市里制：AD＝3里，BC＝9里），得到一个十次方程

专家们认为他舍简求繁的用意，主要是为了说明他的算法具有普遍性．因为他用的方法，适用于解任何方程．应当讲他的解方程的方法，在当时是一流的数学成果．

17．我国数学家对圆周率的研究做出了哪些突出的贡献？
圆周率就是圆的周长与其直径的比值，用“π”表示．它与求圆的周长、圆的面积、球的面积、球的体积等问题密切相关．自古中外学者为求得一精确的π值，曾付出了艰辛的劳动．尤其是我国数学家在这方面的研究和发展情况，更是令人钦佩．
在我国古代数学、天文学名著《周髀算经》中，已有“周径一而周三”和“三乘径即圆”的记载，在《周礼考工记》中也有同样的记载．历代相传，渊源很古．因此，后人称之为“古率”．秦汉以前沿用此率，一直到《九章算术》的方田，少广，商功各章仍沿用此率.
取π为3，误差很大，越来越不满足科学和生产的需要．于是，人们开始探求比较精确的圆周率．
西汉历算学家刘歆（约公元前50年～公元前23年）受王莽之命于元始（公元１年～公元5年）年间，仿周礼制钢斛．据《隋书·律历志》卷十六记载：“律嘉墨斛，方尺而圆其外，兆旁九厘五毫，幂百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗”．容器呈圆柱形，其横截面是圆形，圆内是边长一尺的正方形（如图7－223）．

兆是指圆的直径与正方形的对角线之差，兆旁是指兆的一半，所以截面圆的半径应为尺，其面积为1.62平方尺．由此得出

从这里可以看出，刘歆取用的圆周率的近似值是3.1547
刘歆是圆周率发展史上第一个改正“古率”的人．后来，人们称π＝3.1547为“歆率”．
刘徽是魏晋时代的杰出数学家，在求圆周率方面做出了突出的贡献.他于景元（236年）四年，注释《九章算术》时，曾指出用“古率”求圆周长和圆面积所得的结果都嫌太小．刘徽还指出：“假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半其数相等，合径率一而外周率三也．”这就说明，圆周与直径之比不是3与1之比，而圆内按正六边形的周长与直径之比才是3与1之比．用“古率”计算圆面积的结果，实际上是圆内按正六边形的面积．刘徽后来经过研究，发现当圆内接正多边形边数无限倍增时，多边形的周长便无限逼近于圆周长．于是，创造了“割圆术”．刘徽先将直径为2的圆，分割为六等分，再分割为十二等分、二十四等分、……这样计算下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值．他一直计算到一百九十二边形的面积，结果得到这相当于求得π＝3.14124在实际计算中．刘徽采用．
特别应当指出的是，在刘徽的“割圆术”中的极限思想．他是把圆面积看作是这个圆的内接正多边形当边数无限倍增时的极限．其中含有逼近的思想，还含有曲直转化的思想，这些先进的思想方法出现在3世纪，的确是了不起的．如用现在数学分析上的极限符号表示，即有或．这里表示圆面积，表示圆内接正n边形的面积，“∞”表示无穷大的意思．请看刘徽的探求圆周率的思想：

刘徽把他计算的结果列成下表：
边数n
边长
周长
面积

6
1

12
0.517638
6.211656
3.000000

24
0.261052
6.265248
3.105828
3.211656
48
0.130806
6.278688
3.132624
3.159420
96
0.065438
6.285048
3.139344
3.146064
92

3.141024
3.142704

由上表可以看出：3.141024＜π＜3.142704．
并且还可以看出刘徽当时实际上用的圆是单位圆．刘微不畏数字繁琐，刻苦认真演算的精神值得我们学习．他演算到了一百九十二边形．现在利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后几十万位．
刘徽注释《九章算术》时，取π＝3.14，并指出“此率缩小”是有道理的．后人称之为“徽率”．刘徽的“割圆术”为研究圆周率奠定了基础，在数学史上有重要的地位，其计算结果在当时也是先进的．刘徽只用圆内接正多边形的面积计算，比古代希腊大科学家阿基米德同时用圆内接、外切两种多边形计算更简便．
何承天（370年～447年），晋朝人，编制《元嘉历》（443年）．他曾说：“周天365度三百四分之七十五，天常西转一日一夜，过周一度，南北两极，相距一百一十六度三百四分之六十五度，即天径也．”由上述应有下面的式子：

祖冲之（429年～500年）是我国南北朝时期的一位杰出的科学家．他认为《元嘉历》误差很大，必须改编．为此，他亲自进行测量，态度非常认真，经常是“竞量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策，一丝不苟．”他在《元嘉历》的基础上，参考历代历书，总结前人的经验，再加上个人的成就，编成了《大明历》．
祖冲之在研究天文历法的过程中，对刘徽等人给出的圆周率仍嫌不够精确．他反复测算，经过长期刻苦钻研，终于获得精确度更高的圆周率的近似值．在《隋书》卷十六《律历志十一》中记有祖冲之以“圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽；朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽；正数在盈朒二限之间．密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五；约率：圆径七，周二十二……”
从这段文字记载可知，祖冲之计算的圆周率是3.1415926＜π＜3.1415927．
祖冲之提出的约率为，密率为．祖冲之是世界上第一个把圆周率推算到小数点后第七位的人．为了纪念祖冲之的伟大成就，人们将它发现的圆周率的近似值称之为“祖率”．外国科学家为了纪念祖冲之的伟大成就，把月球上的一座环形山，命名为：“祖冲之山”．
祖冲之究竟是怎样算出上面这一数值的呢？我们知道，每一项重大的科学发现和伟大的成就，都必须建立在前人成果的基础上．一般人认为，祖冲之继承和发展了刘徽的“割圆术”．他设一丈为一亿微，如将圆周割之又割，一直计算到：圆内按正12288边形的面积为3.14159251，圆内接正24576边形的面积为3.14159241，而小于 3.1415926＋0.00000010．即得
3.1415926＜π＜3.1415927．
得到这样多位的数字在当时是极不容易的，需要对九位数进行加、减、乘、除、乘方和开方等130次以上的计算 其中有50次乘方和开方，而有的数字高达十七、八位之多．当时又没有先进的计算工具，只能应用算筹，要获得这一辉煌的成就，必须付出巨大的劳动．如果没有认真和不怕艰苦的精神，是绝对办不到的．