资源描述
O
x
y
A
B
C
D
一 基本构图:
y=(如下几种分类函数解析式就是这个)
★和最小,差最大 在对称轴上找一点P,使得PB+PC和最小,求出P点坐标
在对称轴上找一点P,使得PB-PC差最大,求出P点坐标
O
x
y
A
B
C
D
★求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P,使得面积最大,求出P坐标
O
x
y
A
B
C
D
★ 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P,使得为直角三角形,
求出P坐标或者在抛物线上求点P,使△ACP是以AC为直角边直角三角形.
★ 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P,使得为等腰三角形,
求出P坐标
O
x
y
A
B
C
D
★ 讨论平行四边形 1、点E在抛物线对称轴上,点F在抛物线上,
且以B,A,F,E四点为顶点四边形为平行四边形,求点F坐标
二 综合题型
例1 (中考变式)如图,抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,顶点为D。交Y轴于C
(1)求该抛物线解析式与△ABC面积。
(2)在抛物线第二象限图象上与否存在一点M,使△MBC是以∠BCM为直角直角三角形,若存在,求出点P坐标。若没有,请阐明理由
(3)若E为抛物线B、C两点间图象上一种动点(不与A、B重叠),过E作EF与X轴垂直,交BC于F,设E点横坐标为x.EF长度为L,
求L有关X函数关系式?关写出X取值范畴?
当E点运动到什么位置时,线段EF值最大,并求此时E点坐标?
(4)在(5)状况下直线BC与抛物线对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点四边形为平行四边形?
(5)在(5)状况下点E运动到什么位置时,使三角形BCE面积最大?
例2 考点: 有关面积最值
如图,在平面直角坐标系中,点A、C坐标分别为(-1,0)、(0,),点B在x轴上.已知某二次函数图象通过A、B、C三点,且它对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方二次函数图象上一种动点(点P与B、C不重叠),过点P作y轴平行线交BC于点F.
y
x
B
A
F
P
x=1
C
O
(1)求该二次函数解析式;
(2)若设点P横坐标为m,试用含m代数式体现线段PF长;
(3)求△PBC面积最大值,并求此时点P坐标.
例3 考点:讨论等腰
如图,已知抛物线y=x 2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A坐标为(2,0),点C坐标为(0,-1).
(1)求抛物线解析式;
(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE面积最大时,求点D坐标;
B
C
O
A
备用图
y
x
(3)在直线BC上与否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P坐标,若不存在,阐明理由.
D
B
C
O
A
y
x
E
例4考点:讨论直角三角
⑴ 如图,已知点A(一1,0)和点B(1,2),在坐标轴上
拟定点P,使得△ABP为直角三角形,则满足这样条件点P共有( ).
(A)2个 (B)4个 (C) 6个(D)7个
⑵ 已知:如图一次函数y=x+1图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=x 2+bx+c图象与一次函数y=x+1图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,0)
(1)求二次函数解析式;
(2)求四边形BDEC面积S;
O
A
B
y
C
x
D
E
2
(3)在x轴上与否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点直角三角形?若存在,求出所有点P,若不存在,请阐明理由.
例5 考点:讨论四边形
已知:如图所示,有关x抛物线y=ax 2+x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0),点B(6,0),与y轴交于点C.
(1)求出此抛物线解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D坐标,并求出直线AD解析式;
(3)在(2)中直线AD交抛物线对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.与否存在以A、M、P、Q为顶点平行四边形?如果存在,请直接写出点Q坐标;如果不存在,请阐明理由.
B
A
y
O
C
x
综合练习:
1、平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点A、点B,与y轴正半轴交于点C,点 A坐标为(1,0),OB=OC,抛物线顶点为D。
(1) 求此抛物线解析式;
(2) 若此抛物线对称轴上点P满足∠APB=∠ACB,求点P坐标;
(3) Q为线段BD上一点,点A有关∠AQB平分线对称点为,若,求点Q坐 标和此时△面积。
2、在平面直角坐标系中,已知二次函数图像与轴交于点,与轴交于A、B两点,点B坐标为。
(1) 求二次函数解析式及顶点D坐标;
(2) 点M是第二象限内抛物线上一动点,若直线OM把四边形ACDB提成面积为1 :2两某些,求出此时点坐标;
(3) 点P是第二象限内抛物线上一动点,问:点P在何处时△面积最大?最大面积是多少?并求出此时点P坐标。
3、如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴负半轴交于点,顶点为,且对称轴与轴交于点。
(1)求点坐标(用含代数式体现);
(2)为中点,直线交轴于,若(0,2),求抛物线解析式;
(3)在(2)条件下,点在直线上,且使得周长最小,在抛物线上,在直线上,若觉得顶点四边形是平行四边形,求点坐标。
4、已知有关方程。
(1) 若方程有两个不相等实数根,求取值范畴;
(2) 若正整数满足,设二次函数图象与轴交于两点,将此图象在x轴下方某些沿x轴翻折,图象别旳某些保持不变,得到一种新图象;请你结合这个新图象回答:当直线与此图象正好有三个公共点时,求出值(只需规定出两个满足题意k值即可)。
5如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A(﹣4,0)和B.
(1)求该抛物线解析式;
(2)点Q是线段AB上动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CEQ面积最大时,求点Q坐标;
(3)平行于x轴动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D坐标为(﹣2,0).问与否有直线l,使△ODF是等腰三角形?若存在,祈求出点F坐标;若不存在,请阐明理由.
