2022年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解.doc

安徽省高中数学竞赛初赛试题
一.选用题
1.如果集合同步满足,就称有序集对为“好集对”。这里有序集对意指当，是不同集对，那么“好集对”一共有（　　）个。　　

２.设函数,为( )
3.设是一种1203位正整数,由从100到500全体三位数按顺序排列而成那么A除以126余数是( )

4.在直角中，,为斜边上高,D为垂足. .设数列通项为则( )

5.在正整数构成数列1.3.5.7……删去所有和55互质项之后,把余下各项按从小到大顺序排成一种新数列,易见那么
6.设则

7.边长均为整数且成等差数列,周长为60钝角三角形一共有______________种.
8.设,且为使得取实数值最小正整数,则相应此为
9.若正整数正好有4个正约数,则称为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.
10.平行六面体中,顶点出发三条棱长度分别为2,3,4,且两两夹角都为那么这个平行六面体四条对角线长度(按顺序)分别为___________________
11.函数迭代函数定义为
其中=2,3,4…
设,则方程组解为_________________
12.设平行四边形中，则平行四边形绕直线旋转所得旋转体体积为_______________
三．解答题
13.已知椭圆和点直线两点(可以重叠).
1)若为钝角或平角(为原点)，试拟定斜率取值范畴.
2)设有关长轴对称点为,试判断三点与否共线,并阐明理由.
3)问题2)中,若三点能否共线?请阐明理由.
14. 数列由下式拟定：,试求(注体现不不不不小于最大整数,即整数某些.)

15. 设给定锐角三边长满足其中为给定正实数,试求最大值,并求出当取此最大值时，取值.

安徽省高中数学竞赛初赛答案
一、 选用题
1.C. 2.A. 3.C. 4.A. 5.B 6.D.
第1题解答过程
逐个元素考虑归属选用.
元素1必要同步属于A和B.
元素2必要至少属于A、B中之一种，但不能同步属于A和B，有2种选用：属于A但不属于B，属于B但不属于A.
同理，元素3和4也有2种选用.
但元素2，3，4不能同步不属于A，也不能同步不属于B.
因此4个元素满足条件选用共有种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C.
第2题解答过程
令，则，且，，，
.从而. 令，则题设方程为 ，即，故 ，，， ，解得 . 从而 . 答：A.
第3解答过程
注意 ,2,7和9两两互质. 由于 （mod2）,

（mod9）,
因此（mod18）. （1）
又由于，（mod7）,因此
（mod7）. (2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知（mod126）. 答：C.
另解：，，，，因此

，
其中B，C为整数.从而，其中D，E为整数.因此A除以63余数为6.由于A是偶数，因此A除以126余数也为6. 答：C.
第4解答过程
易见，即，又已知，故，，；，.显然是首项为，公比为等比数列前项和.故， .
即

， .
故答案为A.（易知别旳答案均不成立）
另解：易见，即，又已知，故，，.解得
， .
显然是首项为，公比为等比数列前项和，故
， . 于是数列就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，
它满足递推关系 . 因此答案为A.
第5题解答过程
可当作是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除项之后，把余下各项按从小至大顺序排成数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，中不能被2，5或11整除项个数为
，
其中不体现不不不不小于最大整数，即整数某些.
估值：设
，故 .
又因
=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=，
并且5519不是2，5，11倍数，从而知. 答：B.
又解：可当作是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5 或11整除项之后，把余下各项按从小至大顺序排成数列.由于2，5，11是质数，它们最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除数为
,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除数个数，等于1，2，3，…，110中与110互质数个数，等于.）
显然1，2，3，…中每持续110个整数，不能被2，5，11整除数均有40个.因此，1，2，3，…，中，不能被2，5，11整除数有个.不不不小于5500中数不能被2，5，11整除，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….因此5519是第个不能被2，5，11整除数，亦即所求. 答：B .
第6题解答过程

