春经济数学基础微积分部分.doc

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08春经济数学基础微积分部分
第一部 微分学
第1章 函数
1．理解函数概念。
理解函数概念时, 要掌握函数的两要素¾¾定义域和对应关系, 这要解决下面四个方面的问题:
( 1) 掌握求函数定义域的方法, 会求初等函数的定义域和函数值。要掌握常见函数的自变量的变化范围, 如分式的分母不为0, 对数的真数大于0, 偶次根式下表示式大于0。
例1 求函数的定义域。
解 : 的定义域是, 的定义域是, 但由于在分母上, 因此。故函数的定义域就是上述函数定义域的公共部分, 即1<x<2。
( 2) 理解函数的对应关系的含义: 表示当自变量取值为时, 因变量的取值为。例如, 对于函数, 表示运算:

例2 设 , 求。
解: 由于, 说明表示运算: , 因此
＝
再将代入, 得=
2．掌握函数奇偶性的判别, 知道它的几何特点;
判断函数是奇函数或是偶函数, 能够用定义去判断, 即
( 1) 若, 则偶函数; ( 2) 若, 则奇函数。
也能够根据一些已知的函数的奇偶性, 再利用”奇函数±奇函数、 奇函数×偶函数仍为奇函数; 偶函数±偶函数、 偶函数×偶函数、 奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。
例3 下列函数中, ( ) 是偶函数。
A. B.
C. D.
解: 根据偶函数的定义以及奇函数×奇函数是偶函数的原则, 能够验证A中和都是奇函数, 故它们的乘积是偶函数, 因此A正确。既然是单选题, A已经正确, 那么其它的选项一定是错误的。故正确选项是A。

