2022年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答走进追问求根公式.doc

第一讲 走进追问求根公式
形如（）方程叫一元二次方程，配措施、公式法、因式分解法是解一元二次方程基本措施。而公式法是解一元二次方程最普遍、最具有一般性措施。
求根公式内涵丰富：它涉及了初中阶段已学过所有代数运算；它回答了一元二次方程诸如如何求实根、实根个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学简洁美。
降次转化是解方程基本思想，有些条件中具有(或可转化为)一元二次方程有关问题，直接求解也许给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行恰当变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与措施。
【例题求解】
【例1】满足整数n有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1特性人手，将问题转化为解方程。
【例2】设、是二次方程两个根，那么值等于（ ）
A、一4 B、8 C、6 D、0
思路点拨：求出、值再代入计算，则计算繁难，解题核心是运用根定义及变形，使多项式降次，如，。
【例3】 解有关方程。
思路点拨：因不知晓原方程类型，故需分及两种状况讨论。
【例4】 设方程，求满足该方程所有根之和。
思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般一元二次方程求解。
【例5】 已知实数、、、互不相等，且， 试求值。 思路点拨：运用连等式，通过迭代把、、用代数式体现，由解方程求得值。
注：一元二次方程常用变形形式有：
(1)把方程（）直接作零值多项式代换；
(2)把方程（）变形为，代换后降次；
(3)把方程（）变形为或，代换后使之转化关系或整体地消去。
解合字母系数方程时，在未指明方程类型时，应分及两种状况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值某些性质，如。
走进追问求根公式学历训练
1、已知、是实数，且，那么有关方程根为 。
2、已知，那么代数式值是 。
3、若，，则值为 。
4、若两个方程和只有一种公共根，则( )
A、 B、 C、 D、
5、当分式故意义时，取值范畴是( )
A、 B、 C、 D、且
6、方程实根个数是( ) A、0 B、1 C、2 D、3
7、解下列有关方程：
(1)； (2)； (3)。

8、已知，求代数式值。

9、与否存在某个实数m，使得方程和有且只有一种公共实根?如果存在，求出这个实数m及两方程公共实根；如果不存在，请阐明理由。注： 解公共根问题基本方略是：当方程根有简朴形式体现时，运用公共根相等求解，当方程根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口。

10、若，则＝ 。
11、已知、是有理数，方程有一种根是，则值为 。
12、已知是方程一种正根。则代数式值为 。
13、对于方程，如果方程实根个数恰为3个，则m值等于( )
A、1 B、2 C、 D、2．5
14、自然数满足，这样个数是( )
A、2 B、1 C、3 D、4
15、已知、都是负实数，且，那么值是( )
A、 B、 C、 D、
16、已知，求值。
17、已知m、n是一元二次方程两个根，求值。

18、在一种面积为l正方形中构造一种如下小正方形：将正方形各边等分，然后将每个顶点和它相对顶点近来分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为，求值。

19、已知方程两根、也是方程根，求、值。

20、如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC内接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中为不不不小于3自然数．求证：需为无理数。

参照答案