二次函数存在性问题 -.doc

二次函数存在性问题
一、存在三角形：
1、如图，已知抛物线y=－x2+2x+3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。
（1）求点A、B、C的坐标。
（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积。
（3）连接AC，在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，直线AC：与抛物线都经过点、．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；
A
B
O
C
图9
y
x
P
E
（3） 当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形?若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由．

3、已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA<OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图11）。
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。（4分）
（2）如图12，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。（3分）
②又连接CD、CP（如图13），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没
有，请说明理由。（3分）

图11

图12
图13

二、 存在四边形：
1、如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点CA
B
D
C
P
Q
·
x
y
O
沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在问题（2）的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，
问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，
求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

A
B
y
C
x
O
M
2、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

3、如图，在平面直角坐标系中,且抛物线经过点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点、，使四边形为正方形，若存在，求点、的坐标；若不存在，请说明理由。

y
x
A
O
B
C
D

二次函数存在性问题
———方法问题
1、 如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F（16，0）、与y轴正半 轴交于点E（0，16），边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重 合，顶点C与点F重合；
（1） 求拋物线的函数表达式；
（2） 如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q（运动时，点P不与A、B两点重合， 点Q不与C、D两点重合）。设点A的坐标为（m，n） （m>0）。
① 当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；
②在j的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；
③ 当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存 在，请说明理由。

x
A
C
D
E
F
B
O
Q
P
y
B
O(D)
y
x
F(C)
E(A)
O
y
x
F
E
圖1
圖2
備用圖

2、将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（–3，0）．

B
C
A
O
y
x
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.
（1）求的值；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）在线段上是否存在点，使与相似.若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
（4题备用图）

4、如右上图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为　 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ；（3分）
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？（4分）
（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（3分）

5、已知：在直角平面坐标系中，二次函数的图像与X轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，与Y轴交于点C，且OC=OB=3AO
（1）、求二次函数的解析式；
（2）、设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD、BC交于点P，试判断直线AD、BC是否垂直，并证明你的结论；
（3）、在（2）的条件下，若点M、N分别是射线PC、PD上的点，问：是否存在这样的点M、N,使得以点P、M、N为顶点的三角形与△ACP全等？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由。

二次函数存在性问题
————特殊性问题
1、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、F（－，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
-
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-
y
0
x
B
A
E
F
C
4
3
2
1
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-2
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

2、如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线上，过点B作轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线过点O、A两点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。

3、 △ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
（1）　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；
（2）　如果抛物线（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：
①　当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
②　设，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
O
y
x
C
B
A

1
1
-1
-1

4、已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.
(1）求字母a，b，c的值；
(2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
(3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.

5、如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为
（－6，－4）．(1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；
(2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
(3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
(4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

6、如图所示，已知点B（1，3）,C(1,0),直线y=x+k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD.
（1）、求A、D两点的坐标；
（2）、若抛物线经过C、D两点，求抛物线的解析式；
x
y
D
A
C
B
O
（3）、将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交于点E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使直线EM∥x轴，若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由。