显然
；

.
注意到
， ,
因此

，

.
故
. 答：D.
另解：，
，

=.
由于和是实数，因此， ,
.
答：D.
第7解答过程
解：设△ABC三边长为整数，成等差数列，为钝角，则必有，.
易解得 ，；
，即.因而，即
.此外，.易检查
都是钝角三角形. 答：4.
第8题解答过程
注意到，满足，，故可令，，0＜＜.从而，-，-，故，+
. 取实数，当且仅当，当且仅当，Z.满足此条件且最小正整数为，此时.
答：-1.
第9题解答过程

易见奇异数有两类：第一类是质数立方（是质数）；第二类是两个不同质数乘积（为不同质数）.由定义可得
是奇异数（第一类）；
不是奇异数；
是奇异数（第二类）；
是奇异数（第二类）；
是奇异数（第一类）；
是质数，不是奇异数；
是奇异数（第一类）；
是奇异数（第二类）；
是奇异数（第二类）；
是奇异数（第二类）.
答：8.
第10解答过程
解：将向量，，分别记为，，. 则，，，且易见
， ， ， .
因此

=55，
故. 类似地，可算得，，，=3.
答：，，，3.
第11题解答过程
令，易见，，；令，易见，，，，.因而，题设方程组可化为

（1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得

因此.
代入（1）得
，，
， ， ， .
因此原方程组解为. 答：.
第12题解答过程
.以体现平面图形绕直线所得旋转体体积.
记直线为，作，交于，分别交，于.过作，分别交于.由于是中点，因此分别是中点.由对称性，易见所求旋转体体积为.
由于，易见，
，.显然，.且，.从而由圆锥体积公式得
.
又，，，
.从而由圆锥体积公式得

.从而
.
答：所求体积为：
第13题解答过程
解：I）可设：，与联立得. 这是
一元二次方程，由鉴别式解得.记，，则 ，.
由题设条件， ，即，
得 ，即，
即 .得， ， ，.
故斜率取值范畴为.
由于F(1,0),因此，，从而

.
与共线， 即与F、B三点共线.
III）假设，过直线与交于A、B，且A有关长轴对称点为，如果、F、B三点共线.我们另取点.设直线AP与交于，那么如II）证明，、F、B三点必共线.故B与重叠，从而直线AB和重叠，就是AQ与AP重叠.因此P与Q重叠，，与假设矛盾.这就是说，时，三点、F、B不能共线.
第14题解答过程
14.解：， ，
，.
故 ，亦即 ，
由得 . （*）
由于，且显然，故是递减数列，且
，，
故 ，
由（*）式得
，，
，，，
.
第15题解答过程
证明：由于△ABC是锐角三角形，其三边满足，以及
.
因而，由平均不等式可知

，
从而 ，
亦即
，.
A
B
x
o
Q
A
B
x
o
Q
A1
F
l
l
A
A1
B1
C1
D1
B
C
D
A
B
C
D
Q
M
P
N
O
F
E
上式取等式当且仅当，亦即.因而所求最大值为，当取最大值时，.

y
y

（第13题答图） （第10题答图） （第12题答图）

安徽高中数学竞赛初赛试题
一、选用题
1.若函数图象绕原点顺时针旋转后，与函数图象重叠，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2.平面中，到两条相交直线距离之和为1点轨迹为（ ）
（A）椭圆 （B）双曲线一某些 （C）抛物线一某些 （D）矩形
3.下列4个数中与最接近是（ ）
（A）- （B）-1 （C）1 （D）
4.四周体6个二面角中至多也许有（ ）个钝角。
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
5.写成十进制循环小数形式，其循环节长度为( )
(A)30 (B)40 (C)50 （D）60
6.设多项式，则中共有（ ）个是偶数。
（A）127 （B）1003 （C）1005 （D）1881
二、填空题
7.化简多项式
8.函数值域为
9.若数列满足，且具有最小正周期，则
10.设非负数和等于1，则最大值
为
11.设点A，B、C在椭圆上，当直线BC方程为 时，面积最大。
12.平面点集，易知可被1 个三角形覆盖（即各点在某个三角形边上），可被2个三角形覆盖，则覆盖需要 个三角形。

