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一元二次方程
专题一：一元二次方程解法例析
知识点：
1、一元二次方程：①定义；②、一般形式：，会求一般形式下的二次项系数 ，一次项系数及常数项；注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。
2、一元二次方程的四种解法：①、直接开平方法；②、配方法；③、公式法；④、因式分解法；
注：、配方之前要把常数项移到等号的右边，然后再把二次项的系数化为1，然后配方。
配方时，方程两边同时加 ；
用公式法解时：（用公式法解时要先把一元二次方程化为一般形式。）
①当△>0时，一元二次方程有 的实数根； ；
②当△=0时，一元二次方程有 的实数根； ；
③当△<0时，一元二次方程 实数根；
因式分解前:一元二次方程的等号的右边要化为 。（注意十字相乘法）
3、了解：①、换元法解特殊的（具有“倒数”和“平方”等特殊结构形式）的一元二次方程；②、可以化为一元二次方程的分式方程的解法和和步骤；③、绝对值方程的解法。
4、会利用方程的根进行整体代入求某些代数式的值；
例题解析及课堂练习：
例1、k为何值时，关于x的方程是一元二次方程，并指出二次项系数 ，一次项系数及常数项.
练习：写出方程二次项系数 ，一次项系数及常数项；
例2、用配方法解：
练习：1、①、；②、；
2、用配方法解：①、；②、。
例3、解方程：⑴、；⑵、
练习：1、；2、
3、；4、；5、。
例4、已知a是方程的根，则；.
练习：已知：是方程的根，则；。
课堂选练：
一、填空：
1、若方程的一根为1，则a= ,另一根是 。
2、已知：，则x= 。
3、已知：，则= 。
4、用换元法解，设，则原方程变形成y的形式为： 。
5、方程是关于x的一元二次方程，则m= 。
6、已知是方程的根，则= ，= ，= 。
二、解下列方程：
1、（用配方法）； 2、；
3、 ； 4、；
三、 已知a是方程的根，的值？
四、 已知c为实数，并且的一个根的相反数是方程的一个根，求的根和c的值？
五、已知方程的一个根为x=3,求它的另一个根及m的值。
专题二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系部分
知识点：
1、一元二次方程的根的情况是判别式△=由判定：
①当△>0时，一元二次方程有 的实数根； ；
②当△=0时，一元二次方程有 的实数根； ；
③当△<0时，一元二次方程 实数根；
掌握一元二次方程的根的判别式的应用常见的类型：①、判定根的情况；②、进行相关的证明；③、根据根的情况来确定字母的取值（范围）。
2.韦达定理：
如果的两个实数根是，那么 ， 。
解一元二次方程的根与系数关系定理（韦达定理）的应用常见的类型：
①.判定根的情况（注意含字母系数的一元二次方程）；
②.已知一根，求另一根和待定字母的值；
③.已知两根写出方程〔关于x的一元二次方程若，设两根为，则〕；
④.求“嵌入”了两根为结构的代数式的值〔注意各种变形，如：， 等〕；
⑤.进行相关的证明；
⑥．根据两根的某种特殊关系求待定字母的值〔在一元二次方程有根的情况下若：两根互为相反数，则b=0;两根互为倒数，则a=c〕.
例题解析：
例1、不解方程判定关于下列方程根的情况：
⑴ .；⑵.；⑶.。
例2、已知关于x的方程，求证：此方程无实数根。
例3、关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围？
例4、已知方程 的两根是，不解方程，求下列代数式的值:
⑴.； ⑵. ⑶.； ⑷..
例5、m为何值时，方程，⑴、两根互为相反数；⑵、两根互为
倒数.
例6、已知是方程的两个实数根，且满足等式。求的值。
例7、已知方程为实数，且。不解方程，证明：（1）这个方程两个不相等的实数根；（2）一个根大于1，另一个根小于1。
例8、已知是二次方程的两个根，问当为何值时，有最小值，最小值是多少？
例9、已知方程，求满足下列条件的的值：（1）两个正根；（2）一个正根，一个负根；（3）两个根互为倒数。
例10、已知是二次方程的两根，为方程的两根，求的值。
课堂选练：
l 已知方程的两根为，且，那么m的值等于（ ）.
A、4 B、-4 C、8 D、-8
l 2、已知关于x为未知数的方程有两个相等的实数根，那么c= .
l 3、关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围 .
l 4、二次三项式是完全平方式，则k= ,m= .
l 5、在一元二次方程，⑴、有一根为0，则c= ；
l ⑵、有一根为1，则a+b+c= ;⑶、有一根为-1，则a-b+c= ;⑷、若两根互为相反数，则b= ;⑸、若两根互为倒数，则c= 。
l 6、以为两根的关于x一元二次方程方程是： .
l 7、若是的两个不相等的实数根，则= .
l 8、若有方程与，则= ，= .
l 9、关于x的方程的一个根是3，则k= ，另一根为 .
l 10、关于x的一元二次方程没有实数根，求k的最小整数值。
11、 关于x的一元二次方程的两根互为相反数，求m的值。
12、 已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程的两根相等，判断此三角形的形状。
13、关于x的一元二次方程
⑴、求证：此方程有两个不相等的实数根；
⑵、如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值.
14、已知关于x的一元二次方程
⑴、求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
⑵、若等腰△ABC的一边长a=6,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？
15、 若两个一元二次方程和有且只有一个相同的根，求k的值及方程相异的根。
习题：
1． 已知方程有实数根，且
（1）当 时，方程的两根互为倒数；
（2）当 时，方程的两根互为相反数；
（3）当 时，方程两根的乘积等于。
2． 已知是方程的两个根，求的值。
3． 已知是方程的两个根，且满足等式求的值。
4． 已知关于的方程有两个实数根，且求的值。
5． 已知方程的两个实数根。试求以和为根的一元二次方程。
6． 已知是方程的一个实数根，求证：以为长度的三条线段不能构成三角形。
7． 已知，当取何值时，方程有两个不相等的实数根。
8． 已知二次方程。（1）当方程有两个不相等的实数根时，试确定值的范围；（2） 当方程的两个根的倒数和等于4时，求这两个根的立方和。
9． 方程都不为零）的两根为求的值。
10．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，且这两根之和加上19等于两根之积，求此一元二次方程。
11．设是方程的个根，
求证：。
12．已知，求下列各式的值；
（1）；（2）。
13．已知是关于的方程的两个实数根，且，求的值。
14.已知是二次方程的两实数根，是二次方程的两实数根，且求的值。
15、已知关于的一元二次方程。
（1） 求证：这个方程一定有两个实数根；（2）求出方程的两个实数根；
（2） 若方程的两个实数根满足关系式，求的值。
16．在关于的一元二次方程中，是直角三角形的三边长，为斜边长。（1）求证：此方程必有两个相等的实数根；（2）若方程两根，且，求::
17．求证：不论为何实数，关于的方程有两个不相等的实数根。
18．一元二次方程有两个实数根，若，求的值。
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