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第二十一讲 从三角形内切圆谈起
和多边形各边都相切圆叫做多边形内切圆,这个多边形叫做圆外切多边形.三角形内切圆圆心叫做这个三角形内心,圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质:
1.三角形内心是三角形三内角平分线交点,它到三角形三边距离相等;
2.圆外切四边形两组对边之和相等,其逆亦真,是鉴定四边形与否有外切圆重要措施.
当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时,就得到隐含丰富结论下图形:
注:设Rt△ABC各边长分别为a、b、c (斜边),运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径不同体现式:
(1);
(2).
请读者给出证
【例题求解】
【例1】 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°°,BC=5,⊙O与Rt△ABC三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F,若⊙O半径r=2,则Rt△ABC周长为 .
思路点拨 AF=AD,BE=BD,连OE、OF,则OECF为正方形,只需求出AF(或AD)即可.
【例2】 如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P作半圆O切线分别交过A、B两点切线于D、C,AC、BD相交于N点,连结ON,NP,下列结论:①四边形ANPD是梯形;②ON=NP:③DP·P C为定值;④FA为∠NPD平分线,其中一定成立是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①④
思路点拨 本例综合了切线性质、切线长定理、相似三角形,鉴定性质等重要几何知识,注意基本辅助线添出、基本图形辨认、等线段代换,推导出NP∥AD∥BC是解本例核心.
【例3】 如图,已知∠ACP=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,过A、C、D三点圆交AB于F,求证:F为△CDE内心.
(初中数学联赛试题)
思路点拨 连CF、DF,即需证F为△CDE角平分线交点,充足运用与圆有关角,将问题转化为角相等问题证明.
【例4】 如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1,以AB为直径作半圆O切CD于E,连结OE,并延长交AD延长线于F.
(1)问∠BOZ能否为120°,并简要阐明理由;
(2)证明△AOF∽△EDF,且;
(3)求DF长.
思路点拨 分解出基本图形,作出基本辅助线.(1)若∠BOZ=120°,看能否推出矛盾;(2)把计算与推理融合;(3)把相应线段用DF代数式体现,运用勾股定理建立有关DF一元二次方程.
注: 如图,在直角梯形ABCD中,若AD+BC=CD,则可得到应用广泛两个性质:
(1)以边AB为直径圆与边CD相切;
(2)以边CD为直径圆与边AB相切.
类似地,三角形三条中线交点叫三角形重心,三角形三边高所在直线交点叫三角形垂心.外心、内心、垂心、重心统称三角形四心,它们处在三角而中特殊位置上,有着丰富性质,在解题中有广泛应用.
【例5】 如图,已知Rt△ABC中,CD是斜边AB上高,O、O1、O2分别是△ABC;△ACD、△BCD角平分线交点,求证:(1) O1O⊥C O2;(2)OC= O1O2.
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨 在直角三角形中,斜边上高将它提成两个直角三角形和原三角形相似,得相应角相等,因此通过证交角为90°措施得两线垂直,又运用全等三角形证明两线段相 等.
学力训练
1.如图,已知圆外切等腰梯形ABCD中位线EF=15cm,那么等腰梯形ABCD周长等于= cm.
2.如图,在直角,坐标系中A、B坐标分别为(3,0)、(0,4),则Rt△ABO内心坐标是 .
3.如图,梯形ABCD中,AD∥BC, DC⊥BC,AB=8,BC=5,若以AB为直径⊙O与DC相切于E,则DC= .
4.如图,⊙O为△ABC内切圆,∠C=90°,AO延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O半径等于( )
A. B. C. D.
5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,以CD为直径半圆O切AB于点E,这个梯形面积为21cm2,周长为20cm,那么半圆O半径为( )
A.3cm B.7cm C .3cm或7cm D. 2cm
6.如图,△ABC中,内切圆O和边B、CA、AB分别相切于点D、EF,则如下四个结论中,错误结论是( )
A.点O是△DEF外心 B.∠AFE=(∠B+∠C)
C.∠BOC=90°+∠A D.∠DFE=90°一∠B
7.如图,BC是⊙O直径,AB、AD是⊙O切线,切点分别为B、P,过C点切线与AD交于点D,连结AO、DO.
(1)求证:△ABO∽△OCD;
(2)若AB、CD是有关x方程两个实数根,且S△ABO+ S△OCD=20,求m值.
8.如图,已知AB是⊙O直径,BC是⊙O切线,OC与⊙O相交于点D,连结AD并延长,BC相交于点E.
(1)若BC=,CD=1,求⊙O半径;
(2)取BE中点F,连结DF,求证:DF是⊙O切线;
(3)过D点作DG⊥BC于G,OG与DG相交于点M,求证:DM=GM.
9.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=13cm,BC=16cm,CD=5cm,AB为⊙O直径,动点P沿AD方向从点A开始向点D以1cm/秒速度运动,动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2cm/秒速度运动,点P、Q分别从A、C两点同步出发,当其中一点停止时,另一点也随之停止运动.
(1)求⊙O直径;
(2)求四边形PQCD面积y有关P、Q运动时间t函数关系式,并求当四边形PQCD为等腰梯形时,四边形PQCP面积;
(3)与否存在某时刻t,使直线PQ与⊙O相切,若存在,求出t 值;若不存在,请阐明理由. (烟台市中考题)
10.已知在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,CD为AB上高,Ol、O2分别为△ACD、△BCD内心,则OlO2= .
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A和∠B平分线相交于P点,又PE⊥AB于点E,若BC=2,AC=3,则AE·EB= .
12.如果一种三角形面积和周长都被始终线所平分,那么该直线必通过这个三角形( )
A.内心 B.外心 C.圆心 D.重心
13.如图,AD是△ABC角平分线,⊙O过点AB和BC相切于点P,和AB、AC分别交于点E,F,若BD=AE,且BE=a,CF=b,则AF长为( )
A. B. C. D.
14.如图,在矩形ABCD中,连结AC,如果O为△ABC内心,过O作OE⊥AD于E,作OF⊥CD于F,则矩形OFDE面积与矩形ABCD面积比值为( )
A. B. C. D.不能拟定
(《学习报》公开赛试题)
⌒
15.如图,AB是半圆直径,AC为半圆切线,AC=AB.在半圆上任取一点D,作DE⊥CD,交直线AB于点F,BF⊥AB,交线段AD延长线于点F.
(1)设AD是x°弧,并要使点E在线段BA延长线上,则x取值范畴是 ;
(2)无论D点取在半圆什么位置,图中除AB=AC外,尚有两条线段一定相等,指出这两条相等线段,并予证明.
16.如图,△ABC三边满足关系BC=(AB+AC),O、I分别为△ABC外心、内心,∠ BAC外角平分线交⊙O于E,AI延长线交⊙O于D,DE交BC于H.
求证:(1)AI=BD;(2)OI=AE.
17.如图,已知AB是⊙O直径,BC是⊙O切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点F,问EP与PD与否相等?证明你结论.
⌒
18.如图,已知点P在半径为6,圆心角为90°扇形OABAB(不含端点)上运动,PH⊥OA于H,△OPH重心为G.
(1)当点P在AB上运动时,线段GO、GP、GH中有无长度保持不变线段?如果有,请指出并求出其相应长度;
(2)设PH= x,GP=y,求y有关x函数解析式,并指出自变量x取值范畴;
(3)如果△PGH为等腰三角形,试求出线段PH长.
参照答案
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