2022年椭圆与双曲线的经典性质50条.doc

椭圆与双曲线对偶性质--（必背典型结论）
椭 圆
1. 点P处切线PT平分△PF1F2在点P处外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处外角，则焦点在直线PT上射影H点轨迹是以长轴为直径圆，除去长轴两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径圆必与相应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径圆必与以长轴为直径圆内切.
5. 若在椭圆上，则过椭圆切线方程是.
6. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2直线方程是.
7. 椭圆 (a＞b＞0)左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆焦点角形面积为.
8. 椭圆（a＞b＞0）焦半径公式：
,( ，).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一种顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一种焦点F直线与椭圆交于两点P、Q，A1、A2为椭圆长轴上顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11. AB是椭圆不平行于对称轴弦，M为AB中点，则，
即。
12. 若在椭圆内，则被Po所平分中点弦方程是.
13. 若在椭圆内，则过Po弦中点轨迹方程是.
双曲线
1. 点P处切线PT平分△PF1F2在点P处内角.
2. PT平分△PF1F2在点P处内角，则焦点在直线PT上射影H点轨迹是以长轴为直径圆，除去长轴两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径圆必与相应准线相交.
4. 以焦点半径PF1为直径圆必与以实轴为直径圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
5. 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过双曲线切线方程是.
6. 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2直线方程是.
7. 双曲线（a＞0,b＞o）左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线焦点角形面积为.
8. 双曲线（a＞0,b＞o）焦半径公式：( ，
当在右支上时，,.
当在左支上时，,
9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一种顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过双曲线一种焦点F直线与双曲线交于两点P、Q，A1、A2为双曲线实轴上顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11. AB是双曲线（a＞0,b＞0）不平行于对称轴弦，M为AB中点，则，即。
12. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分中点弦方程是.
13. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po弦中点轨迹方程是.
椭圆与双曲线对偶性质--（会推导典型结论）
高三数学备课组
椭 圆
1. 椭圆（a＞b＞o）两个顶点为,，与y轴平行直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点轨迹方程是.
2. 过椭圆 (a＞0，b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3. 若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点任一点,F1，F 2是焦点，，，则.
4. 设椭圆（a＞b＞0）两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记，,，则有.
5. 若椭圆（a＞b＞0）左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到相应准线距离d与PF2比例中项.
6. P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.
7. 椭圆与直线有公共点充要条件是.
8. 已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2最大值为;（3）最小值是.
9. 过椭圆（a＞b＞0）右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN垂直平分线交x轴于P，则.
10. 已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上两点，线段AB垂直平分线与x轴相交于点，则.
11. 设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .
12. 设A、B是椭圆（ a＞b＞0）长轴两端点，P是椭圆上一点，，,，c、e分别是椭圆半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .
13. 已知椭圆（ a＞b＞0）右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC通过线段EF 中点.
14. 过椭圆焦半径端点作椭圆切线，与以长轴为直径圆相交，则相应交点与相应焦点连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径端点作椭圆切线交相应准线于一点，则该点与焦点连线必与焦半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点距离与以该焦点为端点焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段提成定比e.
18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心比例中项.

椭圆与双曲线对偶性质--（会推导典型结论）
高三数学备课组
双曲线
1. 双曲线（a＞0,b＞0）两个顶点为,，与y轴平行直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点轨迹方程是.
2. 过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3. 若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外任一点,F1，F 2是焦点，，，则（或）.
4. 设双曲线（a＞0,b＞0）两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记，,，则有.
5. 若双曲线（a＞0,b＞0）左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到相应准线距离d与PF2比例中项.
6. P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点充要条件是.
8. 已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.
（1）;（2）|OP|2+|OQ|2最小值为;（3）最小值是.
9. 过双曲线（a＞0,b＞0）右焦点F作直线交该双曲线右支于M,N两点，弦MN垂直平分线交x轴于P，则.
10. 已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上两点，线段AB垂直平分线与x轴相交于点，则或.
11. 设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .
12. 设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）长轴两端点，P是双曲线上一点，，,，c、e分别是双曲线半焦距离心率，则有(1).
(2) .(3) .
13. 已知双曲线（a＞0,b＞0）右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC通过线段EF 中点.
14. 过双曲线焦半径端点作双曲线切线，与以长轴为直径圆相交，则相应交点与相应焦点连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径端点作双曲线切线交相应准线于一点，则该点与焦点连线必与焦半径互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点距离与以该焦点为端点焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对旁心将外点与非焦顶点连线段提成定比e.
18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心比例中项.