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,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第 页,*,3.3 曲线和曲面的,CAD,单击此处编辑母版标题样式,【,上页,】,【,下页,】,【,返回,】,【,结束,】,【,首页,】,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,3.3 曲线和曲面CAD,机械设计中经常碰到有一定曲线和曲面零件需要设计和加工，比如设计飞机机翼、汽车车身、水轮机转子、船体外形等。它们称为自由曲线（面），,工程上把形状比较复杂、不能用二次方程描述曲线和曲面称为自由曲线和自由曲面。,怎样在计算机中设计和绘制,这些自由曲线（面）是本章研究,内容。,1/73,本节内容,3.3.1 曲线参数表示,3.3.2 Bezier曲线,3.3.3 B样条曲线,3.3.4 NURBS曲线,3.3.5 曲面,2/73,3.3.1曲线数学表示,显式表示,隐式表示,参数表示,就是将曲线或曲面上点坐标表示为一些参数函数。,如自由曲线参数表示形式为：x=x(u)，y=y(u)，z=z(u),为便于计算机处理，曲线上一点惯用矢量表示：,P(u)=x(u)，y(u)，z(u),对于一条平面曲线，可显式表示为：y=f(x),对于一条平面曲线，可隐式表示为：F(x,y)=0,3/73,参数曲线示意图,x,y,z,P,0,u=0,P,1,u=1,P,1,P,0,o,P(u),曲线端点在u=0，u=1处，曲线上任意一点位置矢量（即其坐标）可用矢量P(u)=x(u)，y(u)，z(u)表示。,4/73,参数表示法优点：,参数表示曲线曲面与坐标系选取无关,。,参数方程将自变量和因变量分开，使得参数改变对各个因变量影响能够显著地表示出来,参数表示式中使用切矢来代替非参数方程中斜率，便于处理斜率无穷大问题。,参数表示式中普通都有明确定义域，所以不需要另设其它参数来定义其边界。,易于用矢量和矩阵表示几何量，便于计算机计算与编程。,5/73,几何连续性,是指曲线或曲面在连接处连接状态。通常使用符号C,(i),来描述连续性：,若两段曲线有一端点位置相同，称它们在连接处位置连续，也称之为,C,(0),连续,。,若两段曲线在连接处切线是连续，则称为一阶导数连续，也称之为,C,(1),连续,。,假如曲线在连接处曲率是连续，则称为二阶导数连续，也称之为,C,(2),连续,。,基本术语,6/73,基本术语,光滑,从数学意义上讲，光滑是指曲线或曲面含有最少一阶连续导数。,光顺,不但要求曲线或曲面含有最少二阶连续导数，而且还要满足设计要求。,所谓设计要求应视详细情况而定，如普通机械零件外形只要求二阶导数连续就够了，而飞机船舶外形不但要二阶导数连续，而且曲线凹凸走向要满足功效要求。,7/73,基本术语,插值,给定一组准确数据点，要求结构一个函数使之严格地依次经过全部数据点，且满足光顺要求。这种方法称为插值法。,迫近,对于一组数据点，要求结构一个函数，使之在整体上最靠近这些数据点而无须经过全部数据点，也就是使所结构函数与全部数据点误差在某种意义上最小。这就是所谓迫近法。,拟合,在曲线和曲面设计过程中，用插值或迫近方法，在允许范围内贴近或经过给定型值点，从而使结构曲线或曲面光滑连续。,8/73,三、曲线CAD处理方法,给出一系列离散点空间坐标，将上述离散点分段并选择某个拟和函数模式计算分段内离散点之间任意点坐标。从而描绘出曲线。,当前惯用几个拟和函数都是采取参数量形式多项式函数，大多为三次多项式，不一样类型曲线含有不一样应用特征。,因为曲线段低次表示方法不能确保曲线段在连接点上位置和斜率连续性，同时也不能确保曲线段端点经过一些特定点。幂次太高又造成计算量增大。,9/73,3.3.2 Bezier曲线,样条曲线准确经过给定点，但就外型几何设计而言，并不要求曲线严格经过全部原始型值点，只要求外形美观、符合设计要求。,从1962年，法国雷诺汽车企业工程师Bezier开始研究在“迫近”意义上曲线曲面参数表示法，之后建立了一个自由曲线曲面设计方法，被称为Bezier方法。