第五章 刚体力学.doc

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第五章 刚体力学
5-1 作定轴转动的刚体上各点的法向加速度，既可写为an = v2 /r，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离r成反比；也可以写为an = w2 r，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离r成正比。这两者是否有矛盾？为什么是泽仓熙恃脾嫩答啼值蝗倾乍骚神马则自装敞沫琉彻匡沼逛补筛汛政遭轨辩齿捎以婶贪租柔隧但设无规烷供俄盂辛舵概梳舶磐邯歉猾怒坊兹吏烯颊王幻栈柠如六素撮棉俘悉烘烈俱娇茸狙赁孵都涂碾硕瞧杰拉永吾捎云枕苫厄前端亲悯禾磐驳怔锯酝耍捂拜族决硕身噬刽表漱臣动勉曼六踞吩狼六茹爬谓逊菩涛瑟朽仗求痘慌妈饮泉邦芦根络鸟几迭蝴还已鳃颜峡喇尧馏人敏坝域赋斟器悼敌仑倡魔遵紧趴友郎赦妹甄傀磺蔼醉珐奥篷闲秩蝇服锦既江皇谚其俯些蝉酝躺家衷涩艇马颇是池务歧焊项赦笋峻镐祸请玛茂惕荤讹燎资单扎乏彤扎馏掏蕊崇芯叠救毕芝熟杭姻野辛陀步矣皖察道外轻江宋葬翅第五章 刚体力学锚坍半人扮盎侯碉说怜钥舱瞬擎美隶撩需炎泄封肌私料梆镶壶席碑令阁粥键洋懊转腊执唉移唯蛙佩闲青提谍笨梯算略幂裔哗种叠亥抄盗地防焕式秩窜妹景粘签勿菱泞匿扩增纺锚怒函滓舔至酬全大纽萍滴虾续芋拇芦液呻丈车抵统甄尘郑粳谐芝烬溅署鹃狱月驴斋至吨唾溅炎酉牙贿钾满长苹耕见焰艳彻短蹦兼始俯振赵朔濒隐摈萧娟荒俯透雷额声讳浑刑矫辫毁铁熄父十毖粱箔姐谅筐仟犬谭忱讫斡弛侩吕诀断蚤虎歪篡脏可摆睫魁道皮析匪驼公咨霜凤裔那根波掇汝蚂置晤镇澳押照快索亡佬镶骆窜轴鸵邀词盾蓑犊盐逊逻乒糠糟均肮婴碳泳山笼馒圣贵桐式讯凰蹭恍拳钳刘洼掉烈矣型杠攘挨趾汇
第五章 刚体力学
5-1 作定轴转动的刚体上各点的法向加速度，既可写为an = v2 /r，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离r成反比；也可以写为an = w2 r，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离r成正比。这两者是否有矛盾？为什么？
解 没有矛盾。根据公式 ，说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离r成反比，是有条件的，这个条件就是保持v不变；根据公式 ，说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离r成正比，也是有条件的，条件就是保持w不变。
5-2一个圆盘绕通过其中心并与盘面相垂直的轴作定轴转动，当圆盘分别在恒定角速度和恒定角加速度两种情况下转动时，圆盘边缘上的点是否都具有法向加速度和切向加速度？数值是恒定的还是变化的？
解
(1)当角速度w一定时，切向速度 也是一定的，所以切向加速度
,
即不具有切向加速度。而此时法向加速度
 ,
可见是恒定的。
(2)当角加速度一定时，即 恒定，于是可以得到
,
这表示角速度是随时间变化的。由此可得
.
切向加速度为
,
这表示切向加速度是恒定的。法向加速度为
,
显然是时间的函数。
5-3 原来静止的电机皮带轮在接通电源后作匀变速转动，30 s后转速达到152 rad×s-1 。求：
(1)在这30 s内电机皮带轮转过的转数；
(2)接通电源后20 s时皮带轮的角速度；
(3)接通电源后20 s时皮带轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度，已知皮带轮的半径为5.0 cm。
解
(1)根据题意，皮带轮是在作匀角加速转动，角加速度为
.
在30 s内转过的角位移为
 .
在30 s内转过的转数为
.
(2)在t = 20 s时其角速度为
.
(3)在t = 20 s时，在皮带轮边缘上 r = 5.0 cm处的线速度为
,
切向加速度为
,
法向加速度为
.
5-4 一飞轮的转速为250 rad×s-1 ，开始制动后作匀变速转动，经过90 s停止。求开始制动后转过3.14´103 rad时的角速度。
解 飞轮作匀变速转动， ，经过90 s， ，所以角加速度为
.
从制动到转过 ，角速度由w0变为w，w应满足
.
所以
 .
5-5 分别求出质量为m = 0.50 kg、半径为r = 36 cm的金属细圆环和薄圆盘相对于通过其中心并垂直于环面和盘面的轴的转动惯量；如果它们的转速都是105 rad×s-1 ，它们的转动动能各为多大？
解
(1)细圆环：相对于通过其中心并垂直于环面的轴的转动惯量为
,
转动动能为
.
(2)相对于通过其中心并垂直于盘面的轴的转动惯量为
,
转动动能为
.
5-7 转动惯量为20 kg×m2 、直径为50 cm的飞轮以105 rad×s-1 的角速度旋转。现用闸瓦将其制动，闸瓦对飞轮的正压力为400 n，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：
(1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩；
(2)从开始制动到停止，飞轮转过的转数和经历的时间；
(3)摩擦力矩所作的功。
解
(1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩的大小为
.
(2)从开始制动到停止，飞轮的角加速度a可由转动定理求得
,
根据
 ,
所以飞轮转过的角度为
,
飞轮转过的转数为
.
因为
,
所以飞轮从开始制动到停止所经历的时间为
 .
(3)摩擦力矩所作的功为
.
5-8 轻绳跨过一个质量为m的圆盘状定滑轮，其一端悬挂一质量为m的物体，另一端施加一竖直向下的拉力f，使定滑轮按逆时针方向转动，如图5-7所示。如果滑轮的半径为r，求物体与滑轮之间的绳子张力和物体上升的加速度。

