步步高高三数学北师大版通用理总复习学案学案任意角的三角函数.doc

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第四章　三角函数与三角恒等变换
学案17　任意角的三角函数
导学目标: 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念, 能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、 余弦、 正切)的定义．

自主梳理
1．任意角的概念
角能够看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的________, 射线的端点O叫做角的________, 旋转终止位置的射线OB叫做角的________, 按______时针方向旋转所形成的角叫做正角, 按______时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转, 称它形成了一个________角．
(1)象限角
使角的顶点与原点重合, 角的始边与x轴的非负半轴重合, 角的终边落在第几象限, 就说这个角是__________角．
(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)
终边在x轴上的角表示为____________________;
终边在y轴上的角表示为__________________________________________;
终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________．
(3)终边相同的角
所有与角α终边相同的角, 连同角α在内, 可构成一个集合______________________或__________________________, 前者α用角度制表示, 后者α用弧度制表示．
(4)弧度制
把长度等于________长的弧所正确__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制, 叫做________, 它的单位符号是________, 读作________, 一般略去不写．
(5)度与弧度的换算关系
360°＝______ rad; 180°＝____ rad; 1°＝________ rad;
1 rad＝_______________≈57.30°.
(6)弧长公式与扇形面积公式
l＝________, 即弧长等于_________________________________________________．
S扇＝________＝____________.
2．三角函数的定义
任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点P(x, y), 那么①____叫做α的正弦, 记作sin α, 即sin α＝y; ②____叫做α的余弦, 记作cos α, 即cos α＝x; ③________叫做α的正切, 记作tan α, 即tan α＝ (x≠0)．
(1)三角函数值的符号
各象限的三角函数值的符号如下图所示, 三角函数正值歌: 一全正, 二正弦, 三正切, 四余弦．

(2)三角函数线
下图中有向线段MP, OM, AT分别表示__________, __________________和____________．

自我检测
1．”α＝”是”cos 2α＝”的 ( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2.( ·济宁模拟)点P(tan 2 009°, cos 2 009°)位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．( ·山东青岛高三教学质量检测)已知sin α<0且tan α>0, 则角α是 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．已知角α的终边上一点的坐标为, 则角α的最小正值为 (　　)
A. B. C. D.

探究点一　角的概念
例1　(1)如果角α是第三象限角, 那么－α, π－α, π＋α角的终边落在第几象限;
(2)写出终边落在直线y＝x上的角的集合;
(3)若θ＝168°＋k·360° (k∈Z), 求在[0°, 360°)内终边与角的终边相同的角．

变式迁移1　若α是第二象限的角, 试分别确定2α, 的终边所在位置．

探究点二　弧长与扇形面积
例2　( ·金华模拟)已知一个扇形的圆心角是α, 0<α<2π, 其所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°, R＝10 cm, 求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积;
(2)若扇形的周长是一定值C(C>0), 当α为多少弧度时, 该扇形有最大面积?

变式迁移2　(1)已知扇形的周长为10, 面积为4, 求扇形中心角的弧度数;
(2)已知扇形的周长为40, 当它的半径和中心角取何值时, 才能使扇形的面积最大? 最大面积是多少?

探究点三　三角函数的定义
例3　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上, 求sin α, cos α, tan α的值．

变式迁移3　已知角α的终边经过点P(－4a,3a) (a≠0), 求sin α, cos α, tan α的值．

1．角的度量由原来的角度制改换为弧度制, 要养成用弧度表示角的习惯．象限角的判断, 终边相同的角的表示, 弧度、 弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础．
2．三角函数都是以角为自变量(用弧度表示), 以比值为函数值的函数, 是从实数集到实数集的映射, 注意两种定义法, 即坐标法和单位圆法．

