2022年全国初中数学联合竞赛试题及详解.doc

全国初中数学联合竞赛试题
第一试
(3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选用题（本题满分42分，每题7分）
(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D四个答案，其中有且仅有一种是对旳.将你所选用答案代号填在题后括号内. 每题选对得7分；不选、选错或选出代号字母超过一种（无论与否写在括号内），一律得0分.)
1.用体现不超过最大整数，把称为小数某些.已知，是小数某些，是小数某些，则 （ ）

2.三种图书单价分别为10元、15元和20元，某学校筹划正好用500元购买上述图书30本，那么不同购书方案有 （ ）
种 种 种 种
3(A). 如果一种正整数可以体现为两个持续奇数立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 和均为“和谐数”.那么，不超过正整数中，所有“和谐数”之和为 （ ）

3(B）.已知二次函数图象顶点在第二象限，且过点.当为整数时， （ ）

4.已知半径垂直于弦,交于点，连接并延长交于点,若,则面积为 （ ）

5.如图，在四边形中，，,,对角线交点为，则 ( )

6.设实数满足 则最大值为 ( )

二、填空题（本题满分28分，每题7分）
(本题共有4个小题，规定直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2（B）】 已知顶点、在反比例函数（）图象上，,,轴，点在点上方，且则点坐标为 .
1(B).已知最大边上高线和中线正好把三等分，,则 .
2(A).在四边形中，∥,平分,为对角线交点，则 .
3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘掉写两个三位数间乘号，得到一种六位数，这个六位数正好为本来两个三位数乘积3倍，这个六位数是 .
3(B).若质数、满足：则最大值为 .
4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一种5行5列表格内（每格填入一种数），使得同一列中任何两数之差绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和最小值为,则最大值为 .

第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知为正整数，求能取到最小正整数值.

二、（本题满分25分）
(A).如图，点在觉得直径上，于点,点在上，四边形是正方形，延长线与交于点.证明:.

(B).已知：
求值.

三、（本题满分25分）
(A).已知正实数满足： ,且
.
(1) 求值.
(2) 证明:.

(B).如图，在等腰中,为边上异于中点点，点有关直线对称点为点,延长线与延长线交于点 求值.

全国初中数学联合竞赛试题及详解
第一试
(3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选用题（本题满分42分，每题7分）
(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D四个答案，其中有且仅有一种是对旳.将你所选用答案代号填在题后括号内. 每题选对得7分；不选、选错或选出代号字母超过一种（无论与否写在括号内），一律得0分.)
1.用体现不超过最大整数，把称为小数某些.已知，是小数某些，是小数某些，则 （ ）

【答案】.
【解析】 即
又 故选A.
2.三种图书单价分别为10元、15元和20元，某学校筹划正好用500元购买上述图书30本，那么不同购书方案有 （ ）
种 种 种 种
【答案】C.
【解析】设购买三种图书数量分别为则，
即，解得 依题意得，为自然数（非负整数），
故有种也许取值（分别为，对于每一种值，和均有唯一值（自然数）相相应. 即不同购书方案共有11种，故选C.
3(A). 如果一种正整数可以体现为两个持续奇数立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 和均为“和谐数”.那么，不超过正整数中，所有“和谐数”之和为 （ ）

【答案】B.
【解析】
（其中为非负整数），由得，
，即得所有不超过“和谐数”，它们和为
故选B.
3(B）.已知二次函数图象顶点在第二象限，且过点.当为整数时， （ ）

【答案】B.
【解析】依题意知 故 且，
，于是
又为整数， 故，故选B.
4.已知半径垂直于弦,交于点，连接并延长交于点,若,则面积为（ ）

【解析】设则
于
在中，
即解得，即 （第4题答案图）
为中位线， 是直径，
故选A.
5.如图，在四边形中，，,,对角线交点为，则 ( )

（第5题答案图）
【答案】D.
【解析】过点作于点则～ 设 则
在中， 则
显然，化简整顿得
解得（不符合题意，舍去），故
在中，,故选D.
6.设实数满足 则最大值为 ( )

【答案】C.
【解析】

当且仅当时，取等号，故，故选C.
二、填空题（本题满分28分，每题7分）
(本题共有4个小题，规定直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2（B）】 已知顶点、在反比例函数（）图象上，,,轴，点在点上方，且则点坐标为 .

