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第二十四讲 几何定值与最值
几何中定值问题，是指变动图形中某些几何元素几何量保持不变，或几何元素间某些几何性质或位置关系不变一类问题，解几何定值问题基本措施是：分清问题定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等措施，先探求出定值，再给出证明．
几何中最值问题是指在一定条件下，求平面几何图形中某个拟定量(如线段长度、角度大小、图形面积)等最大值或最小值，求几何最值问题基本措施有：
1．特殊位置与极端位置法；
2．几何定理(公理)法；
3．数形结合法等．
注：几何中定值与最值近年广泛浮现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于此类问题具有很强摸索性(目旳不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、
逻辑推理与合情想象相结合等思想措施．
【例题就解】
【例1】 如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度最小值为 ．
思路点拨 如图，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′，DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ=AB一常数，当CQ越小，CD越小，本例也可设AP=，则PB=，从代数角度探求CD最小值．
注：从特殊位置与极端位置研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：
(1)中点处、垂直位置关系等；
(2)端点处、临界位置等．
⌒
【例2】 如图，圆半径等于正三角形ABC高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有也许圆位置而言， MTN为度数（ ）
A．从30°到60°变动 B．从60°到90°变动
C．保持30°不变 D．保持60°不变
思路点拨 先考虑当圆心在正三角形顶点C时，其弧度数，再证明一般情形，从而作出判断．
注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对，我们可以研究问题中变量，考虑当变化元素运动到特定位置，使图形变化为特殊图形时，研究量获得定值与最值．
【例3】 如图，已知平行四边形ABCD，AB=，BC=(>)，P为AB边上一动点，
直线DP交CB延长线于Q，求AP+BQ最小值．
思路点拨 设AP=，把AP、BQ分别用代数式体现，运用不等式 (当且仅当时取等号)来求最小值．
⌒
【例4】 如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B点M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，证明：线段AK和BN乘积与M点选用无关．
思路点拨 即要证AK·BN是一种定值，在图形中△ABC边长是一种定值，阐明AK·BN与AB有关，从图知AB为△ABM与△ANB公共边，作一种大胆猜想，AK·BN=AB2，从而我们证明目旳更加明确．
注：只要探求出定值，那么解题目旳明确，定值问题就转化为一般几何证明问题．
【例5】 已知△XYZ是直角边长为1等腰直角三角形(∠Z=90°)，它三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)三边上，求△ABC直角边长最大也许值．
思路点拨 顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy中点，通过几何不等关系求出直角边最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=，CZ=，建立，关系式，运用代数措施求直角边最大值．
注：数形结合法解几何最值问题，即恰本地选用变量，建立几何元素间函数、方程、不等式等关系，再运用相应代数知识措施求解．常用解题途径是：
(1)运用一元二次方程必然有解代数模型，运用鉴别式求几何最值；
(2)构造二次函数求几何最值．
学力训练
1．如图，正方形ABCD边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重叠），分别过B、C、D作射线AP垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′最大值为 ，最小值为 ．
2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则△PQR周长最小值为 ．
3．如图，两点A、B在直线MN外同侧，A到MN距离AC=8，B到MN距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则最大值等于 ．
4．如图，A点是半圆上一种三等分点，B点是弧AN中点，P点是直径MN上一动点，⊙O半径为1，则AP+BP最小值为( )
A．1 B． C． D．
5．如图，圆柱轴截面ABCD是边长为4正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱侧面移动到BC中点S最短距离是( )
A． B． C． D．
6．如图、已知矩形ABCD，R，P户分别是DC、BC上点，E，F分别是AP、RP中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立是( )
A．线段EF长逐渐增大 B．线段EF长逐渐减小
C．线段EF长不变化 D．线段EF长不能拟定
7．如图，点C是线段AB上任意一点(C点不与A、B点重叠)，分别以AC、BC为边在直线AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．
(1)求证：MN∥AB；
(2)若AB长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，与否存在这样一点C，使线段MN长度最长?若存在，请拟定C点位置并求出MN长；若不存在，请阐明理由．
(云南省中考题)
8．如图，定长弦ST在一种以AB为直径半圆上滑动，M是ST中点，P是S对AB作垂线垂足，求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．
9．已知△ABC是⊙O内接三角形，BT为⊙O切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．
(1)当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA·PB=PE·PF；
(2)当点P为线段BA延长线上一点时，第(1)题结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请阐明理由．
10．如图，已知；边长为4正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM面积最大值是( )
A．8 B．12 C． D．14
11．如图，AB是半圆直径，线段CA上AB于点A，线段DB上AB于点B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上一种动点，则封闭图形ACPDB最大面积是( )
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC提成面积相等两某些，试求这样线段最小长度．
13．如图，ABCD是一种边长为1正方形，U、V分别是AB、CD上点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积最大值．
14．运用两个相似喷水器，修建一种矩形花坛，使花坛所有都能喷到水．已知每个喷水器喷水区域是半径为l0米圆，问如何设计(求出两喷水器之间距离和矩形长、宽)，才干使矩形花坛面积最大?
15．某住宅社区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一种八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相似矩形(图中阴影某些)面积和为800平方米．
(1)设矩形边AB=(米)，AM=(米)，用含代数式体现为 ．
(2)现筹划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相似矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．
①设该工程总造价为S(元)，求S有关工函数关系式．
②若该工程银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完毕该工程建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请阐明理由．
③若该工程在银行贷款基本上，又增长资金73000元，问能否完毕该工程建设任务?若能，请列出所有也许设计方案；若不能，请阐明理由．
16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向公寓，请划出这块地基，并求地基最大面积(精确到1m2)．
参照答案
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