(满分: 75分)
一、 选择题(每小题5分, 共25分)
1．( ·宣城模拟)点P从(1,0)出发, 沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q, 则Q的坐标为 ( )
A．(－, ) B．(－, －)
C．(－, －) D．(－, )
2．若0<x<π, 则使sin x>和cos x<同时成立的x的取值范围是 (　　)
A.<x< B.<x<π
C.<x<π D.<x<π
3．已知α为第三象限的角, 则所在的象限是 (　　)
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
4．若1弧度的圆心角所对弦长等于2, 则这个圆心角所正确弧长等于 (　　)
A．sin B.
C. D．2sin
5．已知θ∈且sin θ＋cos θ＝a, 其中a∈(0,1), 则关于tan θ的值, 以下四个答案中, 可能正确的是 (　　)
A．－3 B．3或
C．－ D．－3或－
题号
1
2
3
4
5
答案

二、 填空题(每小题4分, 共12分)
6．已知点P(sin α－cos α, tan α)在第一象限, 且α∈[0,2π], 则α的取值范围是________________．
7．( ·龙岩模拟)已知点P落在角θ的终边上, 且θ∈[0,2π), 则θ的值为________．
8．阅读下列命题:
①若点P(a,2a) (a≠0)为角α终边上一点, 则sin α＝;
②同时满足sin α＝, cos α＝的角有且只有一个;
③设tan α＝且π<α<, 则sin α＝－;
④设cos(sin θ)·tan(cos θ)>0 (θ为象限角), 则θ在第一象限．其中正确命题为________．(将正确命题的序号填在横线上)
三、 解答题(共38分)
9．(12分)已知扇形OAB的圆心角α为120°, 半径长为6,
(1)求的弧长;
(2)求弓形OAB的面积．

10．(12分)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围, 并由此写出角α的集合:
(1)sin α≥;
(2)cos α≤－.

11．(14分)( ·舟山月考)已知角α终边经过点P(x, －) (x≠0), 且cos α＝x.求sin α＋的值．

答案 自主梳理
1．始边　顶点　终边　逆　顺　零　(1)第几象限
(2){α|α＝kπ, k∈Z}　　　(3){β|β＝α＋k·360°, k∈Z}　{β|β＝α＋2kπ, k∈Z}　(4)半径　圆心角　弧度制　rad　弧度　(5)2π　π　　°　(6)|α|·r　弧所正确圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积　lr　|α|r2　2.①y　②x　③　(2)α的正弦线　α的余弦线　α的正切线
自我检测
1．A　2.D　3.C　4.D
课堂活动区
例1　解题导引　(1)一般地, 角α与－α终边关于x轴对称; 角α与π－α终边关于y轴对称; 角α与π＋α终边关于原点对称．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α, k∈Z}判断一个角β所在的象限时, 只需把这个角写成[0,2π)范围内的一角α与2π的整数倍, 然后判断角α的象限．
(3)利用终边相同的角的集合能够求适合某些条件的角, 方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合, 然后经过对集合参数k赋值来求得所需角．
解　(1)π＋2kπ<α<＋2kπ (k∈Z),
∴－－2kπ<－α<－π－2kπ(k∈Z),
即＋2kπ<－α<π＋2kπ (k∈Z)．①
∴－α角终边在第二象限．
又由①各边都加上π, 得＋2kπ<π－α<2π＋2kπ (k∈Z)．
∴π－α是第四象限角．
同理可知, π＋α是第一象限角．
(2)在(0, π)内终边在直线y＝x上的角是,
∴终边在直线y＝x上的角的集合为
.
(3)∵θ＝168°＋k·360° (k∈Z),
∴＝56°＋k·120° (k∈Z)．
∵0°≤56°＋k·120°<360°,
∴k＝0,1,2时, ∈[0°, 360°)．
故在[0°, 360°)内终边与角的终边相同的角是56°, 176°, 296°.
变式迁移1　解　∵α是第二象限的角,
∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180° (k∈Z)．
(1)∵2k·360°＋180°<2α<2k·360°＋360° (k∈Z),
∴2α的终边在第三或第四象限, 或角的终边在y轴的非正半轴上．
(2)∵k·180°＋45°<<k·180°＋90° (k∈Z),
当k＝2n (n∈Z)时,
n·360°＋45°<<n·360°＋90°;
当k＝2n＋1 (n∈Z)时,
n·360°＋225°<<n·360°＋270°.
∴是第一或第三象限的角．
∴的终边在第一或第三象限．
例2　解题导引　本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式, 并与最值问题联系在一起．确定一个扇形需要两个基本条件, 因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、 半径、 弧长三个基本量中的两个, 然后再进行求解．
解　

