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2.函数与导数
1． 函数是数集到数集的映射, 作为一个映射, 就必须满足映射的条件, 只能一对一或者多对一, 不能一对多．
[问题1] 设A＝{0,1,2,4}, B＝, 判断下列对应关系是否是A到B的映射．(请在括号中填”是”或”否”)
①f: x→x3－1( ) ②f: x→(x－1)2( )
③f: x→2x－1( ) ④f: x→2x( )
答案 ①否 ②否 ③是 ④否
2． 求函数的定义域, 关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解, 如开偶次方根, 被开方数一定是非负数; 对数式中的真数是正数; 列不等式时, 应列出所有的不等式, 不应遗漏．
对抽象函数, 只要对应关系相同, 括号里整体的取值范围就完全相同．
[问题2] 函数y＝的定义域是________．
答案
3． 用换元法求解析式时, 要注意新元的取值范围, 即函数的定义域问题．
[问题3] 已知f(cos x)＝sin2x, 则f(x)＝________.
答案 1－x2(x∈[－1,1])
4． 分段函数是在其定义域的不同子集上, 分别用不同的式子来表示对应关系的函数, 它是一个函数, 而不是几个函数．
[问题4] 已知函数f(x)＝则f＝________.
答案
5． 判断函数的奇偶性, 要注意定义域必须关于原点对称, 有时还要对函数式化简整理, 但必须注意使定义域不受影响．
[问题5] f(x)＝是________函数(填”奇””偶”或”非奇非偶”)．
答案 奇
解析 由得定义域为(－1,0)∪(0,1),
f(x)＝＝.
∴f(－x)＝－f(x), f(x)为奇函数．
6． 弄清函数奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则其单调性完全相同; 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则其单调性恰恰相反．
(2)若f(x)为偶函数, 则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0, 则必有f(0)＝0.
故”f(0)＝0”是”f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．
[问题6] 设f(x)＝lg是奇函数, 且在x＝0处有意义, 则该函数为 ( )
A．(－∞, ＋∞)上的减函数
B．(－∞, ＋∞)上的增函数
C．(－1,1)上的减函数
D．(－1,1)上的增函数
答案 D
解析 由题意可知f(0)＝0, 即lg(2＋a)＝0, 解得a＝－1,
故f(x)＝lg , 函数f(x)的定义域是(－1,1),
在此定义域内f(x)＝lg ＝lg(1＋x)－lg(1－x),
函数y1＝lg(1＋x)是增函数, 函数y2＝lg(1－x)是减函数, 故f(x)＝y1－y2是增函数．选D.
7． 求函数单调区间时, 多个单调区间之间不能用符号”∪”和”或”连接, 可用”及”连接, 或用”, ”隔开．单调区间必须是”区间”, 而不能用集合或不等式代替．
[问题7] 函数f(x)＝的减区间为________．
答案 (－∞, 0), (0, ＋∞)
8． 求函数最值(值域)常见的方法:
(1)单调性法: 适合于已知或能判断单调性的函数．
(2)图象法: 适合于已知或易作出图象的函数．
(3)基本不等式法: 特别适合于分式结构或两元的函数．
(4)导数法: 适合于可导函数．
(5)换元法(特别注意新元的范围)．
(6)分离常数法: 适合于一次分式．
(7)有界函数法: 适用于含有指、 对函数或正、 余弦函数的式子．无论用什么方法求最值, 都要考查”等号”是否成立, 特别是基本不等式法, 而且要优先考虑定义域．
[问题8] 函数y＝(x≥0)的值域为________．
答案
解析 方法一 ∵x≥0, ∴2x≥1, ∴≥1,
解得≤y<1.
∴其值域为y∈.
方法二 y＝1－, ∵x≥0, ∴0<≤,
∴y∈.
9． 函数图象的几种常见变换
(1)平移变换: 左右平移——”左加右减”(注意是针对x而言); 上下平移——”上加下减”．
(2)翻折变换: f(x)→|f(x)|; f(x)→f(|x|)．
(3)对称变换: ①证明函数图象的对称性, 即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上;
②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称;
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0 (y轴)对称; 函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．
[问题9] 函数y＝|log2|x－1||的递增区间是________．
答案 [0,1), [2, ＋∞)
解析 ∵y＝
作图可知正确答案为[0,1), [2, ＋∞)．
10．有关函数周期的几种情况必须熟记: (1)f(x)＝f(x＋a)(a>0), 则f(x)的周期T＝a; (2)f(x＋a)＝(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x), 则f(x)的周期T＝2a.
[问题10] 对于函数f(x)定义域内任意的x, 都有f(x＋2)＝－, 若当2<x<3时, f(x)＝x, 则f(2 012.5)＝________.