,10/73,Bezier曲线,Bezier曲线形状是经过一组多边折线(也称为Bezier多边形或特征多边形)各顶点唯一地定义出来，在该多边折线各顶点中，只有第一点和最终一点是在曲线上，其余顶点则用来定义曲线导数、阶次和形状。第一条边和最终一条边则表示出了曲线在起点处和终点处切线方向，即第一条边和最终一条边分别和曲线在起点和终点处相切。曲线形状趋向于多边折线形状。改变多边折线顶点位置和曲线形状改变有着直观联络（如图）。,11/73,Bezier曲线示例,12/73,一、Bezier曲线表示式,基本思想,：Bezier 结构曲线是由曲线两个端点和若干个不在曲线上点来唯一确定曲线形状。这两个端点和若干个点被称为Bezier,特征多边形,顶点（也叫,控制点,）。,设给定空间特征多边形n+1个顶点P,i,(i=0，1，n)，则定义n次Bezier曲线矢量函数为：,n,i=0,P(u)=,P,i,B,i,n,(u)0u1,13/73,表示式中各参数意义：,参数u取值范围为0，1，,n是多项式次数，也是曲线次数。通惯用n+1个顶点确定曲线为n次曲线。,P,i,是第i个顶点坐标。,B,i,n,(u),混比函数,（伯恩斯坦基函数），反应第i个顶点对拟合点影响，它定义为：,B,i,n,(u)=u,i,(1-u),n-i,=C,i,n,u,i,(1-u),n-i,n!,i!(n-i)!,14/73,三次Bezier曲线,对于三次Bezier曲线，n=3，有4个控制点P,0,、P,1,、P,2,、P,3,，则：,其中：,3,i=0,P(u)=,P,i,B,i,3,(u),B,0,3,(u)=u,i,(1-u),n-i,=C,i,n,u,i,(1-u),n-i,=u,0,(1-u),3-0,=(1-u),3,n!,i!(n-i)!,3!,0!(3-0)!,15/73,Bezier曲线,矩阵形式：,则：,P(u)=B,0,3,(u)B,1,3,(u)B,2,3,(u)B,3,3,(u),=u,3,u,2,u 1,-1 3 -3 1,3 -6 3 0,-3 3 0 0,1 0 0 0,16/73,二、Bezier曲线性质,端点特征,凸包性,几何不变性,全局控制性,17/73,1、端点特征,Bezier曲线起点和终点分别是特征多边形第一个顶点和最终一个顶点。,在曲线起点处，u=0，代入,公式,得到：,P（0）=P,0,同理，在曲线终点处，P（1）=P,3,曲线在起点和终点处切线分别是特征多边形第一条边和最终一条边，且切矢模长分别为对应边长n倍。,在曲线起点处，u=0，代入,公式,得到：,P（0）=3(P,1,-P,0,）。,同理，在曲线终点处，P（1）=3（P,3,-P,2,）,18/73,2、凸包性,能够证实：,表明，对区间0，1上任一值u，点P（u）必须落在由特征多边形顶点所张开形成凸包内。即当特征多边形为凸时，Bezier曲线也是凸；当特征多边形有凹有凸时，其曲线凸凹形状与之对应，且在其凸包范围内。如图所表示。,19/73,3、几何不变性,由,Bezier曲线定义,知，曲线形状由特征多边形顶点P,i,(i0，1，n)唯一确定，与坐标系选取无关。这就是几何不变性。所以在几何变换中，只要直接对特征多边形顶点变换即可，而无需对曲线上每一点进行变换。,x,2,y,2,y,1,x,1,o,1,o,2,20/73,4、全局控制性,由,Bezier曲线表示式,可知，当修改特征多边形中任一顶点，均会对整体曲线产生影响，所以Bezier曲线缺乏局部修改能力。,21/73,三、Bezier曲线拼接,工程应用中，普通采取三次Bezier曲线拼接来设计图形，而不是采取高阶曲线。为使连接处曲线光滑连续，控制点选择应满足一定条件。,22/73,Bezier曲线段连续条件：,设有两Bezier曲线段P(u)和Q(u)，其控制点分别为P,0,，P,1,，P,2,，P,3,和Q,0,，Q,1,，Q,2,，Q,3,。,1）,P,3,=Q,0,，则P(u)和Q(u)在P,3,(Q,0,)处位置连续。,2）,P,3,=Q,0,，且P,2,，P,3,(Q,0,)，Q,1,在一条直线上（P,2,、Q,1,在P,3,（Q,0,）两侧），则P(u)和Q(u)在P,3,(Q,0,)处一阶导数连续。