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第十六讲 锐角三角函数
古希腊数学家和古代中华人民共和国数学家为了测量需要，她们发现并常常运用下列几何结论：在两个大小不同直角三角形中，只要有一种锐角相等，那么这两个三角形相应边比值一定相等．正是古人对天文观测和测量需要才引起人们对三角函数研究，1748年通过瑞士出名数学家欧拉应用，才逐渐形成目前sin、cos、tg、ctg通用形式．
三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间关系，是数形结合桥梁之一，有如下丰富性质：
1．单调性；
2．互余三角函数间关系；
3．同角三角函数间关系．
平方关系：sin2α+cos2α=1；
商数关系：tgα=，ctgα=；
倒数关系：tgαctgα=1．
【例题求解】
【例1】 已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝，tanB=2，AB=29cm，
则S△ABC = ．
思路点拨 过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段比，sinA=，tanB=，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题核心是求出m、n值．
注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C对边，R为△ABC外接圆半径，不难证明：与锐角三角函数有关几种重要结论：
(1) S△ABC=；
（2）．
【例2】 如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=( )
A． B． C．0.3 D．
思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角三角函数促使边角转化．
注：（1）求(已知)非特角三角函数值关是构造出含特殊角直角三角形．
（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求相应线段比，有时需通过等比来转换．
【例3】 如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC中点D作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE值．
思路点拨 作垂线把∠ACE变成直角三角形一种锐角，将问题转化成求线段比．
【例4】 如图，在△ABC中，AD是BC边上高，tanB=cos∠DAC，
(1)求证：AC＝BD；
(2)若sinC=，BC=12，求AD长．
思路点拨 (1)把三角函数转化为线段比，运用比例线段证明；
(2) sinC=，引入参数可设AD=12，AC＝13．
【例5】 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程两个根．
(1)求实数、应满足条件；
(2)若、满足(1)条件，方程两个根与否等于Rt△ABC中两锐角A、B正弦?
思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立、等式，注意鉴别式、三角函数值有界性，建立严密约束条件不等式，才干精确求出实数、应满足条件．
学历训练
1．已知α为锐角，下列结论①sinα+cosα=l；②如果α>45°，那么sinα>cosα；③如果cosα> ，那么α<60°； ④．对旳有 ．
2．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，BC=1，cosB，则这个菱形面积为 ．
3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB＝BD，运用此图可求得tan75°= ．
4．化简
(1)= ．
(2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°= ．
5．身高相等三名同窗甲、乙、丙参与风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直)，则三人所放风筝中( )
A．甲最高 B．丙最高 C．乙最低 D．丙最低
6．已知 sinαcosα=，且0°<α<45°则coα-sinα值为( )
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是AC中点，则ctg∠DBC值是( )
A． B． C． D．
8．如图，在等腰Rt△ABC中．∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD长为( )
A． B．2 C． 1 D．
9．已知有关方程两根恰是某直角三角形两锐角正弦，求m值．
10．如图，D是△ABC边AC上一点，CD=2AD，AE⊥BC于E，若BD＝8，sin∠CBD=，求AE长．
11．若0°<α<45°，且sinαconα=，则sinα= ．
12．已知有关方程有两个不相等实数根，α为锐角，那么α取值范畴是 ．
13．已知是△ABC三边，a、b、c满足等式，且有，则sinA+sinB+sinC值为 ．
14．设α为锐角，且满足sinα=3cosα，则sinαcosα等于( )
A． B． C． D．
15．如图，若两条宽度为1带子相交成30°角，则重叠某些(图中阴影某些)面积是( )
A．2 B． C．1 D．
16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB=，AC=，则AB长是( )
A． B． C．5 D．
17．己在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C对边，且c=，若有关方程有两个相等实根，又方程两实根平方和为6，求△ABC面积．
18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC＝90°，∠CBD°=30°，求AC长．
19．设 a、b、c是直角三角形三边，c为斜边，n为正整数，试判断与关系，并证明你结论．
20．如图，已知边长为2正三角形ABC沿直线滚动．
(1)当△ABC滚动一周到△A lB1C1位置，此时A点所运动路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14)
(2)设△ABC滚动240°，C点位置为Cˊ，△ABC滚动480°时，A点位置在Aˊ，请你运用三角函数中正切两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα·tanβ)，求出∠CACˊ+∠CAAˊ度数．
参照答案
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