2022年第十九届北京市数学竞赛丙解答.doc

第十九届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题及解答

一、填空题（每题3分，共30分）
1．= 1/6 .
2．设持续，在处可导，且满足
则曲线在处切线方程为 y=2x－2 .
3．设是由所拟定函数,则 －1 .
4. 设，则 －2 .
5. .
6．设函数可导且，二元函数满足，则 .
7. .
8. 数项级数和 －1+cos1+ln2.
9. .
10. .

二、(10分) 计算，其中 [x]为不超过x最大整数.
解
=
三、(10分) 求极限 .

四、（10分）设f (x)在 [0,1] 上持续，f (0)= f (1) ，求证:　对于任意正整数n，必存在，使．
证明　令
于是有　　
因此　
故存在　使

即　．
五、(10分) 设有二阶持续偏导数，，且，证明 在获得极值，判断此极值是极大值还是极小值，并求出此极值.
解 由题设 其中 设
则
故

A=

，且，故是极大值.
六、(10分) (容器侧壁形状问题)
一容器侧面是由曲线绕铅直中心轴y轴旋转而成，其中在 持续，容器底面(过x轴水平截面)为半径R=1圆(即f (0)=1). 当匀速地向容器内注水时，若液面高度h升高速度与(2V+π)成反比(这里V体现当时容器内水体积) ,求容器侧壁轴截线.
解 设在时刻t，容器内水液面高度为h，而水体积为V，则有
.
于是有.
根据题意， ，代如上式，可得
化简得 .
由 f (0)=1 可得 ，上式两端同步对h求导得
，即 .
求出满足f (0)=1 解为，即容器侧壁轴截线为.
七、(10分) 设在上二阶可导，且而当时，证明在内，方程有且仅有一种实根．
证明 由于当时，，因而单调减，从而，于是又有严格单调减．再由知，最多只有一种实根．
下面证明必有一实根．当时，
，
即
，
上式右端当时，趋于，因而当充足大时，，于是存在，使得，由介值定理存在，使得．
综上所述，知在有并且只有一种实根．
八、(10分)