,3）特征多边形,1,2,、,2,3,、,0,1,、,1,2,四条边共面，则P(u)和Q(u)在P,3,(Q,0,)处二阶导数连续。,23/73,四、Bezier曲线应用,Bezier曲线用于设计各种平面图形。如花瓶外形，特征点设计如图（注意拼接问题）。,24/73,3.3.3B样条(,Bspline,)曲线,Bezier曲线是当前计算机辅助几何设计中一个主要方法。但存在以产主要缺点：,确定了多边形顶点数，也就决定了所定义Bezier曲线阶次，所以，无灵活性。若采取分段三次Bezier曲线，须有附加条件。,缺乏局部修改外形能力，改变某一控制点会影响到整个曲线段形状。,n较大时，特征多边形边数较多，则多边形对曲线控制减弱。,25/73,样条曲线产生,为克服上述缺点，1973年，RFRiesenfeld在研究Bezier曲线基础上，用,B样条,基函数,(分段混合函数）替换了,伯恩斯坦基函数,，结构了样条曲线。样条曲线除了保持了原,Bezier,曲线所含有优点外，还含有对曲线局部修改，对特征多边形更迫近，多项式阶次较低等优点。,P,0,P,1,P,2,P,7,P,6,P,5,P,4,P,3,P,9,P,8,P,10,26/73,若给定n+1个控制点P,i,(i=0，1，2，n)，k次样条曲线表示式为：,P(u)=P,i,N,i,k,(u),其中，,N,i,k,(u),为k次,B样条基函数,，由下面递推关系得到：,N,i,0,(u)=,u,i,uu,i+1,0 其它,一、样条曲线定义,i=0,n,u,k,uu,n+1,（,参考,）,27/73,P,0,P,1,P,2,P,3,P,K,P,K+1,P,K+2,P,K+3,P,n,说明：,u,i,是一个非减序列值，称为B样条曲线节点矢量。,假如u,i+1,-u,i,=常数，则称为均匀B样条；不然，称为非均匀B样条。,0,1,2,3,n-k+1,由n+1个控制点生成k次B样条曲线是由n-k+1条B样条曲线段组成。,28/73,1）一次B-样条曲线表示式,P1,P2,29/73,2）二次B-样条曲线表示式,30/73,二次B-样条曲线端点特征,可见，二次,B-样条曲线为一条经过特征多边形中点并与特征多边形相切抛物线。,由,二次B-样条曲线表示式：,31/73,B样条基函数分别为：,N,0,3,(u)=(-u,3,+3u,2,-3u+1)/6,N,1,3,(u)=(3u,3,-6u,2,+4)/6,N,2,3,(u)=(-3u,3,+3u,2,+3u+1)/6,N,3,3,(u)=u,3,/6,3）三次B-样条曲线表示式,32/73,=u,3,u,2,u 1,所以，三次B-样条曲线表示式为：,P,0,P,1,P,2,P,3,1,6,-3 3 -3 1,3 -6 3 0,-3 0 3 0,1 4 1 0,33/73,二、B样条曲线性质,端点特征,连续性,凸包性,几何不变性,局部可调性,34/73,在曲线起点处，u=0，代入,公式,得到：,P,1,-P(0)=(P,1,-（P,0,+P,2,)/2)/3,即曲线段起点P(0)位于 P,0,P,1,P,2,底边P,0,P,2,中线P,1,P,m,上，且距P,1,点1/3处。终点P(1)情况与起点对称。,端点特征,3P(0)=2P,1,（P,0,+P,2,)/2,2P,1,-3P(0)=-（P,0,+P,2,)/2,3P,1,-3P(0)=P,1,-（P,0,+P,2,)/2,P,1,-P(0)=(P,1,-（P,0,+P,2,)/2)/3,推导过程,35/73,P(u)=3u,2,2u 1 0,P(u)=u,2,u 1,P,0,P,1,P,2,P,3,1,2,-3 3 -3 1,2 -4 2 0,-1 0 1 0,P,0,P,1,P,2,P,3,1,6,-3 3 -3 1,3 -6 3 0,-3 0 3 0,1 4 1 0,说明曲线段起点P(0)处切向矢量P(0)平行于 B0B1B2底边B0B2，且模长为其1/2,36/73,P(u)=u 1,B,0,B,1,B,2,B,3,-1 3 -3 1,1 -2 1 0,说明，该点二阶导数P”(0)等于中线矢量B1Bm2倍。