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第二十讲 直线与圆
直线与圆位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点个数来鉴定，也可以从圆心到直线距离与圆半径大小比较来考察．
讨论直线与圆位置关系重点是直线与圆相切，直线与圆相切波及切线性质和鉴定、切线长定理、弦切角概念和性质、切割线定理等丰富知识，这些丰富知识相应着如下基本图形、基本结论：
注： 点与圆位置关系和直线与圆位置关系拟定有共同精确鉴定措施，即量化措施(距离与半径比较)，我们称“由数定形”，勾股定理逆定理也具有这一特点．
【例题求解】
【例1】 如图，AB是半圆O直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC长为 ．
思路点拨 从C点看，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD，则OD⊥EC，又有相似三角形，先求出⊙O半径．
注：连结圆心与切点是一条常用辅助线，运用切线性质可构造出直角三角形，在圆证明与计算中有广泛应用．
【例2】 如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C一种动点，则∠BPC度数是( )
A．65° B．115° C．60°和115° D．130°和50°
(山西省中考题)
思路点拨 略
【例3】 如图，以等腰△ABC一腰AB为直径⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是⊙O切线．
问：(1)若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB为半径圆交BC于D，DE⊥AC条件不变，那么上述结论与否还成立?请阐明理由；
(2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圆心O在AB什么位置时，⊙O与AC相切? (黑龙江省中考题)
思路点拨 (1)是结论摸索题，(2)是条件摸索题，从切线鉴定措施和性质入手，分别画图，方能求解．
【例4】 如图，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上动点(与点A、B不重叠)，Q是BC边上动点(与点B、C不重叠)．
(1)当PQ∥AC，且Q为BC中点时，求线段PC长；
(2)当PQ与AC不平行时，△CPQ也许为直角三角形吗?若有也许，求出线段CQ长取值范畴；若不也许，请阐明理由． (广州市中考题)
思路点拨 对于(2)，易发现只有点P能作为直角顶点，建立一种研究模型——以CQ为直径圆与线段AB交点就是符合规定点P，从直线与圆相切特殊位置入手，以此拟定CQ取值范畴．
注：鉴定始终线为圆切线是平面几何中一种常用问题，鉴定基本措施有：
(1)从直线与圆交点个数入手；
(2)运用角证明，即证明半径和直线垂直；
(3)运用线段证明，即证明圆心到直线距离等于半径．
一种圆问题，从不同条件出发，可有不同添辅助线方式，进而可得不同证法，对于分层次设问问题，需整体考虑；
【例5】如图，在正方形ABCD中，AB=1，是以点B为圆心，AB长为半径圆一段弧，点E是边AD上任意一点（点E与点A、D不重叠），过E作所在圆切线，交边DC于点F，G为切点．
（1）当∠DEF=45°时，求证点G为线段EF中点；
（2）设AE=x，FC=y，求y有关x函数解析式，并写出函数定义域；
（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图，当EF=时，讨论△AD1D与△ED1F与否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只规定写出结论，不规定写出理由．
思路点拨 图中有多条⊙B切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问基本，对于(3)，由(2)求出值，拟定E点位置，这是解题核心．
注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆有关性质、相似三角形鉴定与性质、切线鉴定与性质、等边三角形鉴定与性质等丰富知识，并结合了待定系数法、数形互
助等思想措施，具有较强选拔功能．
学力训练
1．如图，AB为⊙O直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于M点，若OA=， FM=，那么△PMB周长为 ．
2．PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，点C是⊙O上异于A、B任意一点，则
∠ACB= ．
3．如图，EB、EC是⊙O两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠F=46°，∠DCF=32°，则∠A度数是 ．
4．如图，以△ABC边AB为直径作⊙O交BC于D，过点D作⊙O切线交AC于E，要使DE⊥AC，则△ABC边必要满足条件是 ．
5．、体现直线，给出下列四个论断：①∥；②切⊙O于点A；③切⊙O于点B；④AB是⊙O直径．若以其中三个论断作为条件，余下一种作为结论，可以构造出某些命题，在这些命题中，对旳命题个数为( )
1 B．2 C．3 D．4
6．如图，圆心O在边长为正方形ABCD对角线BD上，⊙O过B点且与AD、DC边均相切，则⊙O半径是( )
A． B． C． D．
