2022年八年级数学竞赛讲座全等三角形.doc

第十讲 全等三角形
全等三角形是平面几何内容基本，这是由于全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质有力工具，是解决与线段、角有关问题一种出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常用几何问题．
运用全等三角形证明问题，核心在于从复杂图形中找到一对基本三角形，这对基本三角形从实质上来说，是由三角形全等鉴定定理中一对三角形变位而来，也也许是由几对三角形构成，其间关系互相传递，应熟悉波及有公共边、公共角如下两类基本图形：

例题求解
【例1】 如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AC＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN，其中对旳结论是 (把你觉得所有对旳结论序号填上)． (广州市中考题)
思路点拨 对一种复杂图形，先找出比较明显一对全等三角形，并发既有用条件，进而判断推出其她三角形全等．
注 两个三角形全等是指两个图形之间一种‘相应”关系，“相应’两字，有“相称”、“相应”含意，相应关系是按一定原则一对一关系，“互相重叠”是判断其相应某些原则．
实际遇到图形，两个全等三角形并不重叠在一起，但其中一种三角形是由另一种三角形按平行移动、翻拆、旋转等措施得到，这种变化位置，不变化形状大小图形变动叫三角形全等变换．
【例2】 在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，则边AB取值范畴是( )
A．1<AB<9 B．3<AB<13 C．5<AB<13 D．9<AB<13
(连云港市中考题)
思路点拨 线段AC、AD、AB不是同一种三角形三条边，通过中线倍长将分散条件加以集中．
【例3】 如图，BD、CE分别是△ABC边AC和AB上高，点P在BD延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ=AB
求证：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．
(江苏省竞赛题)

思路点拨 (1)证明相应两个三角形全等；(2)在(1)基本上，证明∠PAQ=90°
【例4】 若两个三角形两边和其中一边上高分别相应相等，试判断这两个三角形第三边所对角之间关系，并阐明理由．
( “五羊杯”竞赛题改编题)
思路点拨 运用全等三角形鉴定和性质，探讨两角之间关系，解题核心是由高特殊性，分三角形形状讨论．
注 有时图中并没有直接全等三角形，，需要通过作辅助线构造全等三角形，完毕恰当添辅助线任务，我们思堆要经历一种观测、联想、构造过程．
边、角、中线、角平分线、高是三角形基本元素，从以上诸元素中选用三个条件使之组合可得到有关三角形全等鉴定若干命题，其中有真有假，课本中全等三角形鉴定措施只波及边、角两类元素．
【例5】 如图，已知四边形纸片ABCD中，AD∥ BC，将∠ABC、∠DAB分别对折，如果两条折痕正好相交于DC上一点E，你能获得哪些结论?

思路点拨 折痕先后重叠某些是全等，从线段关系、角关系、面积关系等不同方面进行摸索，以获得更多结论．
注 例5融操作、观测、猜想、推理于一体，需要一定综合能力．推理论证既是阐明道理，也是摸索、发现逄径．
善于在复杂图形中发现、分解、构造基本全等三角形是解题核心，需要注是，一般面临如下状况时，我们才考虑构造全等三角形：
(1)给出图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形；
(2)从题设条件无法证明图形中三角形全等，证明需要另行构造全等三角形．

学力训练
1．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC、B′C边上高，且AB= A′B′，AD＝A′D，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件(只需要填写一种你
觉得恰当条件) ． (黑龙江省中考题)

2．如图，在△ABD和△ACE中，有下列4个论断：①AB=AC；②AD＝AC；③∠B=∠C；④BD=CE，请以其中三个论断作为条件，余下一种论断作为结论，写出一种真命题(用序号○○○→○形式写出) ． (海南省中考题)
3．如图，把大小为4×4正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请在下图中，沿着虚线画出四种不同分法，把4×4正方形方格图形分割成两个全等图形．

4．如图，DA⊥AB，EA⊥AC，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于O，则∠DOE度数是 ．

5．如图，已知OA=OB，OC=OD，下列结论中：①∠A=∠B；(②DE＝CE；③连OE，则OE平分∠O，对旳是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE长等于( )
A．DC B． BC C．AB D．AE+AC (武汉市选拔赛试题)
7．如图，AE∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等三角形有( )对
A．5 B．6 C． 7 D．8

8．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C′，A′B′交AC于点D，已知∠A′DC=90°，求∠A度数． (贵州省中考题)
9．如图，在△ABE和△ACD中，给出如下4个论断：①AB=AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中3个论断为题设，填人下面“已知”栏中，一种论断为结论，填人下面“求证”栏中，使之构成一种真命题，并写出证明过程．
已知：
求证：
(荆州市中考题)
10．如图，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，
求证：∠M=（∠ACB－∠B）． (天津市竞赛题)

11．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝ ．

12．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝36°，那么∠BED ．
(河南省竞赛题)
13．如图，D是△ABC边AB上一点，DF交AC于点F，给出3个论断：①DE=FE；②AE＝CE；③FC∥AB，以其中一种论断为结论，别旳两个论断为条件，可作出3个命题，其中对旳命题个数是 ．
(武汉市选拔赛试题)
14．如图，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD=4，BC=2，那么AB= ．

15．如图，在△ABC中，AD是∠A外角平分线，P是AD上异于A任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB=c，AC=b，则（m+n）与(b+c)大小关系是( )
A．m+n> b+c B． m+n<b+c C．m+n= b+c D．不能拟定
16．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB>AD，下列结论中对旳是( ) A．AB－AD>CB－CD B．AB－AD＝CB—CD
C．AB—AD<CB—CD D．AB－AD与CB—CD大小关系不拟定．
(江苏省竞赛题)
17．考察下列命题( )
(1) 全等三角形相应边上中线、高、角平分线相应相等；
(2) 两边和其中一边上中线(或第三边上中线)相应相等两个三角形全等；
(3) 两角和其中一角角平分线(或第三角角平分线)相应相等两个三角形全等；
(4)两边和其中一边上高(或第三边上高)相应相等两个三角形全等．
其中对旳命题个数有( )
A．4个 B．3个 C． 2个 D．1个
18．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE=(AB+AD)，求∠ABC+∠ADC度数． (上海市竞赛题)

19．如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF大小关系，并证明你结论．
20．如图，已知AB=CD=AE＝BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDC面积．
(江苏省竞赛题)
21．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AF+CD．
(武汉市选拔赛试题)

22．(1)已知△ABC和△A′B′C′中，AB= A′B′，BC= B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′=100°，求证：△ABC≌△A′B′C′；
(2)上问中，若将条件改为AB＝A′B′，BC= B′C′，∠BAC＝∠∠B′A′C ′=70°，
结论与否成立?为什么?