终点P(1)情况与起点对称。,37/73,假如在 特征多边形上增加一个新顶点P,4,，就增加了由P,1,P,2,P,3,P,4,组成一个新B样条曲线段。因为新一曲线段起点相关数据和上一曲线段终点相关数据都只与,P,1,P,2,P,3,相关，故该两段曲线在连接处位置矢量、一阶切向矢量和二阶切向矢量都相等，即三次B样条曲线到达了二阶导数连续。,(,如图,）,连续性,38/73,局部可调性,改动特征多边形上一个顶点，至多只影响以该点为中心邻近n+1段曲线（对三次B-样条曲线为该点两边各两段）。,P,0,P,1,P,2,P,3,P,3,P,4,P,5,P,6,P,7,39/73,三、三次B样条曲线特殊情况,B样条曲线是一个非常灵活曲线，曲线局部形状受对应顶点控制很直观。这种顶点控制技术假如利用得当，能够使整个B样条曲线在一些部位满足一些特殊技术要求，在实际曲线设计时，采取这些特殊伎俩进行处理能够到达理想效果。下面简明介绍几个惯用处理技术。,40/73,1、三顶点共线,三顶点共线是三次B样条曲线制造拐点一个技巧。,B,0,B,1,B,2,B,3,2、四顶点共线,利用特征多边形4顶点共线，能够在B样条曲线上结构一段直线。这说明了B样条曲线也能够由直线和曲线共同组成。,B,0,B,1,B,2,B,3,41/73,3、两顶点重合,两顶点重合能够使B-样条曲线一段和B特征多边形相切，也可得到一个拐点。,B,0,B,1,B,2,B,3,4、三顶点重合,若B特征多边形中有三顶点重合，B样条曲线端点与该特征多边形三点重合。,B,0,B,1,B,2,B,3,B,4,B,5,B,6,42/73,四、B样条曲线控制顶点反算,所谓反算就是给定一组型值点Qi（i=1，2，n），要求出三次B样条曲线控制顶点P（i=0，1，n+1）从而决定一条样条曲线，使其经过这一组型值点Qi。,P1,P2,Pn,Pn-1,Pn-2,P3,P0,Pn+1,Q1,Q3,Q2,Qn,Qn-1,Qn-2,P4,43/73,由三次B样条曲线,顶点特征,：,（P,j-1,+4P,j,+P,j+1,）/6=Q,j,（j=1，2，n）,假设P,1,=Q,1,，P,n,=Q,n,，可组成N个方程组成方程组：,为确保P,1,=Q,1,，P,n,=Q,n,，需增加两个附加顶点P,0,，P,n+1,，且满足：P,0,P,1,=P,1,P,2,，P,n,P,n+1,=P,n-1,P,n,44/73,利用三次B-样条曲线能够结构出各种形状曲线。（,源程序,）,五、三次B样条曲线应用,1、2、3,4,5、6,7、8,9、10,11、12,13,14、15,16、17,18、19,20,45/73,三次B样条曲线示例,46/73,3.3.4 NURBS曲线,NURBS(Non-Uniform Rational Bspline)曲线即,非均匀有理B样条曲线,，既能描述自由曲线，又能准确表示二次曲线。,B样条曲线是NURBS曲线子集。,NURBS曲线不但含有B样条曲线优越性，而且能够准确地表示二次曲线，是当前最为理想一个参数曲线表示方法。,47/73,一、NURBS曲线定义,一条由n+1个控制顶点Pi(i0，1，n)组成k次NURBS曲线能够表示为一分段有理多项式函数：,式中：,=称为NURBS曲线,有理基函数,；,P,i,表示特征多边形,控制点,；,w,i,是控制点,权因子,，分别与控制顶点相联络。,为由节点矢量决定k次,B样条基函数,。,48/73,节点权因子,节点权因子能影响到,u,i,，,u,i+k+1,区间内曲线形状，含有局部性。,wi,0,时，=0，表示P(u)点在B处，能够认为该节点位置对曲线形状没有影响；,wi,1,时，为一定值，表示,P(u),点在,N,处,；,wi,时，=1，,表示,P,(,u),点在,Pi,处,；,其它，,P,(,u)点为一动点d；,Wi=0,Wi,P,i-3,P,i-2,P,i-1,P,I+1,P,I+2,Wi=1,当全部权因子均为l时，NURBS曲线就成为B样条曲线。