答案 －
11．二次函数问题
(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值, 求最值问题用”两看法”: 一看开口方向, 二看对称轴与所给区间的相对位置关系．
(2)二次函数解析式的三种形式:
①一般式: f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0);
②顶点式: f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0);
③零点式: f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(3)一元二次方程实根分布: 先观察二次系数, Δ与0的关系, 对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号, 再根据上述特征画出草图．
特别注意若原题中没有指出是”二次”方程、 函数或不等式, 要考虑到二次项系数可能为零的情形．
[问题11] 若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根, 则a的范围为________．
答案
12．(1)对数运算性质
已知a>0且a≠1, b>0且b≠1, M>0, N>0.
则loga(MN)＝logaM＋logaN,
loga＝logaM－logaN,
logaMn＝nlogaM,
对数换底公式: logaN＝.
推论: logamNn＝logaN; logab＝.
(2)指数函数与对数函数的图象与性质
可从定义域、 值域、 单调性、 函数值的变化情况考虑, 特别注意底数的取值对有关性质的影响, 另外, 指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1), 对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)．
[问题12] 函数y＝loga|x|的增区间为________________________________________．
答案 当a>1时, (0, ＋∞); 当0<a<1时, (－∞, 0)
13．幂函数
形如y＝xα(α∈R)的函数为幂函数．
(1)①若α＝1, 则y＝x, 图象是直线．
②当α＝0时, y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线．
③当0<α<1时, 图象过(0,0)与(1,1)两点, 在第一象限内是上凸的．
④当α>1时, 在第一象限内, 图象是下凸的．
(2)增减性: ①当α>0时, 在区间(0, ＋∞)上, 函数y＝xα是增函数, ②当α<0时, 在区间(0, ＋∞)上, 函数y＝xα是减函数．
[问题13] 函数f(x)＝x－x的零点个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
14．函数与方程
(1)对于函数y＝f(x), 使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．事实上, 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．
(2)如果函数y＝f(x)在区间[a, b]上的图象是一条连续曲线, 且有f(a)f(b)<0, 那么函数y＝f(x)在区间[a, b]内有零点, 即存在c∈[a, b], 使得f(c)＝0, 此时这个c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立．
[问题14] 已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4, 其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线, 则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根 ( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 f(x)＝(x－2)(x－1)g(x)＋3x－4,
∴f(1)＝0＋3×1－4＝－1<0, f(2)＝2×3－4＝2>0.
又函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线,
∴函数f(x)在区间(1,2)内有零点．
因此方程f(x)＝0在(1,2)内必有实数根．
15．求导数的方法
①基本导数公式: c′＝0 (c为常数); (xm)′＝mxm－1 (m∈Q); (sin x)′＝cos x; (cos x)′＝－sin x; (ex)′＝ex; (ax)′＝axln a; (ln x)′＝; (logax)′＝(a>0且a≠1)．
②导数的四则运算: (u±v)′＝u′±v′;
(uv)′＝u′v＋uv′; ′＝(v≠0)．
③复合函数的导数: yx′＝yu′·ux′.
如求f(ax＋b)的导数, 令u＝ax＋b, 则
(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.
[问题15] f(x)＝, 则f′(x)＝________.
答案
16．利用导数判断函数的单调性: 设函数y＝f(x)在某个区间内可导, 如果f′(x)>0, 那么f(x)在该区间内为增函数; 如果f′(x)<0, 那么f(x)在该区间内为减函数; 如果在某个区间内恒有f′(x)＝0, 那么f(x)在该区间内为常数．
注意: 如果已知f(x)为减函数求字母取值范围, 那么不等式f′(x)≤0恒成立, 但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．
[问题16] 函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数, 则a的取值范围是________．
答案 a≥
解析 f(x)＝ax3－x2＋x－5的导数f′(x)＝3ax2－2x＋1.
由f′(x)≥0, 得解得a≥.
a＝时, f′(x)＝(x－1)2≥0,
且只有x＝1时, f′(x)＝0, ∴a＝符合题意．
17．导数为零的点并不一定是极值点, 例如: 函数f(x)＝x3, 有f′(0)＝0, 但x＝0不是极值点．
[问题17] 函数f(x)＝x4－x3的极值点是________．
答案 x＝1
18．定积分
运用微积分基本定理求定积分ʃf(x)dx值的关键是用求导公式逆向求出f(x)的原函数, 应熟练掌握以下几个公式:
ʃxndx＝|,
ʃsin xdx＝－cos x|,
ʃcos xdx＝sin x|,
ʃdx＝ln x|(a>0, b>0),
ʃaxdx＝|.
[问题18] 计算定积分ʃ(x2＋sin x)dx＝________.
