四边形家族成员—棱形、矩形与正方形专题讲座.doc

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来
明镜讲堂
第六讲 棱形、矩形与正方形
【知识导航】

1. 棱形
（1） 平行四边形（rhombus）：一组邻边相等的平行四边形叫棱形．
（2） 性质：
①菱形的四边都相等；
②菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角；
③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。
（3） 判定
①四边都相等的四边形是菱形
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
③一组邻边相等的平行四边形是菱形
（4） 菱形的面积
①S面积=底×高 ②设菱形对角线分别为，则=
2. 矩形
（1） 矩形（rectangle）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2） 矩形的性质
①矩形的四个角都是直角
②矩形的对角线互相平分且相等
③矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形
（3） 矩形的判定
①三个角都是直角的四边形是矩形
②对角线互相平分且相等的四边形是矩形
③有一个角是直角的平行四边形是矩形
（4） 推论
①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
②如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

典型考点讲解
专题一：菱形的性质概念题
例题1、 菱形的边、角、对角线、高、面积之间的关系
（1） 边、两对角线与面积关系：知其二可得余三

（2） 有一角为特殊角，如60°、90°、120°时，边、两对角线与面积的关系：知其一可得余四

变式训练·课堂随练
（1） 菱形的周长是20cm，一条对角线的长是6cm，则菱形的面积是________________。
（2） 菱形的一个内角是120°，一条边长是10cm，则菱形的高是____cm。
A、10 B、5 C、5 D、无法求出
（3） 菱形的面积是50平方厘米，一个内角为30°，则其边长是________。
（4） 菱形的周长是40cm，一条对角线的长是10cm，则菱形相邻的两个内角分别是______和_________。
（5） 菱形的对角线的平方和与周长平方的比值是____。
A、1：4 B、1：2 C、2：1 D、4：1

专题二：菱形的判定与运用
例题2、 如图，ABCD的对角线BD的垂直平分线交AB于E，交CD于F，试说明四边形DEBF是菱形。

例题3、 如图，在△ABC中，D为BC边上一动点（D不与B、C两点重合），DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F。试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形。

变式训练·课堂随练
1. 如图所示，将平行四边形ABCD折叠，使点B与点D重合，折叠分别交AB，CD于E和F，连接DE，BF，求证：四边形BFDE是菱形

2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC边上的垂直平分线交AC于D，交AB于E，延长DE到F，使BF=CE，
（1）四边形BCEF是平行四边形吗？说明你的理由。
（2）当∠A等于多少时，四边形BCEF是菱形，并说明你的理由
（3）四边形BCEF可以是正方形吗？为什么？

3. 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AD于F,交AC于E,若EG⊥BC于G,连结FG.求证四边形AFGE是菱形

专题三：矩形的性质概念题
矩形：长度、角度——勾股的典型运用
例题4、 证明矩形的对角线相等，由此可得直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半

第1题图
变式训练·课堂随练
1. 如图，在矩形ABCD中，过BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN和PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 S2 (填“>”、“=”或“<”)

2. 矩形ABCD中，AB=8,BC=6,E、F是AC的三等份点，则△BEF的面积是
3. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，求图中阴影部分的面积

4. 将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使得BC与AD相交于点E，若AD=8cm，AB=4cm，则△BED的面积为 。

专题四：矩形的判定与运用
例题5、 已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形

变式训练·课堂随练
1. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC,PF⊥BC,E，F分别为垂足，求证:AP=EF

A
B
C
D
M
N
E
第2题图
2. （淄博）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形
ADCE是一个正方形？并给出证明．

例题6、 如图已知矩形ABCD中，AC与BD交于O,DE平分∠ADC交BC于E,∠BDE=15°，
（1） 试说明CO=CE；
（2） 试求∠COE的度数

专题五：平行四边形的动点问题
例题7、 在四边形ABCD中, AD//BC , AD =24cm，点P从A开始,沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q同时从C点开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动, 当其中一点到达端点时，另一个动点随之停止运动。设运动的时间t为秒，t为何值时, 四边形PQCD、四边形PQBA为平行四边形？

例题8、 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从D开始向A以1cm/s的速度移动，若P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t≤6）,那么：
⑴当t为什么值时，△QAP是等腰直角三角形。
⑵求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论。

变式训练·思维拓展
1. 如图，点P是边为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是（ ）
A、2 B、1 C、 D、
2. 在在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD边上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF= ．

第2题图2
第2题图1

题3图
3. 如图，以△ABC的各边向同侧做正△ABD、正△BCF、正△ACE⑴求证：四边形AEFD是平行四边形。
⑵当△ABC是__________三角形时，四边形AEFD是菱形。
⑶当∠BAC= _____度时，四边形AEFD是矩形。
⑷当条件满足_____时，四边形AEFD是正方形。
⑸当∠BAC= _____度时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在。

C组（能力拓展·中考·竞赛）
1. 如图，点P为矩形ABCD内任一点. 求证：

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