,49/73,3.3.5曲面,工程中，经常会碰到复杂外形设计，如飞机、汽车、船舶、模具等，传统处理方法是用一组或几组相互平行平面去截切曲面，然后画出其截交线来表示这个曲面，如船体用纵剖线、横剖线和水线表示，山区用等高线表示。此方法绘图量大、不准确、不直观。,50/73,曲面CAD处理方法,CAD中，曲面处理方法和曲线类似，首先，建立数学表示式,（能够很轻易将参数曲线段拓展为参数曲面片。因为不论是前面Bezier曲线还是B样条曲线，它们都是由特征多边形控制。而曲面是由两个方向(,比如u和v,)特征多边形（,即特征多面体,）来决定），,然后用计算机进行处理。,51/73,一、曲面参数表示法,参考,曲线参数表示,，曲面能够用双参数向量函数来表示。设曲面两个参数为,u,w,0，1，则双变量函数,P,(,u,w,)表示一个曲面片，即：,P,(,u,w,),=,x,(,u,w,),y,(,u,w,),z,(,u,w,),当,u,w,在定义域内变动时，P点轨迹即为曲面。,x,y,z,P(u,w),P(1,0),P(1,1),P(0,0),P(0,1),52/73,二、Bezier曲面,为n m次,Bezier曲面。,1、定义：,给定（n+1)(m+1)个空间点列P,ij,(i0，1，n；j0，1，m）称nm次参数曲面,53/73,其中：,为n次,伯恩斯坦基函数,；,为m次伯恩斯坦基函数；,P,ij,为特征多面体各顶点位置向量，共为(m1)(n1)个顶点。逐次用直线段连接空间点列P,ij,(i0，1，n；j0，1，m)中相邻两点组成空间网格称为,特征多边形网格,。,54/73,2、双三次,Bezier曲面,为确保网格对Bezier曲面有效控制，m、n不宜超出5。最惯用是m=n=3双三次Bezier曲面即：,P,(,u,w,),=(1-,u,),3,3,u,(1-,u,),2,3,u,2,(1-,u,),u,3,或写成：,P,(,u,w,)=,UNP N,T,W,T,其中：,U,=,u,3,u,2,u 1,W,=,w,3,w,2,w 1,P,00,P,01,P,02,P,03,P,10,P,11,P,12,P,13,P,20,P,21,P,22,P,23,P,30,P,31,P,32,P,33,(1-,w,),3,3,w,(1-,w,),2,3,w,2,(1-,w,),w,3,角点位置矩阵,N=N,T,-1,3,-3,1,3,-6,3,0,-3,3,0,0,1,0,0,0,注意,55/73,双三次,Bezier曲面片,由图可见，双三次Bezier曲面片与对应特征网格四个角点P,00,、,P,03,、P,30,、,P,33,重合；特征网格四边12个控制点定义了四条Bezier曲线，即,曲面片边界限，中央四个控制点与边界曲线无关，但控制着曲面片形状。,56/73,三、B-样条曲面,B样条曲面数学表示式为：,其中，P,i,j,(i0，1，n；j0，1，m）定义曲面片顶点位置向量即（n+1)(m+1)个顶点。N,i,k,(u)及N,j,l,(v)分别是k次和l次,B样条基函数,。逐次用直线段连接空间点列P,i,j,(i0，1，n；j0，1，m)中相邻两点组成空间网格称为,特征网格,。,57/73,双三次B样条曲面：,若k=l=3，则可得双三次B样条曲面：,P(u,v)=,UMP M,T,V,T,其中：,U,=,u,3,u,2,u 1,V,=,v,3,v,2,v 1,58/73,B样条曲面图例,59/73,与三次B样条曲线相同，双三次B样条曲面优点是处理了曲面片之间连接问题。只要B特征网格沿某一方向延伸一排，如i0，1，2，3，4，j0，l，2，3，则i1，2，3，4，j0，l，2，3可决定另一张曲面片。并确保了二者之间连续性。,B样条曲面连续性,P,04,P,14,P,24,P,34,60/73,四、NURBS曲面,NURBS曲面定义：,其中，,N,i,k,、N,j,l,分别为k次和l次,B样条基函数,，,wi为与控制顶点相关联权因子。,P,ij,是特征网格控制点列。,61/73,NURBS曲线(面)优点：,对标准解析形状和自由曲线（面）提供了统一数学表示，不论是解析形状还是自由格式形状都有统一表示参数，便于工程数据库存取和调用。,能够经过控制点和权因子来灵活地控制曲线（面）形状。