2022年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答一元二次方程的整数整数解.doc

第五讲 一元二次方程整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程整数解问题始终是个热点，它将古老整数理论与老式一元二次方程知识相结合，波及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数一元二次方程整数解问题基本方略有： 从求根入手，求出根有理体现式，运用整除求解； 从鉴别式手，运用鉴别式求出参数或解取值范畴，或引入参数(设=)，通过穷举，逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数关系式中消去参数，得到有关两根不定方程，借助因数分解、因式分解求解； 从变更主元入人，当方程中参多次数较低时，可考虑以参数为主元求解注：一元二次方程整数根问题，既波及方程解法、鉴别式、韦达定理等与方程有关知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切有关【例题求解】【例1】若有关方程解都是整数，则符合条件整数是值有 个思路点拨 用因式分解法可得到根简朴体现式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样拟定是值才干全面而精确注：系数含参数方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有也许是一次方程，根据问题题设条件，看与否要分类讨论【例2】 已知、为质数且是方程根，那么值是( ) A B C D 思路点拨 由韦达定理、关系式，结合整数性质求出、值 【例3】 试拟定一切有理数，使得有关方程有根且只有整数根 思路点拨 由于方程类型未拟定，因此应分类讨论当时，由根与系数关系得到有关r两个等式，消去r，运用因式(数)分解先求出方程两整数根【例4】 当为整数时，有关方程与否有有理根?如果有，求出值；如果没有，请阐明理由 思路点拨 整系数方程有有理根条件是为完全平方数设=(为整数)解不定方程，讨论存在性注：一元二次方程 (a0)而言，方程根为整数必为有理数，而=为完全平方数是方程根为有理数充要条件【例5】 若有关方程至少有一种整数根，求非负整数值思路点拨 因根体现式复杂，从韦达定理得出两个关系式中消去也较困难，又因次数低于次数，故可将原方程变形为有关一次方程 学历训练1已知有关方程根都是整数，那么符合条件整数有 2已知方程有两个质数解，则m 3给出四个命题：整系数方程(a0)中，若为一种完全平方数，则方程必有有理根；整系数方程(a0)中，若方程有有理数根，则为完全平方数；无理数系数方程(a0)根只能是无理数；若、均为奇数，则方程没有有理数根，其中真命题是 4已知有关一元二次方程 (为整数)两个实数根是、，则= 5设rn为整数，且4m0， 0(1)求证：0,0，0, 0；(2)求证：；(3)求、所有也许值13如果直角三角形两条直角边都是整数，且是方程根(为整数)，这样直角三角形与否存在?若存在，求出满足条件所有三角形三边长；若不存在，请阐明理由 参照答案