三、解答题
13.将6个形状大小相似小球（其中红色、黄色、蓝色各2个）随机放入3个盒子中，每个盒子中正好放2个小球，记为盒中不不小于颜色相似盒子个数，求分布。
14.设，其中体现不超过x最大整数。证明：无论取何正整数时，不在数列素数只有有限多种。
15.设圆与圆相交于A，B两点，圆分别与圆，圆外切于C，D，直线EF分别与圆，圆相切于E，F，直线CE与直线DF相交于G，证明：A，B，G三点共线。
安徽省高中数学竞赛初赛答案
一、选用题（本题满分36分，每题6分）
1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D
二、填空题（本题满分54分，每题9分）
7． 8． 9．，正整数且与互素。
10． 11． 12．
三、解答题（本题满分60分，每题20分）
13．。 （2分）
。 （6分）
。 （6分）
。 （6分）
14．。 （2分）
当时，运用数学归纳法，得。 （5分）
令，则有。 （5分）
当时，。 （5分）
故当充足大时，，不在数列中正整数只有有限多种。 （3分）
15．觉得轴，为轴，建立平面直角坐标系。设，， （1分）
， （1分）
， （1分）
， （1分）
其中满足 （2分）
于是，， （2分）
， （2分）
， （2分）
， （2分）
， （2分）
。 （2分）
由①－②知，点坐标满足直线方程。 （2分）

注：对于几何证法，如果无法列举所有情形，得分减半。

全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷
一、填空题（每题8分，共64分）
1.函数值域是 .
2.函数 图象与图象有关直线对称.
3.正八面体任意两个相邻面所成二面角余弦值等于 .
4.设椭圆与双曲线相切，则 .
5.设是复数，则最小值等于 .
6.设，，是实数，若方程三个根构成公差为1等差数列，则，，应满足充足必要条件是 .
7.设是内心，，，，，，动点轨迹所覆盖平面区域面积等于 .
8.从正方体八个顶点中随机选用三点，构成直角三角形概率是 .
二、解答题（共86分）
9.（20分）设数列满足，，.求通项公式.
10.（22分）求最小正整数使得可被整除.
11.（22分）已知三边长度各不相等，，，分别是，，平分线与边，，垂直平分线交点.求证：面积不不小于面积.
12.（22分）桌上放有根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多根火柴，此后每人每次至少取走根火柴.但是不超过对方刚刚取走火柴数目2倍.获得最后一根火柴者获胜.问：当时，甲与否有获胜方略？请具体阐明理由.

安徽省高中数学竞赛初赛答案

1.答案：.
提示：因，设（），
则（其中，，为锐角），
因此当时，，当时，，故.
2. 答案：
提示：因两函数图象有关直线对称，因此，，
∴，解得.
3. 答案：
提示：正八面体由两个棱长都相等正四棱锥构成，因此任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角两倍.∵，∴，则.
4. 答案：
提示：由椭圆方程知，，
设其参数方程为（为参数）代入双曲线方程，得.
因两曲线相切，∴，故.
5. 答案：
提示：在复平面上，设，，，则当为费马点时，获得最小值，最小值为.
6. 答案：且.
提示：设三个根为，，，则，
右边展开与左边比较得，，，消去得，这就是所求充要条件.
7. 答案：
提示：如图，根据向量加法几何意义，知点在图中三个平形四边形及其内部运动，因此动点轨迹所覆盖平面区域面积等于等于面积2倍，即.

