2022年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答转化可化为一元二次方程的方程.doc

第六讲 转化—可化为一元二次方程方程
数学(家)特有思维方式是什么?若从量方面考虑，一般运用符号进行形式化抽象，在一种概念和公理体系内实行推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷玩艺》一书中写道：“作为数学家思维来说是很典型，她们往往不对问题进行正面袭击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经可以解决问题．”
转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次整式方程)基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，运用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．
【例题求解】
【例1】 若，则值为 ．

思路点拨 视为整体，令，用换元法求出即可．

【例2】 若方程有两个不相等实数根，则实数取值范畴是( )
A． B． C． D．

思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根个数讨论转化为一元二次方程实根个数讨论，但需注意注隐含制约．

注：转化与化归是一种重要数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径转化：实际问题转化大为数学问题，数与形转化，常量与变量转化，一般与特殊转化等．
解下列方程：
（1）；

(2)；

（3）．

按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1)，运用倒数关系换元；对于(2)，从受到启示；对于(3)，设，则可导出、成果．

注：换元是建立在观测基本上，换元不拘泥于一元代换，可根据问题特点，进行多元代换．
【例4】 若有关方程只有一种解(相等解也算作一种)，试求值与方程解．
思路点拨 先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解讨论转化为整式方程解讨论，“只有一种解”内涵丰富，在全面分析基本上求出值．

注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有也许产生增根，分式方程只有一种解，也许足转化后所得整式方程只有一种解，也也许是转化后整式方程有两个解，而其中一种是原方程增根，故分式方程解讨论，要运用鉴别式、增根等知识全面分析．
【例5】 已知有关方程有两个根相等，求值．
思路点拨 通过换元可得到两个有关含参数一元二次方程，运用鉴别式求出值．

注：运用根鉴别式延伸到分式方程、高次方程根状况探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程根为基本，但对转换能力、思维周密提出了较高规定．

学历训练

1．若有关方程有增根，则值为 ；若有关方程 曾＝一1解为正数，则取值范畴是 ．
2．解方程得 ．

3．已知方程有一种根是2，则= ．
4．方程全体实数根积为( )
A．60 B．一60 C．10 D．一10
5．解有关方程不会产生增根，则是值是( )
A．2 B．1 C．不为2或一2 D．无法拟定
6．已知实数满足，那么值为( )
A．1或一2 B．一1或2 C．1 D．一2

7．(1)如表，方程1、方程2、方程3、……，是按照一定规律排列一列方程，解方程1，并将它解填在表中空格处；
(2)若方程()解是=6，=10，求、值．该方程是不是(1)中所给一列方程中一种方程?如果是，它是第几种方程?
(3)请写出这列方程中第个方程和它解，并验证所写出解适合第个方程．
序号
方 程
方程解
1

=
=
2

=4
=6
3

=5
=8
…
…
…
…
8．解下列方程：
（1） ；
（2）；
(3)；
(4)．
9．已知有关方程，其中为实数，当m为什么值时，方程恰有三个互不相等实数根?求出这三个实数根．
10．方程解是 ．

11．解方程得 ．

12．方程解是 ．

13．若有关方程恰有两个不同实数解，则实数取值范畴是 ．
14．解下列方程：
(1)；
(2)；
（3）；
（4）．
15．当取何值时，方程有负数解?

16．已知，求值．
17．已知：如图，四边形ABCD为菱形，AF⊥上AD交BD于E点，交BC于点F．
(1)求证：AD2= DE×DB；
(2)过点E作EG⊥AE交AB于点G，若线段BE、DE(BE<DE)长为方程(m>0)两个根，且菱形ABCD面积为，求EG长．

参照答案