第2章 极限, 导数与微分
1．掌握求简单极限的常见方法。
求极限的常见方法有: ( 1) 利用极限的四则运算法则; ( 2) 利用两个重要极限; ( 3) 利用无穷小量的性质( 有界变量乘以无穷小量还是无穷小量) ;
2．知道一些与极限有关的概念
( 1) 知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等;
( 2) 了解无穷小量的概念, 知道无穷小量的性质;
( 3) 会判断函数在某点的连续性, 会求函数的间断点。
例1 下列变量中, 是无穷小量的为( )
A. B. C. D.
解: A中: 因为 时, 是无穷小量, 是有界变量, 由定理, 是无穷小量;
B中: 因为时, , 故不是无穷小量;
C中: 因为 时, , 故; 可是时, , 故, 因此当时不是无穷小量。
D中: 因为, 故时, , 不是无穷小量。
因此正确的选项是B。
例2 当( ) 时, 在处连续。
A.0 B. －1 C.2 D. 1
解: 函数在一点连续必须满足既是左连续又是右连续。因为,
而左连续。故当1时, 在处连续。
正确的选项是D。
3．理解导数定义。
理解导数定义时, 要解决下面几个问题:
( 1) 牢记导数定义的极限表示式; ( 2) 会求曲线的切线方程;
( 3) 知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续, 连续的函数不一定可导)。
例3曲线在点( 1, 0) 处的切线是( )
A. B. C. D.
解: 根据导数的几何意义可知,
是曲线在点( 1, 0) 处的切线斜率, 故切线方程是
, 即; 故正确的选项是A。
例4 求曲线在点处的切线方程。
解: 因为,
因此, 在点处的切线方程为 , 即 。
4．熟练掌握求导数或微分的方法。
具体方法有: ( 1) 利用导数( 或微分) 的基本公式( 2) 利用导数( 或微分) 的四则运算法则( 3) 利用复合函数微分法
例5 求下列导数或微分:
( 1) 设, 求; ( 2) 设,求y¢;
( 3) 设,求。
解: ( 1) 这是一个复合函数
利用复合函数求导数
( 2) =
=
( 3) ;
5．知道高阶导数概念, 会求函数的二阶导数。
例6 已知y=, 则( )
A. B. C. D.
解: ,
。 故正确的选项是D。
第3章 导数的应用
1．掌握函数单调性的判别方法, 掌握极值点的判别方法, 会求函数的极值。
一般的方法是利用一阶导数的符号判断单调性, 也能够利用已知的基本初等函数的单调性判断。
例1在指定区间[－10, 10]内, 函数( ) 是单调增加的。
A. B. C. D.
解: 这个题目主要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况。因它们都是比较简单的函数, 从图形上就比较容易看出它们的单调性。
A中是正弦函数, 它的图形在指定区间[－10, 10]内是波浪形的, 因此不是单调增加函数。
B中是指数函数, (=－<0, 故它是单调减少函数。
C中是幂函数, 它在指定区间[－10, 10]内的图形是抛物线, 因此不是单调增加函数。
根据排除法可知正确答案应是D。也能够用求导数的方法验证: 因为在指定区间[－10, 10]内, 有
故是单调增加函数。正确的选项是D。
例2 函数的单调增加区间是_________。
解: 用求导数的方法, 因为
令则, 则函数的单调增加区间应该填写。
2．了解一些基本概念。
( 1) 了解函数极值的概念, 知道函数极值存在的必要条件, 知道函数的极值点与驻点的区别与联系;
例3 函数的驻点是　　 　 　.
解: 根据驻点定义, 令, 得。应该填写
( 2) 了解边际概念和需求价格弹性概念;
例4 已知需求函数为, 则需求弹性= .
解: 因为 , 且=
因此应该填写
例5 已知需求函数, 当时, 需求弹性为( ) ．
A． B． C． D．
解: 因为 , 且
=
; 故正确选项是C
3．熟练掌握求经济分析中的问题( 如平均成本最低、 收入最大和利润最大等) 。掌握求边际函数的方法, 会计算需求弹性。
例6 设生产某种产品台时的成本( 万元) , 试求( 1) 当时的总成本, 平均成本和边际成本; ( 2) 当产量为多少时, 平均成本最小。
解: ( 1) 当时的总成本( 万元)
当时的平均成本 ( 万元/台)
当时的边际成本 ;
( 2) ,
令, 求得。因为有意义的驻点唯一, 且平均成本存在着最小大值, 因此当产量为20台时, 可使平均成本达到最小大。
例7 设某产品的成本函数为( 元) ,
其中q是产量, 单位: 件。单位销售价格为( 元/件) 问产量为多少时可使利润达到最大。最大利润是多少?
解 : 因为 , 且
因此
, 令, 解得( 件)
因唯一驻点唯一, 故q=250件是所求的最大值点。当产量为250件时, 利润最大。最大利润为 ( 元)
例8 生产某种产品的固定费用是1000万元,每多生产1台该种产品, 其成本增加10万元, 又知对该产品的需求为q=120-2p(其中q是产销量, 单位: 台; p是价格,单位:万元).求 (1) 使该产品利润最大的产量; (2) 该产品的边际收入.
解: ( 1) 设总成本函数为C(q), 收入函数为R(q), 利润函数为L(q), 于是
C(q)=10q+1000(万元), R(q)=qp=(万元),
L(q)＝R(q)-C(q)=(万元) , 得到 q=50(台),
因为驻点唯一, 故q＝50台是所求最小值点。即生产50台的该种产品能获最大利润。
(2) 因 R(q)=, 故边际收入R¢(q)=60－q(万元/台) 。