(1)设扇形的弧长为l, 该弧所在弓形的面积为S, 如图所示,
当α＝60°＝,
R＝10 cm时,
可知l＝αR＝ cm.
而S＝S扇－S△OAB＝lR－R2sin
＝××10－×100×
＝ cm2.
(2)已知2R＋l＝C, 即2R＋αR＝C,
S扇＝αR2＝·αR·R＝·αR·2R
≤·2＝·2＝.
当且仅当αR＝2R, 即α＝2时, 等号成立, 即当α为2弧度时, 该扇形有最大面积C2.
变式迁移2　解　设扇形半径为R, 圆心角为θ, 所正确弧长为l.
(1)依题意, 得
∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或.
∵8>2π, 舍去, ∴θ＝.
(2)扇形的周长为40, 即θR＋2R＝40,
S＝lR＝θR2＝θR·2R≤2＝100.
当且仅当θR＝2R, 即R＝10, θ＝2时扇形面积取得最大值, 最大值为100.
例3　解题导引　某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关, 当终边确定时三角函数值就相应确定了．但若终边落在某条直线上时, 这时终边实际上有两个, 因此对应的函数值有两组, 要分别求解．
解　∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上,
∴在角α的终边上任取一点P(4t, －3t) (t≠0),
则x＝4t, y＝－3t,
r＝＝＝5|t|,
当t>0时, r＝5t,
sin α＝＝＝－,
cos α＝＝＝,
tan α＝＝＝－;
当t<0时, r＝－5t,
sin α＝＝＝,
cos α＝＝＝－,
tan α＝＝＝－.
综上可知, t>0时, sin α＝－, cos α＝, tan α＝－;
t<0时, sin α＝, cos α＝－, tan α＝－.
变式迁移3　解　r＝＝5|a|.
若a>0, 则r＝5a, α角在第二象限,
sin α＝＝＝,
cos α＝＝＝－,
tan α＝＝＝－.
若a<0, 则r＝－5a, α角在第四象限,
sin α＝＝＝－, cos α＝＝＝,
tan α＝＝＝－.
课后练习区
1．A　2.B　3.D　4.C　5.C
6.∪
解析　由已知得
∴＋2kπ<α<＋2kπ或π＋2kπ<α<＋2kπ, k∈Z.
∵0≤α≤2π, ∴当k＝0时, <α<或π<α<.
7.π
解析　由三角函数的定义, tan θ＝＝＝－1.
又∵sin >0, cos <0, ∴P在第四象限, ∴θ＝.
8．③
解析　①中, 当α在第三象限时,
sin α＝－, 故①错．
②中, 同时满足sin α＝, cos α＝的角为α＝2kπ＋ (k∈Z), 不只有一个, 故②错．③正确．④θ可能在第一象限或第四象限, 故④错．综上选③.
9．解　(1)∵α＝120°＝, r＝6,
∴的弧长为l＝αr＝×6＝4π.……………………………………………………(4分)
(2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π, ……………………………………………………(7分)
S△ABO＝r2·sin ＝×62×
＝9, ……………………………………………………………………………………(10分)
∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－9.………………………………………………(12分)
10．解　(1)

作直线y＝交单位圆于A、 B两点, 连结OA、 OB, 则OA与OB围成的区域即为角α的集合为.…………………………………………………(6分)
(2)

作直线x＝－交单位圆于C、 D两点, 连结OC、 OD, 则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为
.……………………………………………………(12分)
11．解　∵P(x, －) (x≠0),
∴点P到原点的距离r＝.…………………………………………………………(2分)
又cos α＝x,
∴cos α＝＝x.∵x≠0, ∴x＝±,
∴r＝2.…………………………………………………………………………………(6分)
当x＝时, P点坐标为(, －),
由三角函数的定义,
有sin α＝－, ＝－,
∴sin α＋＝－－＝－; ……………………………………………(10分)
当x＝－时,
同样可求得sin α＋＝.………………………………………………(14分)