8. 答案：
提示：从正方体八个顶点中随机选用三点，共有个三角形，其中直角三角形有个，所求“构成直角三角形”概率是.
9. 解：特性根法. 又，，…………（10分）
得，于是.…（20分）
10. 解： ……（10分）
又或，，
或，故所求最小正整数.…………（22分）
11. 证明：由题设可证，，，，六点共圆. …………（10分）
不妨设圆半径为1，则有，.
由于

∴面积不不小于面积. …………（22分）
12. 解：把所有使得甲没有有获胜方略初始火柴数目从小到大排序为：，，，…，不难发现其前4项分别为2，3，5，8. 下面我们用数学归纳法证明：
（1）满足；
（2）当时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取火柴数目；
（3）当时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取火柴数目.
……………………………………（10分）
设（），注意到.
当时，甲第一次时可取根火柴，剩余根火柴，乙无法获胜.
当时，，根据归纳假设，甲可以取到第根火柴，并且甲此时所取火柴数目，剩余根火柴，乙无法获胜.
当时，设甲第一次时取走根火柴，若，则乙可取走所有剩小火柴；若，则根据归纳假设，乙总可以取到第根火柴，并且乙此时所取火柴数目，剩余根火柴，甲无法获胜.
综上可知，.
由于100不在数列，因此当时，甲有获胜方略. …………（22分）

全国高中数学联赛安徽省初赛
一、填空题（每题8分，共64分）
1．以体现集合元素个数. 若有限集合满足，，，则最大也许值为
2．设是正实数. 若最小值为10，则
3．已知实系数多项式满足，，，则所有也许值集合为
4．设展开式. 若，则

第5题

第6题
5．在如图所示长方体中，设是矩形中心，线段交平面于点. 若，，，则　　　　　　.
6．平面上一种半径动圆沿边长正三角形外侧滚动，其扫过区域面积为 .
7．设直角坐标平面上点与复数一一相应. 若点分别相应复数（），则直线与轴交点相应复数 （用体现）.
8．设n是不不不小于4偶数. 随机选用正n边形4个顶点构造四边形，得到矩形概率为 .
二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分）
9． 已知数列满足，（），求通项公式.
10．已知正整数都是合数，并且两两互素，求证：.
11．设（是实数），当时，. 求最大也许值.
12．设点，在双曲线左支上，，直线交双曲线右支于点. 求证：直线与交点在直线上.

全国高中数学联赛安徽省初赛答案
1. 10. 2. 2. 3. {32}. 4. 2413. 5. . 6. . 7. .
8. .
9．

.
10．设最小素因子，由于不是素数，因此. 于是

11．由可知

满足题设，最大也许值为.
12．设，直线方程，则
，因此
， ①
，
因此
。

把①代入上式，得.

全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷
一． 填空题（每题8分，共64分）
1. 函数|+1|+|-1|+值域是
2. 方程sin（兀x）=实数根为
3. 化简sinsinsin= （用数字作答）
4. 设数列{}满足，,则
5. 设ΔABC外接圆圆心P满足，则=
6. 设复数z=x+yi满足实部和虚部之比为，其中i是虚数单位，x,y，则最大值为
7. 设=，其中是常数，则=
8. 随机选用正11边形3个不同顶点，它们构成锐角三角形概率为

二． 解答题（第9-10每题21分，第11-12题每题22分，共86分）
9. 设正三棱锥底面边长为1，侧面长为2，求其体积和内切球半径.
10. 求所有函数，使得对任意x,y均有

11. 设a,b,c是不全为0实数，求F=取值范畴，a,b,c分别满足什么条件时，F取最大值和最小值？
12. 设数列{}满足
（1） 求数列{}通项公式；
（2） 求证：对任意正整数k,和都是整数.
安徽高中数学竞赛初赛试题答案

全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

一、填空题（每题8分，共64分）
1. 函数值域是_______________.
2. 函数在中零点个数是__________．
3. 设定点，动点在轴上，动点在直线上，则周长最小值是________．
4. 设是平面上两点，是有关对称点，是有关对称点,．若，则__________．
5. 已知四周体侧面展开图如下图所示，则其体积是__________．

