和差化积,积化和差.doc

和差化积公式： 　
　sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 　　
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 　　
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 　　
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]编辑本段推导过程
和差化积公式由积化和差公式变形得到，积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。 　　推导过程： 　　
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 　　把两式相加得到： sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 　　所以， sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 　
　同理，把两式相减，得到：cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 　　把两式相加，得到：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ 　　所以，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 　　同理，两式相减，得到sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 　　这样，得到了积化和差的四个公式: 　　sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 　　cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 　　cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 　　sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 　　有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的α+β设为θ,α-β设为φ, 　　那么α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2 　　把α,β分别用θ,φ表示就可以得到和差化积的四个公式: 　　sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 　　sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 　　cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 　　cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
　　积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。 　　在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算，运算需要利用三角函数表。 　　运算过程：将两个数通过乘、除10的方幂化为0到1之间的数，通过查表求出对应的反三角函数值，即将原式化为10^k*sinαsinβ的形式，套用积化和差后再次查表求三角函数的值，并最后利用加减算出结果。 　　对数出现后，积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。

积化和差公式目录
　sinαsinβ = -[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 (注意公式前的负号) 　　
cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 　　
sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 　　
cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2编辑本段推导
　　积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。推导过程： 积化和差公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 　　把两式相加得到：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 　　所以，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 　　同理，把两式相减，得到：cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 　　把两式相加，得到：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ 　　所以，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 　　同理，两式相减，得到sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 　　这样，得到了积化和差的四个公式sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 　　cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 　　sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 　　cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
　　积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。 　　在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算，运算需要利用三角函数表。 　　运算过程：将两个数通过乘、除10的方幂化为0到1之间的数，通过查表求出对应的反三角函数值，即将原式化为10^k*sinαsinβ的形式，套用积化和差后再次查表求三角函数的值，并最后利用加减算出结果。 　　对数出现后，积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。扩展阅读： 1 大多数参考材料上关于积化和差公式给出了4个公式，实际上sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 与cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2，当后者α与β替换后为同一公式，因此真正有意义的只有3个公式，而没有必要记4个公式。