【答案】.
【解析】如图，过点作于点.
在中，
在中， （第1题答案图）
,设，
依题意知故，于是
解得，故点坐标为.
1(B).已知最大边上高线和中线正好把三等分，,则 .
【答案】.
【解析】

（第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）
依题意得，故.
(1)若时，如答案图1所示，≌
又平分 在中，即
从而.
在中，
在中，.
(2)若时，如答案图2所示.同理可得.综上所述，.
2(A).在四边形中，∥,平分,为对角线交点，则 .
【答案】.
【解析】设，
平分,,
∥,， (第2题答案图)
,,,
,,

解得，,

故.
3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘掉写两个三位数间乘号，得到一种六位数，这个六位数正好为本来两个三位数乘积3倍，这个六位数是 .
【答案】.
【解析】设两个三位数分别为，则，①
故是正整数倍，不妨设（为正整数），代入①得是三位数，，解得
为正整数，也许取值为验证可知，只有符合，此时
故所求六位数为.
3(B).若质数、满足：则最大值为 .
【答案】.
【解析】由得，
由于质数，故值随着质数增大而增大，当且仅当获得最大值时，获得最大值.
又，，由于质数，故也许取值为
，但时，不是质数，舍去.
当时,恰为质数.故.
4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一种5行5列表格内（每格填入一种数），使得同一列中任何两数之差绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和最小值为,则最大值为 .
【答案】
【解析】(根据5个1分布列数不同情形进行讨论,拟定最大值.
(1)若5个1分布在同一列，则；
(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中浮现最大数至多为3，故
,故;
(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中浮现最大数至多为3，故
,故;
(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一种数不不不小于3，这与已知矛盾.
综上所述，
另一方面，如下表例子阐明可以取到10.故最大值为
1
1
1
4
5
1
1
2
4
5
2
2
2
4
5
3
3
2
4
5
3
3
3
4
5

第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知为正整数，求能取到最小正整数值.
【解析】解：由于正整数，要使得值为正整数，则有.
当时，只能为1，此时故能取到最小正整数值不超过4.
当时，只能为1或2.若;若，则.
当时，只能为1或2或3.若;若;若则.
(下面考虑：值能否为1？)
（反证法）假设，则，即，
①
由于正整数，故为奇数，从而为奇数，为偶数，
不妨设，其中均为正整数，则

即被除所得余数为3，而被4除所得余数为1，
故①式不也许成立，故.因而，能取到最小正整数值为2.
二、（本题满分25分）
(A).如图，点在觉得直径上，于点,点在上，四边形是正方形，延长线与交于点.证明:.

(第2(A)题答案图)
【证明】：连接、为直径，于点

由四边形是正方形及于点可知:
点在上，

以点为圆心、为半径作与直线交于另一点,则与切于点,即是切线，直线是割线，故由切割线定理得
,即点与点重叠，点在上，.
(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)
(B).已知：
求值.
【解析】由已知得
由恒等式得，

又
同理可得
∴原式=

【注：恒等式】
三、（本题满分25分）
(A).已知正实数满足： ,且
.
(3) 求值.
(4) 证明:.
【解析】（1）解：由等式，
去分母得，
，
，，
，原式=
（2）证明：由（1）得计算过程知，又为正实数,

∴.
【注：

】
(B).如图，在等腰中,为边上异于中点点，点有关直线对称点为点,延长线与延长线交于点 求值.

（第3（B）题答案图）
【解析】如图，连接,则
点有关直线对称点为点,
四点共圆,(同弧所对得圆周角相等)
,四点共圆，

（注：若共底边两个三角形顶角相等，且在底边同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）