第二部 一元函数积分学
第1章 不定积分
1．理解原函数与不定积分概念。
( 1) 什么是原函数? 若函数的导数等于, 即, 则称函数是的原函数。
( 2) 什么是不定积分? 原函数的全体( 其中是任意常数) 称为的不定积分, 记为=。
( 3) 知道不定积分与导数( 微分) 之间的关系。
不定积分与导数( 微分) 之间互为逆运算, 即先积分, 再求导, 等于它本身; 先求导, 再积分, 等于函数加上一个任意常数, 即
=, =,
,
例1 如果F( x) 是f( x) 的一个原函数, c为任意常数, 则下式成立的是( ) 。
A． B．
C． D．
解: 如果F( x) 是f( x) 的一个原函数, 则F( x) ＋c都是f( x) 的原函数, 故有, 即正确的选项是C。
例2 如果, 则f( x) =( )
A．2sin2x B． －2cos2x C．－2sin2x D． 2cos2x
解 : f( x) =. 正确的选项是D。
例3 设是函数的一个原函数, 则＝( ) 。
A． B．
C． D．
解: 因为是函数的一个原函数, 即有=, 故
＝=
故正确的选项C。
例4 设的一个原函数是, 则( ) 。
A． B． C． D．
解: 因为的一个原函数是, 故( ＝
故正确的选项B。
例5 已知=sinx+c, 则f( x) =( )
A． B． xsinx C． D．xcosx
解: 对=sinx+c两端求导, 得, 故f( x) =,
正确的选项是C。
2．熟练掌握不定积分的计算方法。
常见的积分方法有
( 1) 运用积分基本公式直接进行积分; ( 2) 第一换元积分法( 凑微分法) ;
( 3) 分部积分法, 主要掌握被积函数是以下类型的不定积分:
　　①幂函数与指数函数相乘; ②幂函数与对数函数相乘;
③幂函数与正( 余) 弦函数相乘;
例6．( ) 。
A． B． C． D．
解: 两种方法, 其一是凑微分直接计算:

其二是求导计算: 四个备选答案中都含有项, 对它求导

与被积函数比较可知, 是的原函数。
正确的选项是B。
例7 计算下列积分
( 1) ( 2) ( 3)
解 :
( 1) 因为
因此=
( 2) 设, 利用分部积分公式,

( 3) 设, 利用分部积分公式,
= =
第2章 定积分
1．了解定积分的概念, 知道奇偶函数在对称区间上的积分结果．
奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果:
若是奇函数, 则有
若是偶函数, 则有
例1 若是的一个原函数, 则下列等式成立的是( )．
A． B．
C． D．
解: 可知, 正确的选项是B。
例2 =( )。
A． －ln(x2+1) B． ln(x2+1) C．ln(x2+1)2x D．.－ln(x2+1)2x
解: ＝－ln(x2+1)。 故正确的选项是A。
例3 。
解: 因为是奇函数, 故0。 应该填写: 0
2．熟练掌握定积分的计算方法。
例4 计算下列定积分
( 1) ( 2)
( 2) ( 4)
解 : ( 1) 利用, 于是
==
注意,
( 2) 利用=, 可知 ＝＝
( 3) 用分部积分法
＝ =
( 4) 用分部积分法
=- ==
3．知道无穷限积分的收敛概念, 会求简单的无穷限积分。
例5 广义积分= 。
解: 因为=。 应该填写:
例6 下列无穷积分中收敛的是( ) ．
A． B． C． D．
解: 因为==1; 因此正确的选项是B。

第3章 积分应用
1．熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、 收入函数和利润函数或其增量的方法。
例1 生产某产品的边际成本为 (万元/百台), 边际收入为 ( 万元/百台) , 其中x为产量, 若固定成本为10万元, 问( 1) 产量为多少时, 利润最大? ( 2) 从利润最大时的产量再生产2百台, 利润有什么变化?
解: ( 1) 边际利润
令 , 得 ( 百台)
又是的唯一驻点, 根据问题的实际意义可知存在最大值, 故是的最大值点, 即当产量为10( 百台) 时, 利润最大。
( 2) 利润的变化即从利润最大时的产量再生产2百台, 利润将减少20万元。
例2 已知某产品的边际成本为(万元/百台), x为产量(百台), 固定成本为18(万元), 求最低平均成本.
解: 因为总成本函数为 =
当x = 0时, C(0) = 18, 得 c =18, 即 C(x)=
又平均成本函数为
令 , 解得x = 3 (百台)。该题确实存在使平均成本最低的产量. 当x = 3时, 平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台)
2．了解微分方程的几个概念: 微分方程、 阶、 解( 通解、 特解) 线性方程等。