答案
解析 ʃ(x2＋sin x)dx＝＝.
易错点1 函数概念不清致误
例1 已知函数f(x2－3)＝lg, 求f(x)的定义域．
错解 由>0, 得x>2或x<－2.
∴函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<－2}．
找准失分点 错把lg的定义域当成了f(x)的定义域．
正解 由f(x2－3)＝lg, 设x2－3＝t, 则x2＝t＋3,
因此f(t)＝lg.
∵>0, 即x2>4, ∴t＋3>4, 即t>1.
∴f(x)的定义域为{x|x>1}．
易错点2 忽视函数的定义域致误
例2 判断函数f(x)＝(1＋x)的奇偶性．
错解 因为f(x)＝(1＋x)＝＝,
因此f(－x)＝＝＝f(x),
因此f(x)＝(1＋x)是偶函数．
找准失分点 对函数奇偶性定义理解不够全面, 事实上对定义域内任意一个x, 都有f(－x)＝f(x), 或f(－x)＝－f(x)．
正解 f(x)＝(1＋x)有意义时必须满足≥0⇒－1<x≤1, 即函数的定义域是{x|－1<x≤1}, 由于定义域不关于原点对称, 因此该函数既不是奇函数也不是偶函数．
易错点3 混淆”切点”致误
例3 求过曲线y＝x3－2x上的点(1, －1)的切线方程．
错解 ∵y′＝3x2－2,
∴k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1,
∴切线方程为y＋1＝x－1, 即x－y－2＝0.
找准失分点 错把(1, －1)当切点．
正解 设P(x0, y0)为切点, 则切线的斜率为
y′|x＝x0＝3x－2.
∴切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0),
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又知切线过点(1, －1), 把它代入上述方程, 得
－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0),
整理, 得(x0－1)2(2x0＋1)＝0,
解得x0＝1, 或x0＝－.
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1),
或y－(－＋1)＝(－2)(x＋),
即x－y－2＝0, 或5x＋4y－1＝0.
易错点4 极值的概念不清致误
例4 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10, 则a＋b＝________.
错解 －7或0
找准失分点 x＝1是f(x)的极值点⇒f′(1)＝0;
忽视了”f′(1)＝0D⇒/x＝1是f(x)的极值点”的情况．
正解 f′(x)＝3x2＋2ax＋b, 由x＝1时, 函数取得极值10, 得
联立①②得或
当a＝4, b＝－11时,
f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)
在x＝1两侧的符号相反, 符合题意．
当a＝－3, b＝3时,
f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同,
因此a＝－3, b＝3不符合题意, 舍去．
综上可知a＝4, b＝－11, ∴a＋b＝－7.
答案 －7
易错点5 错误利用定积分求面积
例5 求曲线y＝sin x与x轴在区间[0,2π]上所围部分的面积S.
错解 分两部分, 在[0, π]上有ʃsin xdx＝2, 在[π, 2π]上有ʃsin xdx＝－2, 因此所求面积S为2＋(－2)＝0.
找准失分点 面积应为各部分的绝对值的代数和, 也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积, 而是面积的相反数．因此, 不应该将两部分直接相加．
正解 S＝ʃsin xdx＋＝2＋2＝4.
答案 4
1． 集合{(x, y)|y＝x2, x∈[a, b](a, b为常数)}∩{(x, y)|x＝2}中元素的个数为 ( )
A．0 B．1 C．0或1 D．不确定
答案 C
解析 从函数观点看, 题中交集中元素的个数, 实际上是函数y＝x2(x∈[a, b])的图象与直线x＝2交点的个数, 若a≤2≤b时, 根据函数定义中”唯一”知交集中元素的个数为1; 若2D∈/[a, b], 则交集中元素的个数为0, 故元素的个数为0或1.
2． 函数y＝的定义域为 ( )
A．(－4, －1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
答案 C
解析 由⇒⇒－1<x<1,
故选C.
3． 下列各式中错误的是 ( )
A．0.83>0.73 B．log0.50.4>log0.50.6
C．0.75－0.1<0.750.1 D．lg 1.6>lg 1.4
答案 C
解析 构造相应函数, 再利用函数的性质解决, 对于A, 构造幂函数y＝x3, 为增函数, 故A对; 对于B、 D, 构造对数函数y＝log0.5x为减函数, y＝lg x为增函数, B、 D都正确; 对于C, 构造指数函数y＝0.75x, 为减函数, 故C错．
4． 函数f(x)＝－＋log2x的一个零点落在下列哪个区间 ( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 根据函数的根的存在性定理得f(1)f(2)<0.