7．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC<DC，若腰DC上有一点P， 使AP⊥BP，则这样点( )
A．不存在 B．只有一种 C．只有两个 D．有无数个
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8．如图，圆内接△ABC外角∠ACH平分线与圆交于D点，DP⊥AC于P，DH⊥BH于H，下列结论：①CH=CP；②A D=DB；③AP＝BH；④DH为圆切线，其中一定成立是( )
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
9．如图，⊙O是△ABC外接圆，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O半径为1，
(1)求弦AC、AB长；
(2)若P为CB延长线上一点，试拟定P点位置，使PA与⊙O相切，并证明你结论．
10．如图，AB是⊙O直径，点P在BA延长线上，弦CD⊥AB于E，且PC2=PE·PO．
(1)求证：PC是⊙O切线；
(2)若OE：EA=1：2，且PA＝6，求⊙O半径；
(3)求sin∠PCA值．
11．(1)如图a，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F(不与B重叠)，直线交⊙O于C、D，交AB于E且与AF垂直，垂足为G，连AC、AD，求证：①∠BAD=∠CAG；②AC·AD=AE·AF．
(2)在问题(1)中，当直线向上平行移动与⊙O相切时，其她条件不变．
①请你在图b中画出变化后图形，并对照图a标记字母；
②问题(1)中两个结论与否成立?如果成立，请给出证明；如不成立，请阐明理由．
12．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分别与AB、AC相切于点E、F，圆心O在BC上，若AB=a，AC=b，则⊙O半径等于 ．
13．如图，AB是半圆O直径，点M是半径OA中点，点P在线段AM上运动(不与点M重叠)，点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O切线交BA延长线于点C．
(1)当∠QPA=60°时，请你对△QCP形状做出猜想，并予以证明．
(2)当QP⊥AB时，△QCP形状是 三角形．
(3)由(1)、(2)得出结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是 三角形．
14．如图，已知AB为⊙O直径，CB切⊙O于B ，CD切⊙O于D，交BA延长线于E，若AB=3，ED=2，则BC长为( )
A．2 B．3 C．3．5 D．4
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15．如图，PA、PB是⊙O两条切线，A、B切点，直线OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF为⊙O直径，下列结论：(1)∠APB=∠AOP；(2)BC=DF；(3)PC·PD=PE·PO，其中对旳结论个数有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
16．如图，已知△ABC，过点A作外接圆切线交BC延长线于点P，，点D在AC上，且，延长PD交AB于点E，则值为( )
A． B． C． D．
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17．如图，已知AB为半圆O直径，AP为过点A半圆切线． 在AB上任取一点C(点C与A、B不重叠)，过点C作半圆切线CD交AP于点D；过点C作CE⊥AB，垂足为E．连结BD，交CE于点F．
(1)当点C为AB中点时(如图1)，求证：CF＝EF；
(2)当点C不是AB中点时(如图2)，试判断CF与EF相等关系与否保持不变，并证明你结论．
18．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D在AC边上，以D为圆心⊙D与AB切于点E．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)设⊙D与BC交于点F，当CF=2时，求CD长；
(3)设CD=，试给出一种值，使⊙D与BC没有公共点，并阐明你给出值符合规定．
19．如图，PA、PB与⊙O切于A、B两点，PC是任意一条割线，且交⊙O于点E、C，交AB于点D．求证：
20．如图，⊙Oˊ与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心Oˊ坐标是(1，一1)，半径是，
(1)求A、B、C、D四点坐标；
(2)求通过点D切线解析式；
(3)问过点A切线与过点D切线与否垂直?若垂直，请写出
证明过程；若不垂直，试阐明理由．
21．当你进入博物馆展览厅时，你懂得站在何处欣赏最抱负?如图，设墙壁上展品最高处点P距离地面a米，最低处点Q距离地面b米，欣赏者眼睛点E距离地面m米，当过 P、Q、E三点圆与过点E水平线相切于点E时，视角∠PEQ最大，站在此处欣赏最抱负．
(1)设点E到墙壁距离为x米，求a、b、m，x关系式；
(2)当a=2.5，b=2，m=1.6时，求：
(a)点E和墙壁距离x米；(b)最大视角∠PER度数(精确到1度)．
参照答案
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