6. 设复数满足，则取值范畴是_______________．
7. 设动点，其中参数，则线段扫过平面区域面积是_____________．
8. 从正12边形顶点中取出4个顶点，它们两两不相邻概率是___________．
二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题22分，共86分）
9. 已知正实数满足．求证：．
10. 设数列满足．求证：
（1） 当时，严格单调递减．（2） 当时，，这里．
11. 已知平面凸四边形面积为1．求证：
．
12. 求证：（1）方程恰有一种实根，并且是无理数；
（2）不是任何整数系数二次方程根．
全国高中数学联赛安徽省初赛试卷答案

全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
（考试时间：7月4日上午9:00—11:30）
一、填空题（每题8分，共64分）
1. 函数最小值是 ．
2. 设．数列通项公式是 ．
3. 设平面向量满足，则取值范畴是
．
4. 设是定义域为具有周期奇函数，并且，则在中至少有 个零点．
5. 设为实数，且有关方程有实根，则取值范畴是
.
6. 给定定点，动点满足线段垂直平分线与抛物线相切，则轨迹方程是 ．
7. 设为复数，其中是实数，是虚数单位，其满足虚部和实部均非负，则满足条件复平面上点集所构成区域面积是
．
8. 设是正整数．把男女乒乓球选手各人配成男双、女双、混双各对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是 ．
二、解答题（第9题20分，第10━12题22分，共86分）
9. 设正实数满足．求证：．
10. 在如图所示多面体中，已知都与平面垂直．设，．求四周体与公共某些体积（用体现）．
11. 设平面四边形四边长分别为4个持续正整数。证明：四边形面积最大值不是整数。
12. 已知31位学生参与了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6道题．求证：存在两位学生，她们解出题目中至少有5道相似．
答案
一、填空题（每题8分，共64分）
1. 当时，，因而单调减；当时， ，此时亦单调减；当时，，. 令得 因而在处获得最小值6-2ln2．

2. 设．方程有实根双曲线与圆有公共交点. 注意到圆圆心位于直线之上，只须找到圆与双曲线相切时圆心位置即可. 易计算得，圆与双曲线切于A(1,1)点时，圆心坐标为或.圆与双曲线切于B(-1,-1)点时，圆心坐标为或.
因而，a取值范畴为．

3. 由和，可得．
故．

4. ．．
以上等号均可取到．故取值范畴是．
5. 由题设可知。令x=0得。 另一方面， 类似地， 因而，在中零点一定涉及这11个零点．
6. 设垂直平分线与抛物线相切于，切向为. 则方程为．设，由与垂直且中点在上，可得
．
由解得，代入得轨迹方程为
，．
7. 等价于
. 又由于，故满足条件点集构成了圆一某些，计算得其面积为．
8. 从3n名男选手中选用2n人作为男双选手有种选法，把她们配成n对男双选手有种配对方式。女选手类似。把n个男选手和n个女选手配成n对混双有n!种配对方式。因而，配对方式总数是．
二、 解答题（第9题20分，第10━12题每题22分，共86分）
9. 证明：对任意，由均值不等式有
----------------------------------（5分）
因而，
．------------（15分）
同理，对于任意，
因而，．---------------------（20分）
10. 设，则四周体是与公共某些．
-----------------------------------------------------（5分）
易计算得：到直线距离，---------------------------------（10分）
到平面距离， ------------------------------------------（15分）
到直线距离，．----------------（20分）
因而，．---------------------（22分）
11. 不妨设是凸四边形，其面积为S．记。由
，
可得
，--------------（8分）
两遍平方和得

等号成立当且仅当，即四点共圆--------------------（16分）
现根据假设为四个持续整数 由此
. 显然 因而，S不是整数。----------------------------------------------------（22分）
12. 证明：设是所有试题集合，是第位学生解出试题集合，．题目即证存在使得．--------------------------------（5分）
不妨设．共有个三元子集，每个恰涉及4个三元子集．因而，存在使得涉及相似三元子集，．---（15分）从而，．-----------------（22分）