5． 函数y＝, x∈(－π, 0)∪(0, π)的图象可能是下列中的 ( )
答案 C
解析 y＝是偶函数, 故排除A, 令f(x)＝x－sin x, x∈(0, π), 则f′(x)＝1－cos x, x∈(0, π), 易知f′(x)≥0在x∈(0, π)上恒成立, 因此f(x)min>f(0)＝0, x∈(0, π), ∴y＝>1, 故选C.
6． 对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中a, b∈R, c∈Z), 选取a, b, c的一组值计算f(1)和f(－1), 所得出的正确结果一定不可能是 ( )
A．4和6 B．3和1
C．2和4 D．1和2
答案 D
解析 ∵f(1)＝asin 1＋b＋c, f(－1)＝－asin 1－b＋c,
且c是整数, ∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶数．
在选项中只有D中两数和为奇数, 不可能是D.
7． 已知f(x)＝则f的值为________．
答案
解析 f＝f＋1
＝f＋1＝sin＋1
＝－＋1＝.
8． 若函数f(x)是定义在R上的偶函数, 在(－∞, 0]上是减函数, 且f(2)＝0, 则使得f(x)<0的x的取值范围是________．
答案 (－2,2)
解析 因为f(x)是偶函数, 因此f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
因为f(x)<0, f(2)＝0.因此f(|x|)<f(2)．
又因为f(x)在(－∞, 0]上是减函数,
因此f(x)在(0, ＋∞)上是增函数,
因此|x|<2, 因此－2<x<2.
9． 已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根, 则实数a的取值范围是________．
答案 (1, ＋∞)
解析 方程f(x)＋x－a＝0的实根也就是函数y＝f(x)与y＝a－x
的图象交点的横坐标, 如图所示, 作出两个函数图象, 显然当
a≤1时, 两个函数图象有两个交点, 当a>1时, 两个函数图象
的交点只有一个．因此实数a的取值范围是(1, ＋∞)．
10．已知函数f(x)＝为R上的单调函数, 则实数a的取值范围是________．
答案 [－1,0)
解析 若a＝0, 则f(x)在定义域的两个区间内都是常数函数, 不具备单调性; 若a>0, 函数f(x)在两段上都是单调递增的, 要想使函数在R上单调递增, 只要(a＋2)e0≤1, 即a≤－1, 与a>0矛盾, 此时无解; 若－2<a<0, 则函数在定义域的两段上都是单调递减的, 要想使函数在R上单调递减, 只要(a＋2)e0≥1, 即a≥－1即可, 此时－1≤a<0; 当a≤－2时, 函数f(x)不可能在R上单调．综上所述, a的取值范围是[－1,0)．
11．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值, 则常数c的值为______________________________．
答案 6
解析 f(x)＝x3－2cx2＋c2x, f′(x)＝3x2－4cx＋c2,
f′(2)＝0⇒c＝2或c＝6, 若c＝2, f′(x)＝3x2－8x＋4,
令f′(x)>0⇒x<或x>2, f′(x)<0⇒<x<2,
故函数在(－∞, )及(2, ＋∞)上单调递增, 在(, 2)上单调递减,
∴x＝2是极小值点, 故c＝2不合题意, 同样验证可知c＝6符合题意．
12．已知函数f(x)＝xln x, g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)如果函数g(x)的单调减区间为, 求函数g(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下, 求函数y＝g(x)的图象在点P(－1,1)处的切线方程;
(3)若不等式2f(x)≤g′(x)＋2的解集为P, 且(0, ＋∞)⊆P, 求实数a的取值范围．
解 (1)g′(x)＝3x2＋2ax－1.
由题意3x2＋2ax－1<0的解集是,
即3x2＋2ax－1＝0的两根分别是－, 1.
将x＝1或－代入方程3x2＋2ax－1＝0得a＝－1.
因此g(x)＝x3－x2－x＋2.
(2)由(1)知g′(x)＝3x2－2x－1, 因此g′(－1)＝4,
因此点P(－1,1)处的切线斜率k＝g′(－1)＝4,
因此函数y＝g(x)的图象在点P(－1,1)处的切线方程为y－1＝4(x＋1), 即4x－y＋5＝0.
(3)因为(0, ＋∞)⊆P, 因此2f(x)≤g′(x)＋2, 即2xln x≤3x2＋2ax＋1对x∈(0, ＋∞)上恒成立, 可得a≥ln x－x－对x∈(0, ＋∞)上恒成立．
设h(x)＝ln x－－,
则h′(x)＝－＋＝－.
令h(x)＝0, 得x＝1或x＝－(舍)．
当0<x<1时, h′(x)>0; 当x>1时, h′(x)<0.
因此当x＝1时, h(x)取得极大值也是最大值,
h(x)max＝－2, 因此a≥－2.
因此a的取值范围是[－2, ＋∞).
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