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第十八讲 圆基本性质
到定点(圆心)等于定长(半径)点集合叫圆，圆常被人们当作是最完美事物，圆图形在人类进程中打下深深烙印．
圆基本性质有：一是与圆有关基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆对称性，圆既是一种轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆基本性质解题应注意：
1．纯熟运用垂径定理及推论进行计算和证明；
2．理解弧特性及中介作用；
3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系转化．
熟悉如下基本图形、基本结论：
【例题求解】
【例1】在半径为1⊙O中，弦AB、AC长分别为和，则∠BAC度数为 ．
作出辅助线，解直角三角形，注意AB与AC有不同位置关系．
注： 由圆对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要一种，它沟通了线段、角与圆弧关系，应用一般措施是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结
合起来．
圆是一种对称图形，注意圆对称性，可提高解与圆有关问题周密性．
【例2】 如图，用3个边长为1正方形构成一种对称图形，则能将其完全覆盖圆最小半径为( )
A． B． C． D．
思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽量通过圆形某些顶点，通过设未知数求解．
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【例3】 如图，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．
思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等证明，证题核心是促使不同量互相转换并突破它．
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【例4】 如图甲，⊙O直径为AB，过半径OA中点G作弦C E⊥AB，在CB上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F，M．
(1)求∠COA和∠FDM度数；
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(2)求证：△FDM∽△COM；
(3)如图乙，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在EB上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时与否有△FDM∽△COM?证明你结论．
思路点拨 (1)在Rt△COG中，运用OG=OA=OC；(2)证明∠COM=∠FDM，∠CMO=
∠FMD；(3)运用图甲启示思考．
注：善于促成同圆或等圆中不同名称互相转化是解决圆问题重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，结识到圆可为解与直线形问题提供新解题思路，而在解与圆有关问题时常用到直线形知识与措施(重要是指全等与相似)．
【例5】 已知：在△ABC中，AD为∠BAC平分线，以C为圆心，CD为半径半圆交BC延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD＝4：3．
(1)求证：AF＝DF；
(2)求∠AED余弦值；
(3)如果BD＝10，求△ABC面积．
思路点拨 (1)证明∠ADE＝∠DAE；(2)作AN⊥BE于N，cos∠AED＝，设FE=4x，FD＝3x，运用有关知识把有关线段用x代数式体现；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x值．
注：本例解答，需运用相似三角形、等腰三角形鉴定、面积措施、代数化等知识措施思想，综合运用直线形有关知识措施思想是解与圆有关问题核心．
学历训练
1．D是半径为5cm⊙O内一点，且OD＝3cm，则过点D所有弦中，最小弦AB= ．
2．阅读下面材料：
对于平面图形A，如果存在一种圆，使图形A上任意一点到圆心距离都不不不不小于这个圆半径，则称图形A被这个圆所覆盖．
对于平面图形A，如果存在两个或两个以上圆，使图形A上任意一点到其中某个圆圆心距离都不不不不小于这个圆半径，则称图形A被这些圆所覆盖．
例如：图甲中三角形被一种圆所覆盖，图乙中四边形被两个圆所覆盖．
回答问题：
(1)边长为lcm正方形被一种半径为r圆所覆盖，r最小值是 cm；
(2)边长为lcm等边三角形被一种半径为r圆所覆盖，r最小值是 cm；
(3)长为2cm，宽为lcm矩形被两个半径都为r圆所覆盖，r最小值是 cm．
(南京市中考题)
3．世界上由于有了圆图案，万物才显得富有生机，如下来自现实生活图形中均有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是由于圆具有轴对称和中心对称性．
(1)请问如下三个图形中是轴对称图形有 ，是中心对称图形有
(分别用下面三个图代号a，b，c填空)．
(2)请你在下面两个圆中，按规定分别画出与上面图案不反复图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽量精确些，美观些)．
a．是轴对称图形但不是中心对称图形．
b．既是轴对称图形又是中心对称图形．
4．如图，AB是⊙O直径，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B两点到直线CD距离之和为( )
A．12cm B．10cm C． 8cm D．6cm
5．一种花边是由如图弓形构成，ACB半径为5，弦AB＝8，则弓形高CD为( )
A．2 B． C．3 D．
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6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB、CD、EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD与E大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EF B．AB+CD=F C． AB+CD<EF D．不能拟定
7．电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”材料制成，未切割前单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU芯片，需要长、宽都是1cm正方形小硅片若干．如果晶圆片直径为10．05cm，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸小硅片66张?请阐明你措施和理由(不计切割损耗)．
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8．如图，已知⊙O两条半径OA与OB互相垂直，C为AmB上一点，且AB2+OB2=BC2，求∠OAC度数．
9．但是圆心直线交⊙O于C、D两点，AB是⊙O直径，AE⊥，垂足为E，BF⊥，垂足为F．
(1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件具有不同位置关系图形；
(2)请你观测(1)中所画图形，写出一种各图都具有两条线段相等结论(不再标注其她字母，找结论过程中所连辅助线不能出目前结论中，不写推理过程)；
(3)请你选用(1)中一种图形，证明(2)所得出结论．
10．以AB为直径作一种半圆，圆心为O，C是半圆上一点，且OC2＝AC×BC，
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则∠CAB= ．
11．如图，把正三角形ABC外接圆对折，使点A落在BC中点A′上，若BC=5，则折痕在△ABC内某些DE长为 ．
12．如图，已知AB为⊙O弦，直径MN与AB相交于⊙O内，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN=20，AB=，则MC—ND= ．
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13．如图，已知⊙O半径为R，C、D是直径AB同侧圆周上两点，AC度数为96°，BD度数为36°，动点P在AB上，则CP+PD最小值为 ．
14．如图1，在平面上，给定了半径为r圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P′，使得OP×OP′=r2，这种把点P变为点P′变换叫作反演变换，点P与点P′叫做互为反演点．
(1)如图2，⊙O内外各有一点A和B，它们反演点分别为A′和B′，求证：∠A′=∠B；
(2)如果一种图形上各点通过反演变换得到反演点构成另一种图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．
①选用：如果不通过点O直线与⊙O相交，那么它有关⊙O反演图形是( )
A．一种圆 B．一条直线 C．一条线段 D．两条射线
②填空：如果直线与⊙O相切，那么它有关⊙O反演图形是 ，该图形与圆O位置关系是 ．
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15．如图，已知四边形ABCD内接于直径为3圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD交点为P，AB=BD，且PC=0．6，求四边形ABCD周长．
16．如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为BAC中点，DE⊥AB于E，求证：BD2-AD2=AB×AC．
17．将三块边长均为l0cm正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟直径至少是多少?(不考虑其她因素，精确到0．1cm)
18．如图，直径为13⊙O′，通过原点O，并且与轴、轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OA>OB)长分别是方程两根．
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(1)求线段OA、OB长；
(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CD×CB时，求C点坐标；
(3)在⊙O，上与否存在点P，使S△POD=S△ABD?若存在，求出P点坐标；若不存在，请阐明理由．
参照答案
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