,对插入节点、修改、分割、几何插值等处理能力较强。,NURBS在百分比、旋转、平移、剪切以及平行、透视投影变换下是不变。,有理及非有理Bezier、非有理B样条曲线曲面均是NURBS特例。,62/73,NURBS曲线(面)有待处理问题：,比普通曲线、曲面定义方法更费存放空间和处理时间,权因子选择不妥会造成形状畸变；,对搭接、重合形状处理相当麻烦；,反求曲线、曲面上点参数这类算法还不太稳定。,63/73,三次B样条曲线几何特征,P,4,64/73,习题：,给定控制点，画出B样条曲线,、7,8,(1),(2),65/73,参数表示法优点：,假如经过一系列型值点拟合一条曲线或由一系列控制点(或特征点)定义一条曲线，曲线形状仅取决于这些点本身之间关系，而与这些点与其所在坐标系关系无关。,x,2,y,2,y,1,x,1,o,1,o,2,66/73,样条曲线表示式另一个形式,若给定m+n+1(n为阶次、m为最大段号)个顶点P,i,(i=0，1，2，m+n)，将多边折线分成m+1段，每段多边折线称为B特征多边形，组成第i 段样条曲线为n次多项式(i=0，1，2，m)为：(,如图,）,P,i,n,(u)=P,i+k,F,k,n,(u),其中，,F,k,n,(u),为n次,B样条基函数,：,F,k,n,(u)=,(-1),j,C,n+1,(u+n-k-j),n,0u1,k=0,n,n-k,j=0,1,n!,j,67/73,三次B-样条曲线表示式,对于三次B-样条曲线，n=3，k=0，1，2，3。所以，三次B样条曲线表示式为：,P,i,3,(u)=,P,i+k,F,k,3,(u),=F,0,3,(u)P,i,+F,1,3,(u)P,i+1,+F,2,3,(u)P,i+2,+F,3,3,(u)P,i+3,3,k=0,i=0，1，2，m,68/73,B样条基函数分别为：,推导过程,F,0,3,(u)=(-u,3,+3u,2,-3u+1)/6,F,1,3,(u)=(3u,3,-6u,2,+4)/6,F,2,3,(u)=(-3u,3,+3u,2,+3u+1)/6,F,3,3,(u)=u,3,/6,69/73,所以，三次B样条曲线表示式为：,P,i,3,(u)=F,0,3,(u)P,i,+F,1,3,(u)P,i+1,+F,2,3,(u)P,i+2,+F,3,3,(u)P,i+3,=u,3,u,2,u 1,三次B-样条曲线表示式,i=0，1，2，m,P,i+0,P,i+1,P,i+2,P,i+3,1,6,-1 3 -3 1,3 -6 3 0,-3 0 3 0,1 0 0 0,70/73,F,0,3,(u)=,(-1),j,C (u+3-0-j),3,=,(u+3),3,-(u+2),3,+(u+1),3,-u,3,=(u+3),3,-4(u+2),3,+6(u+1),3,4u,3,=(-u,3,+3u,2,3u+1),4!,0!4!,F,0,3,(u)推导过程：,由：,F,k,n,(u)=,(-1),j,C,n+1,(u+n-k-j),n,0u1，k=0，1，n,1,3!,3,j=0,j,4,1,6,4!,1!3!,4!,2!2!,4!,3!1!,1,6,(a+b),3,=a,3,+3a,2,b+3ab,2,+b,3,1,6,n-k,j=0,1,n!,j,71/73,样条曲线表示式,P,0,P,1,P,2,P,3,P,n,P,n+1,P,n+2,P,n+3,P,n+m,0,1,2,3,m,m+n+1为控制点个数,n为阶次,m为最大段号,P,i,n,(u)=P,i+k,F,k,n,(u),i=0，1，2，,，m,k=0,n,72/73,P,0,P,1,P,2,P,7,P,6,P,5,P,4,P,3,P,9,P,8,P,10,P,0,P,1,P,2,P,3,P,1,P,2,P,3,P,4,P,2,P,3,P,4,P,5,P,3,P,4,P,5,P,6,P,4,P,5,P,6,P,7,P,5,P,6,P,7,P,8,P,6,P,7,P,8,P,9,P,7,P,8,P,9,P,10,样条曲线示例：,B特征多边形：,73/73,
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