2022年数列极限数学归纳法.doc

第二章数列、极限、数学归纳法（2）
等比数列
【例题精选】:

例1：“b 2 = ac”是a ，b ，c成等比数列
A．充足非必要条件 B．必要非充足条件
C．充足且必要条件 D．既不充足又不必要条件
分析：由a ，b ，c成等比数列Þ；若a ，b ，c中有等于零者，a ，b ，c不成等比数列，故选（B）
阐明：只有当a ，b ，c均不为零时， Û a ，b ，c成等比数列。

例2：已知数列前n次和，那么下述结论对旳是
A．为任意实数时，是等比数列
B．= －1时，是等比数列
C．= 0时，是等比数列
D．不也许是等比数列
分析：给出 ，可由求出通项来进行判断：

当
当
是等比数列，故选（B）。
小结：解好本题要精确掌握数列前n项和Sn与通项an关系式

例3：在等比数列中，已知
解：设等比数列公比为，依题意：

例4：（1）在等比数列6，…，1458，…，13122，…中，1458是第n项， 13122是第2n－4项，求公比q。
（2）已知等比数列前10项和是10，前20项和是30，求前30项和。
解：（1）依题意

由

（2）等比数列记为

例5：试求一种正数，使它小数某些，整数某些及这个正数自身依次成等比数列。
解：设整数某些为n，小数某些为t，则所求正数为n+t．

例6：若有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一种数与第四个数和为37，第二个数与第三个数和是36，求这四个数。
分析：前三个数成等差数列，可没有a－d，a，a+d，那么第四个数用等比中项得；若光考虑后三个数成等比数列，可设后三个数依次为，a，aq，那么第一种数为－a，下面用第一种设法给出解答过程，第二种解题过程读者自己完毕。
解：设前三个数为a－d，a ，a＋d，则第四个数为，依题意得

由（2）得d=36－2a 代入（1）得
4a2－145a＋362=0
解得 a=16或a=
d=4或d= -
所求四个数为12，16，20，25或

例7：已知f(x)是一次函数，f(10)=21 ，且f(2)，f(7)，f(22)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)后来式子体现式

解：设f(x)=kx＋b(k0) 由已知

将（2）化简整顿得
因此
由（1）（3）解得
∴f(x)=2x + 1

小结：数列是一类以自然数集或它有限子集为自变量函数，运用函数观点结识数列十分有益。

例8：设一种等比数列前项和Sn，前n项积为Pn，前n项倒数和为Tn,
求证：
证明：设等比数列首项为a1，公比为q
当时，

因此
故
当时，

因此

小结：为了写出体现式，由等比数列求和公式，必要对q与否为1作出分类讨论。

例9：在等比数列值。
分析：若通过通项公式求，必要先拟定首项和公式，这就需要二个条件。
解：设等比数列公比为，则

解上方程组必要降次、消元。若孤立看（1）得，若联系（2），则有，故，从而可得 (3)
（2）÷（3）得
即
至此先求，再求可以，但从（3）可有则可免除求环节。

于是当，当时，

例10：若是各项都为正数等比数列，并且，求值。
分析：根据方程思想，这里为拟定通项公式应选拟定首项和公比q，但只给出一种条件，使，q都被确立不也许，由于由已知可得：

即，故有（1）
而
又由，于是由（1）得，从而得到。
小结：设而不求，整体代入，即设元，列式后不去直接求所设各未知数值，而在已知式和求值式之间寻找联系，从中求得所需。

例11：在一段时期内，若某工厂产值月平均增长率为p，那么该厂产值年平均增长率是多少？若该厂产值年平均增长率为q，那么其月平均增长率是多少？
分析：由某厂产值月平均增长率为p，那么该厂持续二年中24个月产值为，2，3，……12，13，……24。
于是在这段时期内，后一年总产值，前一年总产值，于是其年平均增长率。
若该厂产值年平均增长率是q，设这段时期内，月平均增长率为r，由本题上述推理有于是可解得。
小结：上述第二问运用了方程思想和第一问推导成果。

例12：某公司在年度之初借款A元，从该年度末开始，每年度末归还一定金额，恰在n年间还清，年利率为r，试问每次须支付金额是多少？
解法1：设每次归还a元，则n年度末本利合计为：

另一方面年度之初借款A元，到第n年末，本利和是元。

解法2：设每次归还a元，第K年末归还a元之后债务为元，则：

【专项训练】：

一、选用题：

1、等比数列中，已知，则n为
A．3 B．4 C．5 D．6

2、等比数列中，，则 等于
A．3 B． C． D．4

3、等差数列首项，公差，如果成等比数列，那么等于
A．3 B．2 C．－2 D．

4、设等于
A． B． C． D．

5、设由正数构成等比数列，公比q=2，且，则
A．210 B．220 C．216 D．215

二、填空题：

6、等比数列满足，则 。

7、已知是等比数列，且，那么 。

8、在等比数列中，，则 ， 。

9、等比数列公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于 。

三、解答题：

10、一种等比数列中，，求这个数列通项公式。

11、数列满足，该数列满足，求证是等比数列，并求前n项之和。

【答 案】：

一、选用题：
1、B 2、D 3、B 4、B 5、B

二、填空题：
6、或2 7、5 8、－2，10 9、170

三、解答题：
10、两式相除得，代入，
可求得或8，

11、由两边同减得：

即为等比数列