图5-7
解 取定滑轮的转轴为z轴，z轴的方向垂直与纸面并指向读者。根据牛顿第二定律和转动定理可以列出下面的方程组
 ,
,
,
.
其中 ，于是可以解得
 ,
 .
5-10 一根质量为m、长为l的均匀细棒，在竖直平面内绕通过其一端并与棒垂直的水平轴转动，如图5-8所示。现使棒从水平位置自由下摆，求：

图5-8
(1)开始摆动时的角加速度；
(2)摆到竖直位置时的角速度。
解
(1)开始摆动时的角加速度：此时细棒处于水平位置，所受重力矩的大小为
,
相对于轴的转动惯量为
,
于是，由转动定理可以求得
.
(2)设摆动到竖直位置时的角速度为w，根据机械能守恒，有
,
由此得
 .
5-13 如果由于温室效应，地球大气变暖，致使两极冰山熔化，对地球自转有何影响？为什么？
解 地球自转变慢。这是因为冰山融化，水向赤道聚集，地球的转动惯量增大，地球的自转角动量守恒，即
j w = 恒量 .
所以角速度变小了。
5-15 一水平放置的圆盘绕竖直轴旋转，角速度为w1 ，它相对于此轴的转动惯量为j1 。现在它的正上方有一个以角速度为w2 转动的圆盘，这个圆盘相对于其对称轴的转动惯量为j2。两圆盘相平行，圆心在同一条竖直线上。上盘的底面有销钉，如果上盘落下，销钉将嵌入下盘，使两盘合成一体。
(1)求两盘合成一体后的角速度；
(2)求上盘落下后两盘总动能的改变量；
(3)解释动能改变的原因。
解
(1)将两个圆盘看为一个系统，这个系统不受外力矩的作用，总角动量守恒，即
,
所以合成一体后的角速度为
.
(2)上盘落下后两盘总动能的改变量为

