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第二十一讲 从三角形内切圆谈起
和多边形各边都相切圆叫做多边形内切圆，这个多边形叫做圆外切多边形．三角形内切圆圆心叫做这个三角形内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：
1．三角形内心是三角形三内角平分线交点，它到三角形三边距离相等；
2．圆外切四边形两组对边之和相等，其逆亦真，是鉴定四边形与否有外切圆重要措施．
当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论下图形：
注：设Rt△ABC各边长分别为a、b、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径不同体现式：
(1)；
(2)．
请读者给出证
【例题求解】
【例1】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°°，BC=5，⊙O与Rt△ABC三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O半径r＝2，则Rt△ABC周长为 ．
思路点拨 AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF(或AD)即可．
【例2】 如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点(异于A、B)，过点P作半圆O切线分别交过A、B两点切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP：③DP·P C为定值；④FA为∠NPD平分线，其中一定成立是( )
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④
思路点拨 本例综合了切线性质、切线长定理、相似三角形，鉴定性质等重要几何知识，注意基本辅助线添出、基本图形辨认、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例核心．
【例3】 如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点圆交AB于F，求证：F为△CDE内心．
(初中数学联赛试题)
思路点拨 连CF、DF，即需证F为△CDE角平分线交点，充足运用与圆有关角，将问题转化为角相等问题证明．
【例4】 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB为直径作半圆O切CD于E，连结OE，并延长交AD延长线于F．
(1)问∠BOZ能否为120°，并简要阐明理由；
(2)证明△AOF∽△EDF，且；
(3)求DF长．
思路点拨 分解出基本图形，作出基本辅助线．(1)若∠BOZ=120°，看能否推出矛盾；(2)把计算与推理融合；(3)把相应线段用DF代数式体现，运用勾股定理建立有关DF一元二次方程．
注： 如图，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，则可得到应用广泛两个性质：
(1)以边AB为直径圆与边CD相切；
(2)以边CD为直径圆与边AB相切．
类似地，三角形三条中线交点叫三角形重心，三角形三边高所在直线交点叫三角形垂心．外心、内心、垂心、重心统称三角形四心，它们处在三角而中特殊位置上，有着丰富性质，在解题中有广泛应用．
【例5】 如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上高，O、O1、O2分别是△ABC；△ACD、△BCD角平分线交点，求证：(1) O1O⊥C O2；(2)OC= O1O2．
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨 在直角三角形中，斜边上高将它提成两个直角三角形和原三角形相似，得相应角相等，因此通过证交角为90°措施得两线垂直，又运用全等三角形证明两线段相 等．
学力训练
1．如图，已知圆外切等腰梯形ABCD中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD周长等于= cm．
2．如图，在直角，坐标系中A、B坐标分别为(3，0)、(0，4)，则Rt△ABO内心坐标是 ．
3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC， DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB为直径⊙O与DC相切于E，则DC= ．
4．如图，⊙O为△ABC内切圆，∠C=90°，AO延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O半径等于( )
A． B． C． D．
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，以CD为直径半圆O切AB于点E，这个梯形面积为21cm2，周长为20cm，那么半圆O半径为( )
A．3cm B．7cm C ．3cm或7cm D． 2cm
6．如图，△ABC中，内切圆O和边B、CA、AB分别相切于点D、EF，则如下四个结论中，错误结论是( )
A．点O是△DEF外心 B．∠AFE=(∠B+∠C)
C．∠BOC=90°+∠A D．∠DFE=90°一∠B
7．如图，BC是⊙O直径，AB、AD是⊙O切线，切点分别为B、P，过C点切线与AD交于点D，连结AO、DO．
(1)求证：△ABO∽△OCD；
(2)若AB、CD是有关x方程两个实数根，且S△ABO+ S△OCD=20，求m值．
8．如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O切线，OC与⊙O相交于点D，连结AD并延长，BC相交于点E．
(1)若BC=，CD=1，求⊙O半径；
(2)取BE中点F，连结DF，求证：DF是⊙O切线；
(3)过D点作DG⊥BC于G，OG与DG相交于点M，求证：DM＝GM．
9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm，AB为⊙O直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1cm／秒速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2cm／秒速度运动，点P、Q分别从A、C两点同步出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．
(1)求⊙O直径；
(2)求四边形PQCD面积y有关P、Q运动时间t函数关系式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCP面积；
(3)与否存在某时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t 值；若不存在，请阐明理由． (烟台市中考题)
10．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD为AB上高，Ol、O2分别为△ACD、△BCD内心，则OlO2= ．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B平分线相交于P点，又PE⊥AB于点E，若BC=2，AC=3，则AE·EB= ．
12．如果一种三角形面积和周长都被始终线所平分，那么该直线必通过这个三角形( )
A．内心 B．外心 C．圆心 D．重心
13．如图，AD是△ABC角平分线，⊙O过点AB和BC相切于点P，和AB、AC分别交于点E，F，若BD=AE，且BE=a，CF=b，则AF长为( )
A． B． C． D．
14．如图，在矩形ABCD中，连结AC，如果O为△ABC内心，过O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，则矩形OFDE面积与矩形ABCD面积比值为( )
A． B． C． D．不能拟定
(《学习报》公开赛试题)
⌒
15．如图，AB是半圆直径，AC为半圆切线，AC=AB．在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点F，BF⊥AB，交线段AD延长线于点F．
(1)设AD是x°弧，并要使点E在线段BA延长线上，则x取值范畴是 ；
(2)无论D点取在半圆什么位置，图中除AB=AC外，尚有两条线段一定相等，指出这两条相等线段，并予证明．
16．如图，△ABC三边满足关系BC=(AB+AC)，O、I分别为△ABC外心、内心，∠ BAC外角平分线交⊙O于E，AI延长线交⊙O于D，DE交BC于H．
求证：(1)AI=BD；(2)OI=AE．
17．如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点F，问EP与PD与否相等?证明你结论．
⌒
18．如图，已知点P在半径为6，圆心角为90°扇形OABAB(不含端点)上运动，PH⊥OA于H，△OPH重心为G．
(1)当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中有无长度保持不变线段?如果有，请指出并求出其相应长度；
(2)设PH= x，GP=y，求y有关x函数解析式，并指出自变量x取值范畴；
(3)如果△PGH为等腰三角形，试求出线段PH长．
参照答案
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