三、中考二次函数代数型综合题
题型一、抛物线与x轴两个交点分别位于某定点两侧
例1.已知二次函数y=x 2+(m-1)x+m-2图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1<x2.
(1)若x1x2<0,且m为正整数,求该二次函数体现式;
(2)若x1<1,x2>1,求m取值范畴;
(3)与否存在实数m,使得过A、B两点圆与y轴相切于点C(0,2),若存在,求出m值;若不存在,请阐明理由;
(4)若过点D(0,)直线与(1)中二次函数图象相交于M、N两点,且 = ,求该直线体现式.
题型二、抛物线与x轴两交点之间距离问题
例2 已知二次函数y= x 2+mx+m-5,
(1) 求证:无论m取何值时,抛物线总与x轴有两个交点;
(2)求当m取何值时,抛物线与x轴两交点之间距离最短.
题型三、抛物线方程整数解问题
例1. 已知抛物线与x轴两个交点横坐标均为整数,且m<5,则整数m值为_____________
例2.已知二次函数y=x 2-2mx+4m-8.
(1)当x≤2时,函数值y随x增大而减小,求m取值范畴;
A
O
x
y
(2)以抛物线y=x 2-2mx+4m-8顶点A为一种顶点作该抛物线内接正(M,N两点在拋物线上),请问:△AMN面积是与m无关定值吗?若是,祈求出这个定值;若不是,请阐明理由;
(3)若抛物线y=x 2-2mx+4m-8与x轴交点横坐标均为整数,
求整数m值.
题型四、抛物线与对称,波及:点与点有关原点对称、抛物线对称性、数形结合
例1.已知抛物线(其中b>0,c≠0)与y轴交点为A,点A有关抛物线对称轴对称点为B(m,n),且AB=2.
(1)求m,b值
(2)如果抛物线顶点位于x轴下方,且BO=。求抛物线所相应函数关系式(友谊提示:请画图思考)
题型五、抛物线中韦达定理广泛应用(线段长、定点两侧、点点有关原点对称、等等)
例1.已知:二次函数图象与x轴交于不同两点A(,0)、B(,0)(<),其顶点是点C,对称轴与x轴交于点D.
(1)求实数m取值范畴;
(2)如果(+1)(+1)=8,求二次函数解析式;
(3)把(2)中所得二次函数图象沿y轴上下平移,如果平移后函数图象与x轴交于点、,顶点为点C1,且△是等边三角形,求平移后所得图象函数解析式.
综合提高
1.已知二次函数图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,4),且| AB|=2 ,图象对称轴为x=1.
(1)求二次函数体现式;
(2)若二次函数图象都在直线y=x+m下方,求m取值范畴.
2.已知二次函数y=-x 2+mx-m+2.
(1)若该二次函数图象与x轴两个交点A、B分别在原点两侧,并且AB= ,求m值;
(2)设该二次函数图象与y轴交点为C,二次函数图象上存在有关原点对称两点M、N,且S△MNC =27,求m值.
3. 已知有关x一元二次方程x 2-2(k+1)x+k 2=0有两个整数根,k<5且k为整数.
(1)求k值;
(2)当此方程有两个非零整数根时,将有关x二次函数y=x 2-2(k+1)x+k 2图象沿x轴向左平移4个单位,求平移后二次函数图象解析式;
(3)根据直线y=x+b与(2)中两个函数图象交点总个数,求b取值范畴.
4.已知二次函数图象通过点A(1,0)和点B(2,1),且与y轴交点纵坐标为m.
(1)若m为定值,求此二次函数解析式;
(2)若二次函数图象与x轴尚有异于点A另一种交点,求m取值范畴;
(3)若二次函数图象截直线y=-x+1所得线段长为2 ,求m值.
四、中考二次函数定值问题
1. (江西南昌8分)如图,已知二次函数L1:y=x2﹣4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.
(1)写出二次函数L1开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)研究二次函数L2:y=kx2﹣4kx+3k(k≠0).
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象两条相似性质;②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF长度与否发生变化?如果不会,祈求出EF长度;如果会,请阐明理由.
2. (山东潍坊11分)如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,O)、B(2,0)、C(0,-l)三点,过坐标原点O直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0,-2)作平行于x轴直线、.
(1)求抛物线相应二次函数解析式;
(2)求证以ON为直径圆与直线相切;
(3)求线段MN长(用k体现),并证明M、N两点到直线距离之和等于线段MN长.
3. (浙江义乌12分)如图1,已知直线y=kx与抛物线交于点A(3,6).
(1)求直线y=kx解析式和线段OA长度;
(2)点P为抛物线第一象限内动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重叠),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM垂线,交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN长度之比与否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,阐明理由;
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧点,点E在线段OA上(与点O、A不重叠),点D(m,0)是x轴正半轴上动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:m在什么范畴时,符合条件E点个数分别是1个、2个?
4.(•株洲)孔明是一种喜欢探究钻研同窗,她在和同窗们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)性质时,将一把直角三角板直角顶点置于平面直角坐标系原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点,请解答如下问题:
(1)若测得OA=OB=2(如图1),求a值;
(2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时,过B作BF⊥x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B坐标,并求点A横坐标;
(3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B连线段总通过一种固定点,试阐明理由并求出该点坐标.
展开阅读全文