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存在性问题专题训练
【例题经典】
条件探索性问题
例1 如图，AB⊥BC于B，DC⊥BC于C．
（1）当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC上是否存在点P，使AP⊥PD．若存在，求线段BP的长；如果不存在，请说明理由．
（2）设AB=a，DC=b，AD=c，那么当a，b，c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．
【分析】（1）假设AP⊥PD，有△APB∽△PDC，进而求出BP．（2）方法如（1），但相比之下，添了分类思想．
【点评】本例为条件探索型，此类题的解法类似于分析法，假设结论成立，逐步探索其成立的条件．

存在探索性问题
例2 （2006年浙江省）如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若S梯形OBCD=，求点C的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【评析】本题是一道存在探索性问题的题型，（1）、（2）两问是常规题，容易解决．（3）问较难，要分不同情况考虑，首先画出符合题意的图形，然后结合图形进行计算或推理，若能推导出符合条件的结论或计算出某些未知数的值，则表示存在；若推出矛盾结论或求不出未知数的值，则所求的点就不存在．

【考点精练】
1．如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动点．过点B作直线MN平行于x轴，设MN分别交射线OA与X轴所形成的两个角的平分线于点E、F．
（1）求证：EB=BF；
（2）当为何值时，四边形AEOF是矩形？并证明你的结论；
（3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形．若存在，求点A与点B的坐标； 若不存在，请说明理由．

2．如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=，∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．
（1）求折痕CE所在直线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图所示的平面直角坐标系中，有一条抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，C为切点，AC=6cm，AB=10cm．
（1）试猜想∠ACM与∠B的大小有什么关系？并说明理由．
（2）在切线MN上是否存在一点D，使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请确定点D的位置；若不存在，请说明理由．

5．如图，抛物线y=ax2+bx过点A（4，0），正方形OABC的边BC与抛物线的一个交点为D，点D的横坐标为3，点M在y轴负半轴上，直线L过D、M两点且与抛物线的对称轴交于点H，tan∠OMD=．
（1）写出a，b的值：a=_____，b=______，并写出点H的坐标（______，______）．
（2）如果点Q是抛物线对称轴上的一个动点，那么是否存在点Q，使得以点O，M，Q，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

6．已知：如图，抛物线经过A（-3，0），B（0，4）和C（4，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（注：抛物线y=ax2+bx+c的对称 轴为x=-）

7．如图，已知抛物线L1：y=x2-4的图像与x轴交于A、C两点．
（1）若抛物线L1与L2关于x轴对称，求L2的解析式；
（2）若点B是抛物线L1上的一个动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在L2上；
（3）探索：当点B分别位于L1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．

8．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止），设P、Q同时出发并运动了t秒．
（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由．