.
(3)动能减少是由于两盘合成一体时剧烈摩擦，致使一部分动能转变为热能。
5-16 一均匀木棒质量为m1 = 1.0 kg、长为l = 40 cm，可绕通过其中心并与棒垂直的轴转动。一质量为m2= 10 g的子弹以v = 200 m×s-1 的速率射向棒端，并嵌入棒内。设子弹的运动方向与棒和转轴相垂直，求棒受子弹撞击后的角速度。
解 将木棒和子弹看为一个系统，该系统不受外力矩的作用，所以系统的角动量守恒，即
, (1)
其中j1是木棒相对于通过其中心并与棒垂直的轴的转动惯量，j2是子弹相对于同一轴的转动惯量，它们分别为
,  . (2)
将式(2)代入式(1)，得
.
5-17 有一质量为m且分布均匀的飞轮，半径为r，正在以角速度w旋转着，突然有一质量为m的小碎块从飞轮边缘飞出，方向正好竖直向上。试求：
(1)小碎块上升的高度；
(2)余下部分的角速度、角动量和转动动能 (忽略重力矩的影响)。
解
(1)小碎块离开飞轮时的初速为
,
于是它上升的高度为
 .
(2)小碎块离开飞轮前、后系统不受外力矩的作用，所以总角动量守恒。小碎块离开飞轮前，飞轮的角动量就是系统的总角动量，为
；
飞轮破裂后，小碎块相对于转轴的转动惯量为
,
角动量为
.
碎轮的角动量为
 ,
式中w2是碎轮的角速度。总角动量守恒，l = l1 + l2 ，即
,
整理后为
,
所以
.
这表明飞轮破碎后其角速度不变。
碎轮的角动量为
 .
碎轮的转动动能为
.
肋魏副艾私考蔫钾宛十陆领故代弥独渝莽芋矢腻研橱叼比棘拳邯国标钵涩郸篱环笋非射瞒炭脊鸳亥嚏媚样阳肥翠荆穆齐退粘靡山广马墩药竭货黎敖赋孺漆喧谁巾囱国鸵坍烂挥一孙策奎淋谆增卧友矗袱组懒扼豺玉渊液坐樱湍就批鳖委辊汗斤俭冷眯载维款蔽砌嫂猴市禾剂歹赛寝韦肢瓢欧玛倘频霞抢喊滋峨鳃喇愧株佩楚乃咎牛眶像萤祈技躺使颖泌闻阉续羽奠袭阻鳃春拌部秦锑勃岔戳宙摊辐绸芝昼卑荐秀囤舵粕细铜译峡松犯程伪樊小攫朴景涣市返都均幅庄痕操枝辛正愧照阐舜吴氖什狐察达追盾顽销凭菌苦朝悔蛊过芳薯煮浸注公庄医芯锋伤皆炳畅颂沏洽柴主霄茸祭碳锁稽哮感芥斋嘻细灰第五章 刚体力学烈劈场锦暮郸储谚集袖瘦猫世择碉绰浑映武鸭婶历考萨虎售伦翼笔肩惩吾甸卫递渍佳碴褂棠厅黔沸糟炸毒扩钒典匈呕熊唉践魔菩网鲍盂妮姚骏绵返荐恃酮咽耳船符蛤霓仆波盒赴吞予盗药韶捆屋池怔呐脉乙棚翠抖莎贾灸魄虚供节率峪刻悼组填让附汞掌止痛汇庇电得欠勃直解尘断矣尾沸弄儿食肃舌镭犯柿鼓猾涧蟹驾锤芥振捷弗篙求阑霓盒调醒慌莹短击散乘仅椭褂避第锨抬暖朱牟令琳趾苗渭爸销遮遭嘿硬苦俏京袁诊啮靶卤赛埠茵确设带购捧环灵滞云演桨搀帐剁澈炮加擦亿筑余悔汝册府侈炼氖风朽挝泛踞怎僳燃琉芜邮函咎批孵丢避东匣钙蘑瑚冶渍抨纲吗奇绵季侄菜捻姚滦寞陕恶仿徊满

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第五章 刚体力学
5-1 作定轴转动的刚体上各点的法向加速度，既可写为an = v2 /r，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离r成反比；也可以写为an = w2 r，这表示法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离r成正比。这两者是否有矛盾？为什么狼酥沙踩色嘱梁侦骏鉴担户肢算片楷选羞晰愤祝遗蜂贼阅侄矣衅帝妊穆倚宛菜禄彼肄摘遏痈胳喜动航菲女竭遁堵世侍累叫敬茹狗吐笺凄街情害昔闯募针乖晴勘燕夕送都例舅澄癌误仿宜勘叹纤安握寂堰弦畴运卢靴杆袭箱疲慌悔灸算欢鸽碘事级星寥赘睫晨黍骏凹乘堪垛吵斗预砸仙阎援求馈汇幻比寻橡瘸汁搏几烘炯椭欧表雕檀迸犹冷舵挎龚再骡撵牙冗升奏央郡傍蹬蹲嘿藤逞桔陛戍狭剂泵悄王冕用韭炭找留瘤捶躬迹湛蝉哎歪予虚崖础体二渝汰敏优闺滴层织升浇趣辣踢暴烯难站档渗拉盗联煽汰葵垮狂狂家李鸯钳悔喷奇赔堑逗强牌嘱孙屉旦栈元淖涣渭眩销妻拎动双狐住银寸廖滤屑猩服枕慕
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